{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/31","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"31","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Rozważamy wszystkie prostopadłościany ABCDEFGH , w których krawędź BC ma długość 4 oraz suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka B jest równa 15\n\n/matma-quiz/images/cke/MMAP-P0-200-A-2505/z31.png\n\n. Niech P(x) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości x krawędzi AB . H G E F D C 4 A x B Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji P . Oblicz długość x krawędzi AB tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: x = 11/2\n\nKrawędź \\(AB\\) powinna mieć długość \\(\\frac{11}{2}\\), aby pole powierzchni całkowitej było największe.\n\n## Sposób 1 - wyznaczenie wzoru, dziedziny i wierzchołka paraboli\n\n**Krok 1 - Oznaczymy wymiary prostopadłościanu.**\n\nZ wierzchołka \\(B\\) wychodzą dokładnie trzy krawędzie:\n- \\(AB = x\\)\n- \\(BC = 4\\)\n- \\(BF\\) - wysokość prostopadłościanu, nazwijmy ją \\(h\\)\n\nWarunek z treści zadania:\n\\[x + 4 + h = 15 \\implies h = 11 - x\\]\n\n**Krok 2 - Dziedzina funkcji \\(P\\).**\n\nWszystkie wymiary muszą być dodatnie:\n\\[x > 0 \\quad \\text{oraz} \\quad h = 11 - x > 0 \\implies x < 11\\]\n\n**Dziedzina:** \\(x \\in (0, 11)\\)\n\n**Krok 3 - Wzór na pole powierzchni całkowitej.**\n\nDla prostopadłościanu o wymiarach \\(x\\), \\(4\\), \\(11 - x\\):\n\\[P_c = 2(ab + bc + ca) = 2\\bigl(x \\cdot 4 + 4 \\cdot (11-x) + (11-x) \\cdot x\\bigr)\\]\n\nRozwijamy:\n\\[P(x) = 2\\bigl(4x + 44 - 4x + 11x - x^2\\bigr) = 2\\bigl(44 + 11x - x^2\\bigr)\\]\n\n\\[\\boxed{P(x) = -2x^2 + 22x + 88, \\quad x \\in (0,\\, 11)}\\]\n\n**Krok 4 - Maksimum funkcji kwadratowej.**\n\n\\(P(x)\\) to trójmian kwadratowy z \\(a = -2 < 0\\), więc parabola jest skierowana ramionami w dół - ma **maksimum w wierzchołku**.\n\nWspółrzędna \\(x\\) wierzchołka:\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{22}{2 \\cdot (-2)} = -\\frac{22}{-4} = \\frac{11}{2}\\]\n\nSprawdzamy, czy należy do dziedziny: \\(0 < \\frac{11}{2} < 11\\) ✓\n\n\\[\\textbf{Maksimum osiągane dla } x = \\frac{11}{2}\\]\n\nWartość maksymalna:\n\\[P\\!\\left(\\tfrac{11}{2}\\right) = -2 \\cdot \\left(\\tfrac{11}{2}\\right)^2 + 22 \\cdot \\tfrac{11}{2} + 88 = -\\frac{121}{2} + 121 + 88 = \\frac{297}{2}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez uzupełnienie do kwadratu\n\nWychodzimy z:\n\\[P(x) = -2x^2 + 22x + 88\\]\n\nWyciągamy \\(-2\\) przed nawias:\n\\[P(x) = -2\\!\\left(x^2 - 11x\\right) + 88\\]\n\nUzupełniamy do pełnego kwadratu:\n\\[x^2 - 11x = \\left(x - \\frac{11}{2}\\right)^2 - \\frac{121}{4}\\]\n\nZatem:\n\\[P(x) = -2\\!\\left[\\left(x - \\tfrac{11}{2}\\right)^2 - \\frac{121}{4}\\right] + 88 = -2\\left(x - \\frac{11}{2}\\right)^2 + \\frac{121}{2} + 88\\]\n\n\\[P(x) = -2\\left(x - \\frac{11}{2}\\right)^2 + \\frac{297}{2}\\]\n\nWyrażenie \\(-2\\!\\left(x - \\frac{11}{2}\\right)^2 \\leq 0\\), więc \\(P(x) \\leq \\frac{297}{2}\\) - **maksimum** wynosi \\(\\frac{297}{2}\\) i jest osiągane dla \\(x = \\frac{11}{2}\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu:\n\\[P_c = 2(ab + bc + ca)\\]\nUżyliśmy bezpośrednio do wyznaczenia wzoru \\(P(x)\\).\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - współrzędna wierzchołka paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia \\(x = \\frac{11}{2}\\) jako miejsca maksimum.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Z wierzchołka prostopadłościanu wychodzą **trzy** krawędzie, nie cztery. Pomylenie z liczbą wszystkich krawędzi (\\(12\\)) to częsty błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Parabola \\(P(x) = -2x^2 + 22x + 88\\) ma ramiona skierowane **w dół** (bo \\(a = -2 < 0\\)) - to maksimum, nie minimum. Uczniowie czasem mechanicznie \"szukają minimum\" nie sprawdzając znaku \\(a\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dziedzina to otwarty przedział \\((0, 11)\\) - granice nie należą (prostopadłościan zdegenerowałby się do płaskiej figury). Sprawdź, że \\(p = \\frac{11}{2}\\) rzeczywiście leży **wewnątrz** dziedziny, zanim napiszesz, że to maksimum globalne.\n\n**Zadanie otwarte - optymalizacja (4 pkt)**\n\n**Wynik:** \\(P(x)=-2x^{2}+22x+88\\), \\(D=(0, 11)\\), \\(x=\\dfrac{11}{2}\\)\n\n### Sposob 1 - Funkcja kwadratowa\nOznaczenia: \\(|AB|=x\\), \\(|BC|=4\\), \\(|BF|=?\\). Suma krawedzi z B: \\(|AB|+|BC|+|BF|=15\\), wiec \\(|BF|=15-x-4=11-x\\).\n\nPole powierzchni prostopadloscianu:\n\\[P = 2(|AB|\\cdot|BC|+|AB|\\cdot|BF|+|BC|\\cdot|BF|)\\]\n\\[P(x) = 2(4x + x(11-x) + 4(11-x))\\]\n\\[= 2(4x + 11x - x^{2} + 44 - 4x) = 2(-x^{2}+11x+44) = -2x^{2}+22x+88\\]\n\n**Dziedzina:** \\(x>0\\) i \\(|BF|=11-x>0 \\Rightarrow x<11\\). Zatem \\(D=(0, 11)\\).\n\n**Maksimum:** Parabola \\(a=-2<0\\) (ramiona w dol). Wierzcholek: \\(x = -\\dfrac{b}{2a} = -\\dfrac{22}{-4} = \\dfrac{11}{2}\\). \\(\\dfrac{11}{2} \\in (0,11)\\) - OK.\n\nOdpowiedz: \\(x = \\dfrac{11}{2}\\) (czyli 5,5).\n\n### CKE (zasady oceniania)\n4 pkt - wzor \\(P(x)=-2x^{2}+22x+88\\), dziedzina \\((0,11)\\), wynik \\(x=\\dfrac{11}{2}\\).\n3 pkt - wzor + dziedzina ALBO wzor + wspolrzedna wierzcholka.\n2 pkt - tylko wzor \\(P(x)\\) bez dziedziny ALBO zaleznosc \\(x+4+|BF|=15\\) + zakres.\n1 pkt - zapisanie \\(x+4+|BF|=15\\).\n\n**Trik:** W optymalizacji kwadratowej wystarczy policzyc \\(x_{w}=-\\dfrac{b}{2a}\\) i sprawdzic, ze mieści sie w dziedzinie. Dla \\(a<0\\) to maksimum.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Rozważamy wszystkie prostopadłościany ABCDEFGH , w których krawędź BC ma długość 4 oraz suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka B jest równa 15

\n

/matma-quiz/images/cke/MMAP-P0-200-A-2505/z31.png

\n

. Niech P(x) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości x krawędzi AB . H G E F D C 4 A x B Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji P . Oblicz długość x krawędzi AB tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: x = 11/2

\n

Krawędź \\(AB\\) powinna mieć długość \\(\\frac{11}{2}\\), aby pole powierzchni całkowitej było największe.

\n

Sposób 1 - wyznaczenie wzoru, dziedziny i wierzchołka paraboli

\n

Krok 1 - Oznaczymy wymiary prostopadłościanu.

\n

Z wierzchołka \\(B\\) wychodzą dokładnie trzy krawędzie:

\n\n

Warunek z treści zadania:
\\[x + 4 + h = 15 \\implies h = 11 - x\\]

\n

Krok 2 - Dziedzina funkcji \\(P\\).

\n

Wszystkie wymiary muszą być dodatnie:
\\[x > 0 \\quad \\text{oraz} \\quad h = 11 - x > 0 \\implies x < 11\\]

\n

Dziedzina: \\(x \\in (0, 11)\\)

\n

Krok 3 - Wzór na pole powierzchni całkowitej.

\n

Dla prostopadłościanu o wymiarach \\(x\\), \\(4\\), \\(11 - x\\):
\\[P_c = 2(ab + bc + ca) = 2\\bigl(x \\cdot 4 + 4 \\cdot (11-x) + (11-x) \\cdot x\\bigr)\\]

\n

Rozwijamy:
\\[P(x) = 2\\bigl(4x + 44 - 4x + 11x - x^2\\bigr) = 2\\bigl(44 + 11x - x^2\\bigr)\\]

\n

\\[\\boxed{P(x) = -2x^2 + 22x + 88, \\quad x \\in (0,\\, 11)}\\]

\n

Krok 4 - Maksimum funkcji kwadratowej.

\n

\\(P(x)\\) to trójmian kwadratowy z \\(a = -2 < 0\\), więc parabola jest skierowana ramionami w dół - ma maksimum w wierzchołku.

\n

Współrzędna \\(x\\) wierzchołka:
\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{22}{2 \\cdot (-2)} = -\\frac{22}{-4} = \\frac{11}{2}\\]

\n

Sprawdzamy, czy należy do dziedziny: \\(0 < \\frac{11}{2} < 11\\) ✓

\n

\\[\\textbf{Maksimum osiągane dla } x = \\frac{11}{2}\\]

\n

Wartość maksymalna:
\\[P\\!\\left(\\tfrac{11}{2}\\right) = -2 \\cdot \\left(\\tfrac{11}{2}\\right)^2 + 22 \\cdot \\tfrac{11}{2} + 88 = -\\frac{121}{2} + 121 + 88 = \\frac{297}{2}\\]

\n

Sposób 2 - weryfikacja przez uzupełnienie do kwadratu

\n

Wychodzimy z:
\\[P(x) = -2x^2 + 22x + 88\\]

\n

Wyciągamy \\(-2\\) przed nawias:
\\[P(x) = -2\\!\\left(x^2 - 11x\\right) + 88\\]

\n

Uzupełniamy do pełnego kwadratu:
\\[x^2 - 11x = \\left(x - \\frac{11}{2}\\right)^2 - \\frac{121}{4}\\]

\n

Zatem:
\\[P(x) = -2\\!\\left[\\left(x - \\tfrac{11}{2}\\right)^2 - \\frac{121}{4}\\right] + 88 = -2\\left(x - \\frac{11}{2}\\right)^2 + \\frac{121}{2} + 88\\]

\n

\\[P(x) = -2\\left(x - \\frac{11}{2}\\right)^2 + \\frac{297}{2}\\]

\n

Wyrażenie \\(-2\\!\\left(x - \\frac{11}{2}\\right)^2 \\leq 0\\), więc \\(P(x) \\leq \\frac{297}{2}\\) - maksimum wynosi \\(\\frac{297}{2}\\) i jest osiągane dla \\(x = \\frac{11}{2}\\). ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 12 (Stereometria, s. 26-28) - pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu:
\\[P_c = 2(ab + bc + ca)\\]
Użyliśmy bezpośrednio do wyznaczenia wzoru \\(P(x)\\).

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - współrzędna wierzchołka paraboli:
\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]
Użyliśmy do wyznaczenia \\(x = \\frac{11}{2}\\) jako miejsca maksimum.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Z wierzchołka prostopadłościanu wychodzą trzy krawędzie, nie cztery. Pomylenie z liczbą wszystkich krawędzi (\\(12\\)) to częsty błąd.
\n
⚠️ Uwaga: Parabola \\(P(x) = -2x^2 + 22x + 88\\) ma ramiona skierowane w dół (bo \\(a = -2 < 0\\)) - to maksimum, nie minimum. Uczniowie czasem mechanicznie "szukają minimum" nie sprawdzając znaku \\(a\\).
\n
⚠️ Uwaga: Dziedzina to otwarty przedział \\((0, 11)\\) - granice nie należą (prostopadłościan zdegenerowałby się do płaskiej figury). Sprawdź, że \\(p = \\frac{11}{2}\\) rzeczywiście leży wewnątrz dziedziny, zanim napiszesz, że to maksimum globalne.
\n

Zadanie otwarte - optymalizacja (4 pkt)

\n

Wynik: \\(P(x)=-2x^{2}+22x+88\\), \\(D=(0, 11)\\), \\(x=\\dfrac{11}{2}\\)

\n
Sposob 1 - Funkcja kwadratowa
\n

Oznaczenia: \\(|AB|=x\\), \\(|BC|=4\\), \\(|BF|=?\\). Suma krawedzi z B: \\(|AB|+|BC|+|BF|=15\\), wiec \\(|BF|=15-x-4=11-x\\).

\n

Pole powierzchni prostopadloscianu:
\\[P = 2(|AB|\\cdot|BC|+|AB|\\cdot|BF|+|BC|\\cdot|BF|)\\]
\\[P(x) = 2(4x + x(11-x) + 4(11-x))\\]
\\[= 2(4x + 11x - x^{2} + 44 - 4x) = 2(-x^{2}+11x+44) = -2x^{2}+22x+88\\]

\n

Dziedzina: \\(x>0\\) i \\(|BF|=11-x>0 \\Rightarrow x<11\\). Zatem \\(D=(0, 11)\\).

\n

Maksimum: Parabola \\(a=-2<0\\) (ramiona w dol). Wierzcholek: \\(x = -\\dfrac{b}{2a} = -\\dfrac{22}{-4} = \\dfrac{11}{2}\\). \\(\\dfrac{11}{2} \\in (0,11)\\) - OK.

\n

Odpowiedz: \\(x = \\dfrac{11}{2}\\) (czyli 5,5).

\n
CKE (zasady oceniania)
\n

4 pkt - wzor \\(P(x)=-2x^{2}+22x+88\\), dziedzina \\((0,11)\\), wynik \\(x=\\dfrac{11}{2}\\).
3 pkt - wzor + dziedzina ALBO wzor + wspolrzedna wierzcholka.
2 pkt - tylko wzor \\(P(x)\\) bez dziedziny ALBO zaleznosc \\(x+4+|BF|=15\\) + zakres.
1 pkt - zapisanie \\(x+4+|BF|=15\\).

\n

Trik: W optymalizacji kwadratowej wystarczy policzyc \\(x_{w}=-\\dfrac{b}{2a}\\) i sprawdzic, ze mieści sie w dziedzinie. Dla \\(a<0\\) to maksimum.

"}]}