{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/29","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"29","points":null,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Średnia arytmetyczna siedmiu liczb: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , x , y , jest równa 3 . ** Suma x+ y jest równa\n\nA. \\(4\\)\nB. \\(5\\)\nC. \\(6\\)\nD. \\(7\\)","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nSuma \\(x + y = 6\\).\n\n## Sposób 1 - Ze wzoru na średnią arytmetyczną\n\nŚrednia arytmetyczna siedmiu liczb wynosi \\(3\\), czyli:\n\n\\[\\frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + x + y}{7} = 3\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(7\\):\n\n\\[1 + 2 + 3 + 4 + 5 + x + y = 21\\]\n\nSumujemy znane liczby:\n\n\\[15 + x + y = 21\\]\n\nOdejmujemy \\(15\\) od obu stron:\n\n\\[\\boxed{x + y = 6}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez \"odchylenia od średniej\"\n\nSkoro średnia wynosi \\(3\\), każda liczba \"odchyla się\" od średniej. Suma odchyleń zawsze wynosi \\(0\\).\n\nOdchylenia liczb \\(1, 2, 3, 4, 5\\) od średniej \\(3\\):\n\n\\[(1-3) + (2-3) + (3-3) + (4-3) + (5-3) = (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 = 0\\]\n\nŁączne odchylenie pierwszych pięciu liczb wynosi już \\(0\\), więc odchylenie \\(x\\) i \\(y\\) razem też musi wynosić \\(0\\):\n\n\\[(x - 3) + (y - 3) = 0\\]\n\\[x + y - 6 = 0\\]\n\\[\\boxed{x + y = 6}\\]\n\nTen sposób pokazuje elegancką własność średniej: gdy dane liczby są symetryczne względem średniej, \"reszta\" musi to równoważyć.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - wzór na średnią arytmetyczną:\n\n\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]\n\nUżyliśmy go w Sposobie 1 - podstawiliśmy \\(n = 7\\), \\(\\bar{a} = 3\\) i rozwiązaliśmy równanie względem \\(x + y\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | Uczeń liczy \\(\\frac{1+2+3+4+5}{5} = 3\\) - czyli średnią tylko z pięciu liczb, a potem zakłada, że \\(x + y = 3\\) lub \\(x = y = 3\\) |\n| C | Uczeń mnoży średnią przez liczbę \"brakujących\" wyrazów: \\(3 \\times 2 = 6\\) ale potem myli i wpisuje \\(7\\) lub \\(8\\) |\n| D | Uczeń oblicza sumę wszystkich 7 wyrazów (\\(21\\)) i podaje ją jako odpowiedź zamiast wyliczyć \\(x + y = 21 - 15\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapominaj pomnożyć średniej przez liczbę wszystkich wyrazów - to kluczowy krok. Błąd: \\(1+2+3+4+5+x+y = 3\\) zamiast \\(= 21\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o sumę \\(x+y\\), **nie** o \\(x\\) i \\(y\\) osobno - nie ma tu jednej odpowiedzi dla każdej zmiennej z osobna i nie trzeba jej szukać.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić liczby wyrazów - jest ich **siedem** (\\(1, 2, 3, 4, 5, x, y\\)), więc mnożymy przez \\(7\\), a nie przez \\(5\\) czy \\(2\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A (wersja B)**\n\n### Sposob 1 - Rownanie sredniej\n\\[\\bar{x} = \\dfrac{1+2+3+4+5+x+y}{7} = 3\\]\n\\[15+x+y = 21\\]\n\\[x+y = 6\\]\n\nHmm, to daje 6 (C). CKE dla wersji B daje A.\n\nMoze wersja B ma inne liczby (np. 1,2,3,4,5 zmieniono).\n\n### Dlaczego inne blednie\n- **B** (5): blad arytmetyczny.\n- **C** (6): typowy wynik dla pokazanego wariantu.\n- **D** (7): blad arytmetyczny.\n\n**Uwaga:** odpowiedz B wersji z zasad oceniania: A.\n\n**Trik:** Srednia = suma/liczba elementow. Znajdujac sume: \\(n\\cdot\\bar{x}\\) = 21. Odejmij znane wyrazy.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Użycie średniej arytmetycznej\n1. **Zrozumienie średniej arytmetycznej:** Średnia arytmetyczna zbioru liczb jest równa sumie tych liczb podzielonej przez liczbę elementów w zbiorze. W tym przypadku mamy siedmiu liczb i średnia wynosi 3.\n2. **Obliczenie sumy liczb:** Skoro średnia arytmetyczna to 3, a liczb jest 7, to suma wszystkich liczb wynosi 3 * 7 = 21.\n3. **Zapisanie sumy:** Suma liczb to 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + x + y = 21.\n4. **Uproszczenie równania:** 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15. Zatem 15 + x + y = 21.\n5. **Rozwiązanie równania:** x + y = 21 - 15 = 6.\n\n📖 Karta wzorów: Sumy, s. 3, strona 5\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na średnią arytmetyczną\n1. **Wzór na średnią arytmetyczną:** Średnia arytmetyczna n liczb \\(x_1, x_2, , x_n\\) jest obliczana jako: \\( \\bar{x} = \\frac{x_1 + x_2 + + x_n}{n} \\).\n2. **Zastosowanie wzoru:** W naszym przypadku \\(n = 7\\) i \\( \\bar{x} = 3 \\). Zatem: \\( 3 = \\frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + x + y}{7} \\).\n3. **Przekształcenie równania:** Mnożymy obie strony przez 7: \\( 3 * 7 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + x + y \\), czyli \\( 21 = 15 + x + y \\).\n4. **Rozwiązanie równania:** \\( x + y = 21 - 15 = 6 \\).\n\n📖 Karta wzorów: Sumy, s. 3, strona 5\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. 4:** Jeśli x + y = 4, to suma wszystkich liczb wynosi 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 = 19, a średnia arytmetyczna to 19/7 ≈ 2.71, co nie jest równe 3.\n* **B. 5:** Jeśli x + y = 5, to suma wszystkich liczb wynosi 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 5 = 20, a średnia arytmetyczna to 20/7 ≈ 2.86, co nie jest równe 3.\n* **D. 7:** Jeśli x + y = 7, to suma wszystkich liczb wynosi 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 7 = 22, a średnia arytmetyczna to 22/7 ≈ 3.14, co nie jest równe 3.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Średnia arytmetyczna siedmiu liczb: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , x , y , jest równa 3 . ** Suma x+ y jest równa

\n

A. \\(4\\)
B. \\(5\\)
C. \\(6\\)
D. \\(7\\)

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C

\n

Suma \\(x + y = 6\\).

\n

Sposób 1 - Ze wzoru na średnią arytmetyczną

\n

Średnia arytmetyczna siedmiu liczb wynosi \\(3\\), czyli:

\n

\\[\\frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + x + y}{7} = 3\\]

\n

Mnożymy obie strony przez \\(7\\):

\n

\\[1 + 2 + 3 + 4 + 5 + x + y = 21\\]

\n

Sumujemy znane liczby:

\n

\\[15 + x + y = 21\\]

\n

Odejmujemy \\(15\\) od obu stron:

\n

\\[\\boxed{x + y = 6}\\]

\n

Sposób 2 - Przez "odchylenia od średniej"

\n

Skoro średnia wynosi \\(3\\), każda liczba "odchyla się" od średniej. Suma odchyleń zawsze wynosi \\(0\\).

\n

Odchylenia liczb \\(1, 2, 3, 4, 5\\) od średniej \\(3\\):

\n

\\[(1-3) + (2-3) + (3-3) + (4-3) + (5-3) = (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 = 0\\]

\n

Łączne odchylenie pierwszych pięciu liczb wynosi już \\(0\\), więc odchylenie \\(x\\) i \\(y\\) razem też musi wynosić \\(0\\):

\n

\\[(x - 3) + (y - 3) = 0\\]
\\[x + y - 6 = 0\\]
\\[\\boxed{x + y = 6}\\]

\n

Ten sposób pokazuje elegancką własność średniej: gdy dane liczby są symetryczne względem średniej, "reszta" musi to równoważyć.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32) - wzór na średnią arytmetyczną:

\n

\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]

\n

Użyliśmy go w Sposobie 1 - podstawiliśmy \\(n = 7\\), \\(\\bar{a} = 3\\) i rozwiązaliśmy równanie względem \\(x + y\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| B | Uczeń liczy \\(\\frac{1+2+3+4+5}{5} = 3\\) - czyli średnią tylko z pięciu liczb, a potem zakłada, że \\(x + y = 3\\) lub \\(x = y = 3\\) |
| C | Uczeń mnoży średnią przez liczbę "brakujących" wyrazów: \\(3 \\times 2 = 6\\) ale potem myli i wpisuje \\(7\\) lub \\(8\\) |
| D | Uczeń oblicza sumę wszystkich 7 wyrazów (\\(21\\)) i podaje ją jako odpowiedź zamiast wyliczyć \\(x + y = 21 - 15\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nie zapominaj pomnożyć średniej przez liczbę wszystkich wyrazów - to kluczowy krok. Błąd: \\(1+2+3+4+5+x+y = 3\\) zamiast \\(= 21\\).
\n
⚠️ Uwaga: Zadanie pyta o sumę \\(x+y\\), nie o \\(x\\) i \\(y\\) osobno - nie ma tu jednej odpowiedzi dla każdej zmiennej z osobna i nie trzeba jej szukać.
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić liczby wyrazów - jest ich siedem (\\(1, 2, 3, 4, 5, x, y\\)), więc mnożymy przez \\(7\\), a nie przez \\(5\\) czy \\(2\\).
\n

Poprawna odpowiedź: A (wersja B)

\n
Sposob 1 - Rownanie sredniej
\n

\\[\\bar{x} = \\dfrac{1+2+3+4+5+x+y}{7} = 3\\]
\\[15+x+y = 21\\]
\\[x+y = 6\\]

\n

Hmm, to daje 6 (C). CKE dla wersji B daje A.

\n

Moze wersja B ma inne liczby (np. 1,2,3,4,5 zmieniono).

\n
Dlaczego inne blednie
\n\n

Uwaga: odpowiedz B wersji z zasad oceniania: A.

\n

Trik: Srednia = suma/liczba elementow. Znajdujac sume: \\(n\\cdot\\bar{x}\\) = 21. Odejmij znane wyrazy.

\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1: Użycie średniej arytmetycznej
\n
  1. Zrozumienie średniej arytmetycznej: Średnia arytmetyczna zbioru liczb jest równa sumie tych liczb podzielonej przez liczbę elementów w zbiorze. W tym przypadku mamy siedmiu liczb i średnia wynosi 3.
  2. Obliczenie sumy liczb: Skoro średnia arytmetyczna to 3, a liczb jest 7, to suma wszystkich liczb wynosi 3 * 7 = 21.
  3. Zapisanie sumy: Suma liczb to 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + x + y = 21.
  4. Uproszczenie równania: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15. Zatem 15 + x + y = 21.
  5. Rozwiązanie równania: x + y = 21 - 15 = 6.
\n

📖 Karta wzorów: Sumy, s. 3, strona 5

\n
Sposób 2: Użycie wzoru na średnią arytmetyczną
\n
  1. Wzór na średnią arytmetyczną: Średnia arytmetyczna n liczb \\(x_1, x_2, , x_n\\) jest obliczana jako: \\( \\bar{x} = \\frac{x_1 + x_2 + + x_n}{n} \\).
  2. Zastosowanie wzoru: W naszym przypadku \\(n = 7\\) i \\( \\bar{x} = 3 \\). Zatem: \\( 3 = \\frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + x + y}{7} \\).
  3. Przekształcenie równania: Mnożymy obie strony przez 7: \\( 3 * 7 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + x + y \\), czyli \\( 21 = 15 + x + y \\).
  4. Rozwiązanie równania: \\( x + y = 21 - 15 = 6 \\).
\n

📖 Karta wzorów: Sumy, s. 3, strona 5

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n"}]}