{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/28","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"28","points":null,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego oczka do sześciu oczek. Zdarzenie A polega na tym, że suma liczb wyrzuconych oczek będzie równa 11 . ** Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe -\n\nA. \\(\\dfrac{1}{36}\\)\nB. \\(\\dfrac{6}{36}\\)\nC. \\(\\dfrac{11}{36}\\)\nD. \\(\\dfrac{2}{36}\\)","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D = \\(\\frac{1}{18}\\)\n\n## Sposób 1 - Przestrzeń zdarzeń elementarnych (zliczanie)\n\n**Krok 1: Określamy przestrzeń zdarzeń**\n\nRzucamy kostką dwa razy. Każdy rzut daje wynik od 1 do 6, więc wszystkich możliwych par wyników jest:\n\\[|\\Omega| = 6 \\cdot 6 = 36\\]\n\nKażda para \\((i, j)\\) jest tak samo prawdopodobna (kostka symetryczna).\n\n**Krok 2: Szukamy par, których suma wynosi 11**\n\nSuma dwóch kostek to 11 wtedy, gdy:\n\n| Rzut 1 | Rzut 2 | Suma |\n| 5 | 6 | 11 ✓ |\n| 6 | 5 | 11 ✓ |\n\nUwaga: par \\((6, 5)\\) i \\((5, 6)\\) **nie można mylić** - to dwa różne zdarzenia elementarne, bo rzuty są kolejne!\n\nNie istnieje żadna inna kombinacja: para \\((4, 7)\\) jest niemożliwa (brak 7 na kostce), a \\((5,5) = 10\\), \\((6,6) = 12\\).\n\nZatem:\n\\[|A| = 2\\]\n\n**Krok 3: Obliczamy prawdopodobieństwo**\n\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{2}{36} = \\boxed{\\frac{1}{18}}\\]\n\n## Sposób 2 - Rozumowanie przez warunek na pierwszy rzut\n\n**Rozważamy, co musi wypaść w pierwszym rzucie**, żeby w ogóle można było dopełnić do 11:\n\n- Jeśli wypadło **5** (prawdopodobieństwo \\(\\frac{1}{6}\\)) → w drugim rzucie musi wypaść **6** (prawdopodobieństwo \\(\\frac{1}{6}\\))\n- Jeśli wypadło **6** (prawdopodobieństwo \\(\\frac{1}{6}\\)) → w drugim rzucie musi wypaść **5** (prawdopodobieństwo \\(\\frac{1}{6}\\))\n- Każdy inny wynik pierwszego rzutu (1, 2, 3, 4) → suma 11 niemożliwa\n\nRzuty są **niezależne**, więc:\n\\[P(A) = P(\\text{pierwsza 5}) \\cdot P(\\text{druga 6}) + P(\\text{pierwsza 6}) \\cdot P(\\text{druga 5})\\]\n\\[P(A) = \\frac{1}{6} \\cdot \\frac{1}{6} + \\frac{1}{6} \\cdot \\frac{1}{6} = \\frac{1}{36} + \\frac{1}{36} = \\frac{2}{36} = \\frac{1}{18}\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 1: podzieliliśmy liczbę sprzyjających par przez łączną liczbę wszystkich możliwych par.\n\nDział 14 - zdarzenia niezależne (iloczyn prawdopodobieństw):\n\\[P(A \\cap B) = P(A) \\cdot P(B)\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2, gdy mnożyliśmy prawdopodobieństwa wyniku pierwszego i drugiego rzutu.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| **A** | Policzono tylko **jedną** parę (np. tylko \\((5,6)\\)), zapominając o \\((6,5)\\) - jakby kolejność rzutów nie miała znaczenia. Daje \\(\\frac{1}{36}\\). |\n| **C** | Błędne policzenie przestrzeni zdarzeń lub zbyt duże \\(|A|\\) - np. uwzględnienie pary \\((4,7)\\) lub \\((3,8)\\), które są niemożliwe. Daje \\(\\frac{3}{36} = \\frac{1}{12}\\). |\n| **D** | Mylne utożsamienie zdarzenia z „wypadnięciem 5 lub 6 na pierwszym rzucie\" - zliczono 2 sprzyjające wyniki z 6 na jednej kostce, nie uwzględniając drugiej. Daje \\(\\frac{1}{6}\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Para \\((5, 6)\\) i \\((6, 5)\\) to **dwa różne** zdarzenia elementarne! Rzuty są kolejne, więc „5 potem 6\" ≠ „6 potem 5\". To częsty błąd, który powoduje zaniżenie wyniku o połowę.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przestrzeń zdarzeń ma **36** elementów, nie 11 (nie liczymy możliwych sum, tylko pary wyników). Liczenie możliwych sum jako przestrzeni prowadzi do złych prawdopodobieństw, bo różne sumy mają różną liczbę realizacji.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Suma 11 jest możliwa tylko przy wynikach \\(\\{5, 6\\}\\). Sumy takie jak 12 (jedna para: \\((6,6)\\)) czy 2 (jedna para: \\((1,1)\\)) są mniej prawdopodobne niż np. 7 (sześć par). Nie zakładaj, że każda suma jest jednakowo prawdopodobna!\n\n**Poprawna odpowiedź: D (wersja B)**\n\n### Sposob 1 - Model klasyczny\n\\(|\\Omega|=36\\) (6×6 par). Zdarzenie A: suma=11.\nPary: \\((5,6), (6,5)\\) - 2 pary.\n\\[P(A) = \\dfrac{2}{36}\\]\n\nZatem odpowiedz D (\\(\\dfrac{2}{36}\\)) - zgodne z CKE wersja B.\n\n### Dlaczego inne blednie\n- **A** (\\(\\dfrac{1}{36}\\)): tylko jedno zdarzenie - pomyliono z rownym 12.\n- **B** (\\(\\dfrac{6}{36}\\)): to dla sumy=7 (6 par).\n- **C** (\\(\\dfrac{11}{36}\\)): bledne policzenie.\n\n**Trik:** Dla sumy S na dwoch kostkach: liczba par = \\(\\min(S-1, 13-S)\\). Dla S=11: \\(\\min(10, 2)=2\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Analiza przestrzeni zdarzeń\nZdarzenie A polega na tym, że suma wyrzuconych oczek wynosi 11. Musimy policzyć, ile jest możliwych kombinacji rzutów dwiema kostkami, które dają sumę 11. Możliwe kombinacje to: (5, 6) i (6, 5). Zatem, istnieje 2 zdarzenia, które spełniają warunek.\nCałkowita liczba możliwych wyników rzutu dwiema sześciennymi kostkami to 6 * 6 = 36.\nZatem prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi: P(A) = (liczba zdarzeń spełniających warunek) / (całkowita liczba możliwych wyników) = 2/36 = 1/18. Jednakże, w pytaniu oczekiwano, że prawdopodobieństwo będzie wyrażone w postaci ułamka z licznikiem 36. Zatem, odpowiedź D jest prawidłowa, ponieważ 2/36 to 1/18, a 1/18 można zapisać jako 2/36.\n\n📖 Karta wzorów: s.29, Prawdop: P(A)=|A|/|Ω|, strona 29\n\n### Sposób 2: Użycie kombinacji\nMożemy użyć kombinacji, aby obliczyć liczbę sposobów, w których można otrzymać sumę 11. Musimy znaleźć liczbę par liczb całkowitych od 1 do 6, które sumują się do 11. Te pary to (5, 6) i (6, 5). Zatem, istnieje 2 takie pary. Ponieważ kolejność rzutów nie ma znaczenia, mamy 2 możliwości.\nCałkowita liczba możliwych wyników rzutu dwiema sześciennymi kostkami to 6 * 6 = 36.\nZatem prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi: P(A) = (liczba zdarzeń spełniających warunek) / (całkowita liczba możliwych wyników) = 2/36 = 1/18. Ponownie, odpowiedź D jest prawidłowa, ponieważ 2/36 to 1/18, a 1/18 można zapisać jako 2/36.\n\n📖 Karta wzorów: s.28, Kombinatoryka: permutacje n!, kombinacje (n nad k), strona 28\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. [1] 36 -** Prawdopodobieństwo to liczba zdarzeń na liczbę wszystkich możliwych zdarzeń. W tym przypadku, liczba zdarzeń (2) nie jest równa 36.\n* **B. [6] 36 -** To jest błędne, ponieważ suma 11 nie jest możliwa w 6 sposobach.\n* **C. [11] 36 -** To jest błędne, ponieważ prawdopodobieństwo nie jest równe liczbie oczek na kostce.\n* **D. [2] 36 -** To jest prawidłowe, ponieważ liczba zdarzeń, w których suma wynosi 11, wynosi 2, a całkowita liczba możliwych wyników to 36. Ułamek 2/36 upraszcza się do 1/18.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego oczka do sześciu oczek. Zdarzenie A polega na tym, że suma liczb wyrzuconych oczek będzie równa 11 . ** Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe -

\n

A. \\(\\dfrac{1}{36}\\)
B. \\(\\dfrac{6}{36}\\)
C. \\(\\dfrac{11}{36}\\)
D. \\(\\dfrac{2}{36}\\)

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D = \\(\\frac{1}{18}\\)

\n

Sposób 1 - Przestrzeń zdarzeń elementarnych (zliczanie)

\n

Krok 1: Określamy przestrzeń zdarzeń

\n

Rzucamy kostką dwa razy. Każdy rzut daje wynik od 1 do 6, więc wszystkich możliwych par wyników jest:
\\[|\\Omega| = 6 \\cdot 6 = 36\\]

\n

Każda para \\((i, j)\\) jest tak samo prawdopodobna (kostka symetryczna).

\n

Krok 2: Szukamy par, których suma wynosi 11

\n

Suma dwóch kostek to 11 wtedy, gdy:

\n

| Rzut 1 | Rzut 2 | Suma |
| 5 | 6 | 11 ✓ |
| 6 | 5 | 11 ✓ |

\n

Uwaga: par \\((6, 5)\\) i \\((5, 6)\\) nie można mylić - to dwa różne zdarzenia elementarne, bo rzuty są kolejne!

\n

Nie istnieje żadna inna kombinacja: para \\((4, 7)\\) jest niemożliwa (brak 7 na kostce), a \\((5,5) = 10\\), \\((6,6) = 12\\).

\n

Zatem:
\\[|A| = 2\\]

\n

Krok 3: Obliczamy prawdopodobieństwo

\n

\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{2}{36} = \\boxed{\\frac{1}{18}}\\]

\n

Sposób 2 - Rozumowanie przez warunek na pierwszy rzut

\n

Rozważamy, co musi wypaść w pierwszym rzucie, żeby w ogóle można było dopełnić do 11:

\n\n

Rzuty są niezależne, więc:
\\[P(A) = P(\\text{pierwsza 5}) \\cdot P(\\text{druga 6}) + P(\\text{pierwsza 6}) \\cdot P(\\text{druga 5})\\]
\\[P(A) = \\frac{1}{6} \\cdot \\frac{1}{6} + \\frac{1}{6} \\cdot \\frac{1}{6} = \\frac{1}{36} + \\frac{1}{36} = \\frac{2}{36} = \\frac{1}{18}\\]

\n

Wynik zgodny z Metodą 1. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30) - prawdopodobieństwo klasyczne:
\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]
Użyliśmy tego wzoru w Sposobie 1: podzieliliśmy liczbę sprzyjających par przez łączną liczbę wszystkich możliwych par.

\n

Dział 14 - zdarzenia niezależne (iloczyn prawdopodobieństw):
\\[P(A \\cap B) = P(A) \\cdot P(B)\\]
Użyliśmy w Sposobie 2, gdy mnożyliśmy prawdopodobieństwa wyniku pierwszego i drugiego rzutu.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A | Policzono tylko jedną parę (np. tylko \\((5,6)\\)), zapominając o \\((6,5)\\) - jakby kolejność rzutów nie miała znaczenia. Daje \\(\\frac{1}{36}\\). |
| C | Błędne policzenie przestrzeni zdarzeń lub zbyt duże \\(|A|\\) - np. uwzględnienie pary \\((4,7)\\) lub \\((3,8)\\), które są niemożliwe. Daje \\(\\frac{3}{36} = \\frac{1}{12}\\). |
| D | Mylne utożsamienie zdarzenia z „wypadnięciem 5 lub 6 na pierwszym rzucie" - zliczono 2 sprzyjające wyniki z 6 na jednej kostce, nie uwzględniając drugiej. Daje \\(\\frac{1}{6}\\). |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Para \\((5, 6)\\) i \\((6, 5)\\) to dwa różne zdarzenia elementarne! Rzuty są kolejne, więc „5 potem 6" ≠ „6 potem 5". To częsty błąd, który powoduje zaniżenie wyniku o połowę.
\n
⚠️ Uwaga: Przestrzeń zdarzeń ma 36 elementów, nie 11 (nie liczymy możliwych sum, tylko pary wyników). Liczenie możliwych sum jako przestrzeni prowadzi do złych prawdopodobieństw, bo różne sumy mają różną liczbę realizacji.
\n
⚠️ Uwaga: Suma 11 jest możliwa tylko przy wynikach \\(\\{5, 6\\}\\). Sumy takie jak 12 (jedna para: \\((6,6)\\)) czy 2 (jedna para: \\((1,1)\\)) są mniej prawdopodobne niż np. 7 (sześć par). Nie zakładaj, że każda suma jest jednakowo prawdopodobna!
\n

Poprawna odpowiedź: D (wersja B)

\n
Sposob 1 - Model klasyczny
\n

\\(|\\Omega|=36\\) (6×6 par). Zdarzenie A: suma=11.
Pary: \\((5,6), (6,5)\\) - 2 pary.
\\[P(A) = \\dfrac{2}{36}\\]

\n

Zatem odpowiedz D (\\(\\dfrac{2}{36}\\)) - zgodne z CKE wersja B.

\n
Dlaczego inne blednie
\n\n

Trik: Dla sumy S na dwoch kostkach: liczba par = \\(\\min(S-1, 13-S)\\). Dla S=11: \\(\\min(10, 2)=2\\).

\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1: Analiza przestrzeni zdarzeń
\n

Zdarzenie A polega na tym, że suma wyrzuconych oczek wynosi 11. Musimy policzyć, ile jest możliwych kombinacji rzutów dwiema kostkami, które dają sumę 11. Możliwe kombinacje to: (5, 6) i (6, 5). Zatem, istnieje 2 zdarzenia, które spełniają warunek.
Całkowita liczba możliwych wyników rzutu dwiema sześciennymi kostkami to 6 * 6 = 36.
Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi: P(A) = (liczba zdarzeń spełniających warunek) / (całkowita liczba możliwych wyników) = 2/36 = 1/18. Jednakże, w pytaniu oczekiwano, że prawdopodobieństwo będzie wyrażone w postaci ułamka z licznikiem 36. Zatem, odpowiedź D jest prawidłowa, ponieważ 2/36 to 1/18, a 1/18 można zapisać jako 2/36.

\n

📖 Karta wzorów: s.29, Prawdop: P(A)=|A|/|Ω|, strona 29

\n
Sposób 2: Użycie kombinacji
\n

Możemy użyć kombinacji, aby obliczyć liczbę sposobów, w których można otrzymać sumę 11. Musimy znaleźć liczbę par liczb całkowitych od 1 do 6, które sumują się do 11. Te pary to (5, 6) i (6, 5). Zatem, istnieje 2 takie pary. Ponieważ kolejność rzutów nie ma znaczenia, mamy 2 możliwości.
Całkowita liczba możliwych wyników rzutu dwiema sześciennymi kostkami to 6 * 6 = 36.
Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi: P(A) = (liczba zdarzeń spełniających warunek) / (całkowita liczba możliwych wyników) = 2/36 = 1/18. Ponownie, odpowiedź D jest prawidłowa, ponieważ 2/36 to 1/18, a 1/18 można zapisać jako 2/36.

\n

📖 Karta wzorów: s.28, Kombinatoryka: permutacje n!, kombinacje (n nad k), strona 28

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n"}]}