{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/30","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"30","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej liczącej \\(24\\) uczniów. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę. Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa 2. Dominanta ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa\n\n/matma-quiz/images/cke/MMAP-P0-200-A-2505/z30.png\n\n1. Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa 2. Dominanta ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n1. Mediana = **4,5**\n2. Dominanta = **6**\n\n## Sposób 1 - Odczyt z diagramu i bezpośrednie obliczenie\n\n**Krok 1: Odczytaj dane z diagramu**\n\n| Ocena | Liczba uczniów | Skumulowana liczba |\n| 1 | 1 | 1 |\n| 2 | 3 | 4 |\n| 3 | 4 | 8 |\n| 4 | 4 | 12 |\n| 5 | 5 | 17 |\n| 6 | 7 | 24 |\n\nSprawdzenie: \\(1 + 3 + 4 + 4 + 5 + 7 = 24\\) ✓\n\n**Krok 2: Wyznacz medianę**\n\nMamy \\(n = 24\\) uczniów - liczba parzysta.\n\nMediana to **średnia arytmetyczna 12. i 13. wyrazu** po posortowaniu rosnąco.\n\nGdzie leży 12. wyraz?\n- Do oceny 3 mamy łącznie 8 uczniów.\n- Do oceny 4 mamy łącznie \\(8 + 4 = 12\\) uczniów.\n\n→ **12. wyraz = ocena 4**\n\nGdzie leży 13. wyraz?\n- Do oceny 4 mamy łącznie 12 uczniów.\n- Do oceny 5 mamy łącznie \\(12 + 5 = 17\\) uczniów.\n\n→ **13. wyraz = ocena 5**\n\n\\[\\text{Mediana} = \\frac{4 + 5}{2} = \\frac{9}{2} = \\mathbf{4{,}5}\\]\n\n**Krok 3: Wyznacz dominantę**\n\nDominanta to ocena, która pojawia się **najczęściej**.\n\nZ tabeli: ocena 6 - aż **7 uczniów** (najwięcej spośród wszystkich ocen).\n\n\\[\\text{Dominanta} = \\mathbf{6}\\]\n\n## Sposób 2 - Wypisanie całego szeregu statystycznego\n\nWypiszmy wszystkie 24 oceny w kolejności rosnącej:\n\n\\[\\underbrace{1}_{1}, \\underbrace{2, 2, 2}_{2}, \\underbrace{3, 3, 3, 3}_{3}, \\underbrace{4, 4, 4, 4}_{4}, \\underbrace{5, 5, 5, 5, 5}_{5}, \\underbrace{6, 6, 6, 6, 6, 6, 6}_{6}\\]\n\nPoliczmy pozycje:\n- Pozycje 1: ocena 1\n- Pozycje 2-4: ocena 2\n- Pozycje 5-8: ocena 3\n- **Pozycje 9-12: ocena 4**\n- **Pozycje 13-17: ocena 5**\n- Pozycje 18-24: ocena 6\n\nWyraz nr 12 = **4**, wyraz nr 13 = **5**\n\n\\[\\text{Mediana} = \\frac{4+5}{2} = 4{,}5\\]\n\nWyraz pojawiający się najczęściej = **6** (pojawia się 7 razy)\n\n\\[\\text{Dominanta} = 6\\]\n\nObie metody dają ten sam wynik ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)**\n\n> **Mediana** - środkowy wyraz szeregu po posortowaniu:\n> - Dla \\(n\\) nieparzystego: wyraz na pozycji \\(\\frac{n+1}{2}\\)\n> - Dla \\(n\\) parzystego: średnia wyrazów na pozycjach \\(\\frac{n}{2}\\) i \\(\\frac{n}{2}+1\\)\n\nTu \\(n = 24\\) (parzyste), więc:\n\\[\\text{Mediana} = \\frac{x_{12} + x_{13}}{2} = \\frac{4+5}{2} = 4{,}5\\]\n\n> **Dominanta (moda)** - wartość o najwyższej częstości (na karcie nie ma wzoru, ale definicja jest powszechna)\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy parzystej liczbie danych mediana to **średnia dwóch środkowych wyrazów** - nie jeden z nich. Tu 12. wyraz to 4, a 13. to 5, więc mediana wynosi 4,5 - **nie** 4 ani 5!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dominanta to ocena o **największej liczbie uczniów**, nie o najwyższej wartości. Łatwo pomylić - ocena 6 jest zarówno najwyższa, jak i najczęstsza, ale to przypadek. W ogólności mogłoby być inaczej.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź zawsze, czy suma słupków = podana liczba uczniów (\\(24\\)). To pozwoli wychwycić błąd w odczycie diagramu.\n\n**Zadanie otwarte - uzupelnij zdania (2 pkt)**\n\n### Dane z diagramu\nLiczba uczniow: 24. Oceny i ich liczby:\n- ocena 1: 1 uczen\n- ocena 2: 3 uczniow\n- ocena 3: 4 uczniow\n- ocena 4: 4 uczniow\n- ocena 5: 5 uczniow\n- ocena 6: 7 uczniow\nSuma: 1+3+4+4+5+7=24. OK.\n\n### Mediana (12 i 13 pozycja)\nUporzadkowane: 1, 2,2,2, 3,3,3,3, 4,4,4,4, 5,5,5,5,5, 6,6,6,6,6,6,6.\nPozycja 12 to ostatnia 4, pozycja 13 to pierwsza 5:\n\\[\\text{mediana} = \\dfrac{4+5}{2} = 4{,}5\\]\n\n### Dominanta\nNajczestsza ocena: 6 (7 razy).\nDominanta = **6**.\n\n### CKE\n2 pkt - poprawne obie odpowiedzi: mediana = 4,5, dominanta = 6.\n1 pkt - jedna z dwoch.\n\n**Trik:** Dla N=24 (parzysta) mediana to srednia 12. i 13. elementu w posortowanym ciagu.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej liczącej \\(24\\) uczniów. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę. Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa 2. Dominanta ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa</p>\n<p>/matma-quiz/images/cke/MMAP-P0-200-A-2505/z30.png</p>\n<ol><li>Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa 2. Dominanta ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa</li></ol>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź:</h4>\n<ol><li>Mediana = <strong>4,5</strong></li><li>Dominanta = <strong>6</strong></li></ol>\n<h4>Sposób 1 - Odczyt z diagramu i bezpośrednie obliczenie</h4>\n<p><strong>Krok 1: Odczytaj dane z diagramu</strong></p>\n<p>| Ocena | Liczba uczniów | Skumulowana liczba |<br>| 1 | 1 | 1 |<br>| 2 | 3 | 4 |<br>| 3 | 4 | 8 |<br>| 4 | 4 | 12 |<br>| 5 | 5 | 17 |<br>| 6 | 7 | 24 |</p>\n<p>Sprawdzenie: \\(1 + 3 + 4 + 4 + 5 + 7 = 24\\) ✓</p>\n<p><strong>Krok 2: Wyznacz medianę</strong></p>\n<p>Mamy \\(n = 24\\) uczniów - liczba parzysta.</p>\n<p>Mediana to <strong>średnia arytmetyczna 12. i 13. wyrazu</strong> po posortowaniu rosnąco.</p>\n<p>Gdzie leży 12. wyraz?</p>\n<ul><li>Do oceny 3 mamy łącznie 8 uczniów.</li><li>Do oceny 4 mamy łącznie \\(8 + 4 = 12\\) uczniów.</li></ul>\n<p>→ <strong>12. wyraz = ocena 4</strong></p>\n<p>Gdzie leży 13. wyraz?</p>\n<ul><li>Do oceny 4 mamy łącznie 12 uczniów.</li><li>Do oceny 5 mamy łącznie \\(12 + 5 = 17\\) uczniów.</li></ul>\n<p>→ <strong>13. wyraz = ocena 5</strong></p>\n<p>\\[\\text{Mediana} = \\frac{4 + 5}{2} = \\frac{9}{2} = \\mathbf{4{,}5}\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Wyznacz dominantę</strong></p>\n<p>Dominanta to ocena, która pojawia się <strong>najczęściej</strong>.</p>\n<p>Z tabeli: ocena 6 - aż <strong>7 uczniów</strong> (najwięcej spośród wszystkich ocen).</p>\n<p>\\[\\text{Dominanta} = \\mathbf{6}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Wypisanie całego szeregu statystycznego</h4>\n<p>Wypiszmy wszystkie 24 oceny w kolejności rosnącej:</p>\n<p>\\[\\underbrace{1}<em>{1}, \\underbrace{2, 2, 2}</em>{2}, \\underbrace{3, 3, 3, 3}<em>{3}, \\underbrace{4, 4, 4, 4}</em>{4}, \\underbrace{5, 5, 5, 5, 5}<em>{5}, \\underbrace{6, 6, 6, 6, 6, 6, 6}</em>{6}\\]</p>\n<p>Policzmy pozycje:</p>\n<ul><li>Pozycje 1: ocena 1</li><li>Pozycje 2-4: ocena 2</li><li>Pozycje 5-8: ocena 3</li><li><strong>Pozycje 9-12: ocena 4</strong></li><li><strong>Pozycje 13-17: ocena 5</strong></li><li>Pozycje 18-24: ocena 6</li></ul>\n<p>Wyraz nr 12 = <strong>4</strong>, wyraz nr 13 = <strong>5</strong></p>\n<p>\\[\\text{Mediana} = \\frac{4+5}{2} = 4{,}5\\]</p>\n<p>Wyraz pojawiający się najczęściej = <strong>6</strong> (pojawia się 7 razy)</p>\n<p>\\[\\text{Dominanta} = 6\\]</p>\n<p>Obie metody dają ten sam wynik ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)</strong></p>\n<blockquote><strong>Mediana</strong> - środkowy wyraz szeregu po posortowaniu:<br>- Dla \\(n\\) nieparzystego: wyraz na pozycji \\(\\frac{n+1}{2}\\)<br>- Dla \\(n\\) parzystego: średnia wyrazów na pozycjach \\(\\frac{n}{2}\\) i \\(\\frac{n}{2}+1\\)</blockquote>\n<p>Tu \\(n = 24\\) (parzyste), więc:<br>\\[\\text{Mediana} = \\frac{x_{12} + x_{13}}{2} = \\frac{4+5}{2} = 4{,}5\\]</p>\n<blockquote><strong>Dominanta (moda)</strong> - wartość o najwyższej częstości (na karcie nie ma wzoru, ale definicja jest powszechna)</blockquote>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy parzystej liczbie danych mediana to <strong>średnia dwóch środkowych wyrazów</strong> - nie jeden z nich. Tu 12. wyraz to 4, a 13. to 5, więc mediana wynosi 4,5 - <strong>nie</strong> 4 ani 5!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Dominanta to ocena o <strong>największej liczbie uczniów</strong>, nie o najwyższej wartości. Łatwo pomylić - ocena 6 jest zarówno najwyższa, jak i najczęstsza, ale to przypadek. W ogólności mogłoby być inaczej.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Sprawdź zawsze, czy suma słupków = podana liczba uczniów (\\(24\\)). To pozwoli wychwycić błąd w odczycie diagramu.</blockquote>\n<p><strong>Zadanie otwarte - uzupelnij zdania (2 pkt)</strong></p>\n<h5>Dane z diagramu</h5>\n<p>Liczba uczniow: 24. Oceny i ich liczby:</p>\n<ul><li>ocena 1: 1 uczen</li><li>ocena 2: 3 uczniow</li><li>ocena 3: 4 uczniow</li><li>ocena 4: 4 uczniow</li><li>ocena 5: 5 uczniow</li><li>ocena 6: 7 uczniow</li></ul>\n<p>Suma: 1+3+4+4+5+7=24. OK.</p>\n<h5>Mediana (12 i 13 pozycja)</h5>\n<p>Uporzadkowane: 1, 2,2,2, 3,3,3,3, 4,4,4,4, 5,5,5,5,5, 6,6,6,6,6,6,6.<br>Pozycja 12 to ostatnia 4, pozycja 13 to pierwsza 5:<br>\\[\\text{mediana} = \\dfrac{4+5}{2} = 4{,}5\\]</p>\n<h5>Dominanta</h5>\n<p>Najczestsza ocena: 6 (7 razy).<br>Dominanta = <strong>6</strong>.</p>\n<h5>CKE</h5>\n<p>2 pkt - poprawne obie odpowiedzi: mediana = 4,5, dominanta = 6.<br>1 pkt - jedna z dwoch.</p>\n<p><strong>Trik:</strong> Dla N=24 (parzysta) mediana to srednia 12. i 13. elementu w posortowanym ciagu.</p>"}]}