{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"5","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (0-4)\nRozwiąż nierówność\n|𝒙-𝟐| -𝟐⋅|𝒙+ 𝟑| < -𝟐\nZapisz obliczenia.\n5.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nRozwiąż nierówność |x-2|-2⋅|x+3| < -2. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.R4) rozwiązuje równania i nierówności\nz wartością bezwzględną.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥∈(-∞, -10) ∪(-2\n3 , +∞).\n3 pkt - zapisanie trzech przedziałów: (-∞, -3) i [-3, 2) i [2, +∞) (z dokładnością do\ndomknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej\nw każdym z tych przedziałów oraz rozwiązanie nierówności w dwóch spośród tych\nprzedziałów - tj. wyznaczenie części wspólnych zbiorów rozwiązań zapisanych\nnierówności z rozpatrywanymi przedziałami,\nALBO\n- zapisanie czterech przypadków: 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 ≥0,\n𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 ≥0 (z dokładnością do domknięcia)\noraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym\nz tych przypadków oraz rozwiązanie nierówności w dwóch spośród trzech\nnastępujących przypadków: 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 < 0,\n𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 ≥0 - tj. wyznaczenie części wspólnych zbiorów rozwiązań\nzapisanych nierówności,\nALBO\n- zapisanie, że przypadek 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 ≥0 jest sprzeczny oraz zapisanie\ntrzech przypadków: 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 < 0,\n𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 ≥0 (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności\nbez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków oraz\nrozwiązanie nierówności w dwóch spośród tych trzech przypadków - tj. wyznaczenie\nczęści wspólnych zbiorów rozwiązań zapisanych nierówności,\nALBO\n- zapisanie nierówności w postaci równoważnej koniunkcji dwóch nierówności:\n𝑥-2 < -2 + 2 ⋅|𝑥+ 3| i 𝑥-2 > -(-2 + 2 ⋅|𝑥+ 3|), a następnie w postaci\nrównoważnej koniunkcji alternatyw nierówności bez użycia symbolu wartości\nbezwzględnej:\n(𝑥+ 3 > 1\n2 𝑥 lub 𝑥+ 3 < -1\n2 𝑥) i (𝑥+ 3 > 4-𝑥\n2 lub 𝑥+ 3 < -4-𝑥\n2 ),\nALBO\n- odczytanie z wykresów funkcji 𝑓 oraz 𝑔 pierwszych współrzędnych punktów ich\nprzecięcia: 𝑥= -2\n3 oraz 𝑥= -10 i sprawdzenie rachunkiem poprawności\nodczytanych współrzędnych.\n2 pkt - zapisanie trzech przedziałów: (-∞, -3) i [-3, 2) i [2, +∞) (z dokładnością do\ndomknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej\nw każdym z tych przedziałów\nALBO\n- zapisanie czterech przypadków: 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 ≥0,\n𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 ≥0 (z dokładnością do domknięcia)\noraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym\nz tych przypadków,\nALBO\n- zapisanie trzech przypadków: 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 < 0,\n𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 ≥0 (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności\nbez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków oraz\nzapisanie, że przypadek 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 ≥0 jest sprzeczny,\nALBO\n- zapisanie nierówności w postaci równoważnej koniunkcji dwóch nierówności:\n𝑥-2 < -2 + 2 ⋅|𝑥+ 3| i 𝑥-2 > -(-2 + 2 ⋅|𝑥+ 3|),\nALBO\n- narysowanie wykresów funkcji 𝑓(𝑥) = |𝑥-2| oraz 𝑔(𝑥) = 2 ⋅|𝑥+ 3| -2.\n1 pkt - zapisanie trzech przedziałów: (-∞, -3) i [-3, 2) i [2, +∞) (z dokładnością do\ndomknięcia) oraz zapisanie danej nierówności w jednym z tych przedziałów bez\nużycia symbolu wartości bezwzględnej\nALBO\n- zapisanie jednego z przedziałów: (-∞, -3), [-3, 2), [2, +∞) (z dokładnością do\ndomknięcia) oraz rozwiązanie danej nierówności w tym przedziale - tj. wyznaczenie\nczęści wspólnej zbioru rozwiązań zapisanej nierówności z rozpatrywanym\nprzedziałem,\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- zapisanie czterech przypadków: 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 ≥0,\n𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 ≥0 (z dokładnością do domknięcia)\noraz zapisanie danej nierówności w jednym z tych przypadków bez użycia wartości\nbezwzględnej,\nALBO\n- zapisanie jednego z trzech przypadków: 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 < 0,\n𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 ≥0 (z dokładnością do domknięcia)\noraz rozwiązanie danej nierówności w tym przypadku - tj. wyznaczenie części\nwspólnej zbiorów rozwiązań zapisanych nierówności.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający, zapisując nierówność bez użycia wartości bezwzględnej, popełni błąd,\nktóry nie jest rachunkowy, tylko w jednym z rozpatrywanych przypadków/przedziałów\ni rozwiąże zadanie do końca, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie,\no ile nie nabył prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania.\n2. Jeżeli zdający nie rozpatruje przedziałów, które wyczerpują zbiór wszystkich liczb\nrzeczywistych i w których nierówność ma różne postaci (lub rozpatruje przypadki\nwyznaczone jedynie przez nierówności ostre, które nie wyczerpują zbioru ℝ), to może\notrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający przy rozwiązaniu graficznym poda zbiór rozwiązań\n(-∞, -10) ∪(-2\n3 , +∞), ale nie sprawdzi rachunkiem pierwszych współrzędnych\npunktów przecięcia wykresów funkcji 𝑓 i 𝑔, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za\ncałe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nWyznaczamy przedziały, które wyczerpują zbiór wszystkich liczb rzeczywistych i w których\nnierówność ma różne postaci: (-∞, -3) i [-3, 2) i [2, +∞).\nRozważamy trzy przypadki.\nPrzypadek 1. (gdy 𝑥∈(-∞, -3))\nW tym przypadku nierówność ma postać -𝑥+ 2 + 2(𝑥+ 3) < -2, czyli 𝑥< -10.\nStąd otrzymujemy 𝑥∈(-∞, -10).\nPrzypadek 2. (gdy 𝑥∈[-3, 2))\nW tym przypadku nierówność ma postać -𝑥+ 2 -2(𝑥+ 3) < -2, czyli 𝑥> -2\n3 .\nStąd otrzymujemy 𝑥∈(-2\n3 , 2).\nPrzypadek 3. (gdy 𝑥∈[2, +∞))\nW tym przypadku nierówność ma postać 𝑥-2 -2(𝑥+ 3) < -2, czyli 𝑥> -6.\nStąd otrzymujemy 𝑥∈[2, +∞).\nOstatecznie rozwiązaniami nierówności |𝑥-2| -2 ⋅|𝑥+ 3| < -2 są wszystkie liczby ze\nzbioru (-∞, -10) ∪(-2\n3 , +∞).\nSposób II (poprzez koniunkcję nierówności)\nDla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 prawdziwe są\nrównoważności:\n(1) |𝑥| < 𝑎 wtedy i tylko wtedy, gdy 𝑥< 𝑎 i 𝑥> -𝑎\noraz\n(2) |𝑥| > 𝑎 wtedy i tylko wtedy, gdy 𝑥> 𝑎 lub 𝑥< -𝑎.\nPrzekształcamy nierówność |𝑥-2| -2 ⋅|𝑥+ 3| < -2 , korzystając z równoważności (1):\n𝑥-2 < -2 + 2 ⋅|𝑥+ 3| i 𝑥-2 > -(-2 + 2 ⋅|𝑥+ 3|)\n|𝑥+ 3| > 1\n2 𝑥 i |𝑥+ 3| > 4 -𝑥\n2\nRozwiązujemy każdą z otrzymanych nierówności, korzystając z równoważności (2):\n(𝑥+ 3 > 1\n2 𝑥 lub 𝑥+ 3 < -1\n2 𝑥) i (𝑥+ 3 > 4 -𝑥\n2\nlub 𝑥+ 3 < -4 -𝑥\n2\n)\n(𝑥> -6 lub 𝑥< -2) i (𝑥> -2\n3 lub 𝑥< -10)\n𝑥∈ℝ i (𝑥> -2\n3 lub 𝑥< -10)\n𝑥> -2\n3 lub 𝑥< -10\nRozwiązaniami nierówności |𝑥-2| -2 ⋅|𝑥+ 3| < -2 są wszystkie liczby ze zbioru\n(-∞, -10) ∪(-2\n3 , +∞).","solution":"Odpowiedź: $x \\in (-\\infty,\\ -10) \\cup \\left(-\\dfrac{2}{3},\\ +\\infty\\right)$\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nStrategia — rozważ przypadki według znaków modułów\n\nModuły $|x - 2|$ i $|x + 3|$ zmieniają znak w punktach $x = 2$ i $x = -3$. Te dwa punkty dzielą oś liczbową na trzy przedziały:\n\n1. $x < -3$\n2. $-3 \\leq x < 2$\n3. $x \\geq 2$\n\nW każdym przedziale moduły rozwijają się jednoznacznie (z odpowiednim znakiem). Rozwiązujemy nierówność osobno w każdym przedziale i łączymy wyniki.\n\nPrzypadek 1: $x < -3$\n\nW tym przedziale $x - 2 < 0$ i $x + 3 < 0$, więc:\n\n- $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$\n- $|x + 3| = -(x + 3) = -x - 3$\n\nPodstaw do nierówności:\n\n$$(2 - x) - 2 \\cdot (-x - 3) < -2$$\n\n$$2 - x + 2x + 6 < -2$$\n\n$$x + 8 < -2 \\quad\\Rightarrow\\quad x < -10$$\n\nŁącząc z warunkiem przypadku ($x < -3$): rozwiązanie tutaj to $x < -10$ (bo $-10 < -3$, więc $x < -10$ jest mocniejszym warunkiem).\n\nWynik przypadku 1: $x \\in (-\\infty, -10)$.\n\nPrzypadek 2: $-3 \\leq x < 2$\n\nW tym przedziale $x - 2 < 0$ ale $x + 3 \\geq 0$, więc:\n\n- $|x - 2| = 2 - x$\n- $|x + 3| = x + 3$\n\nPodstaw:\n\n$$(2 - x) - 2 (x + 3) < -2$$\n\n$$2 - x - 2x - 6 < -2$$\n\n$$-3x - 4 < -2 \\quad\\Rightarrow\\quad -3x < 2 \\quad\\Rightarrow\\quad x > -\\frac{2}{3}$$\n\n(uwaga: dzielenie przez $-3$ odwraca nierówność).\n\nŁącząc z warunkiem przypadku ($-3 \\leq x < 2$): rozwiązanie to przecięcie $x > -\\tfrac{2}{3}$ z $\\langle -3, 2)$:\n\nWynik przypadku 2: $x \\in \\left(-\\tfrac{2}{3},\\ 2\\right)$.\n\nPrzypadek 3: $x \\geq 2$\n\nW tym przedziale oba moduły rozwijają się „bez minusa\":\n\n- $|x - 2| = x - 2$\n- $|x + 3| = x + 3$\n\nPodstaw:\n\n$$(x - 2) - 2(x + 3) < -2$$\n\n$$x - 2 - 2x - 6 < -2$$\n\n$$-x - 8 < -2 \\quad\\Rightarrow\\quad -x < 6 \\quad\\Rightarrow\\quad x > -6$$\n\nTo zawsze prawda dla $x \\geq 2$ (bo $2 > -6$).\n\nWynik przypadku 3: $x \\in \\langle 2,\\ +\\infty)$.\n\nŁączenie wyników\n\nSuma rozwiązań ze wszystkich trzech przypadków:\n\n$$(-\\infty, -10) \\cup \\left(-\\frac{2}{3}, 2\\right) \\cup \\langle 2, +\\infty)$$\n\nDrugi i trzeci przedział sklejają się w $\\left(-\\tfrac{2}{3}, +\\infty\\right)$ (bo $2$ należy do trzeciego przedziału).\n\n$$x \\in (-\\infty, -10) \\cup \\left(-\\frac{2}{3}, +\\infty\\right)$$\n\nSprawdzenie liczbowe\n\nSprawdźmy „punkty kontrolne\" z różnych części rozwiązania:\n\n- $x = -11$ (z pierwszego przedziału): $|-11 - 2| - 2 |-11 + 3| = 13 - 16 = -3 < -2$ ✓\n- $x = -5$ (poza rozwiązaniem): $|-5 - 2| - 2 |-5 + 3| = 7 - 4 = 3$, NIE $< -2$ ✓ (nie należy)\n- $x = 0$ (z drugiego rozwiązania): $|0 - 2| - 2 |0 + 3| = 2 - 6 = -4 < -2$ ✓\n- $x = -1$ (poza, $-1 < -\\tfrac{2}{3}$): $|-3| - 2|2| = 3 - 4 = -1$, NIE $< -2$ ✓ (nie należy)\n\nGranice sprawdzone — rozwiązanie pasuje.\n\nPunktacja CKE\n\n- 1 pkt — wyznaczenie przedziałów dla rozwiązania (lub zapisanie nierówności w jednym z przypadków).\n- 2 pkt — rozwiązanie nierówności w jednym z trzech przypadków.\n- 3 pkt — rozwiązanie w dwóch z trzech przypadków.\n- 4 pkt — pełne rozwiązanie + złączony zbiór $(-\\infty, -10) \\cup (-\\tfrac{2}{3}, +\\infty)$.\n\nKlucz uniwersalny\n\nProcedura dla nierówności z wartościami bezwzględnymi:\n\n1. Wyznacz punkty zerowania każdego modułu — to granice przedziałów.\n2. Rozwiąż w każdym przedziale osobno — w każdym moduły rozwijają się jednoznacznie.\n3. Połącz wyniki — suma zbiorów rozwiązań z każdego przedziału.\n\nLiczba przedziałów = liczba modułów + 1.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: rozważenie tylko dwóch przypadków zamiast trzech. Z dwoma modułami |x-2| i |x+3| mamy DWA punkty zerowania: x=2 i x=-3, czyli TRZY przedziały na osi: x<-3, -3≤x<2, x≥2. Każdy wymaga osobnego rozważenia znaków modułów.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/sol-5.svg","topics":"nierówności z wartością bezwzględną, bezwgledna","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 5. (0-4)
Rozwiąż nierówność
|𝒙-𝟐| -𝟐⋅|𝒙+ 𝟑| < -𝟐
Zapisz obliczenia.
5.
0-1-
2-3-4

\n

MMAP-R0_100

\n

MMAP-R0_100
Rozwiąż nierówność |x-2|-2⋅|x+3| < -2. Zapisz obliczenia.

","answer_text_html":"

Zadanie 5. (0-4)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Stosowanie obiektów matematycznych
\n

i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
III.R4) rozwiązuje równania i nierówności
z wartością bezwzględną.
Zasady oceniania
4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥∈(-∞, -10) ∪(-2
3 , +∞).
3 pkt - zapisanie trzech przedziałów: (-∞, -3) i [-3, 2) i [2, +∞) (z dokładnością do
domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej
w każdym z tych przedziałów oraz rozwiązanie nierówności w dwóch spośród tych
przedziałów - tj. wyznaczenie części wspólnych zbiorów rozwiązań zapisanych
nierówności z rozpatrywanymi przedziałami,
ALBO

\n\n

𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 ≥0 (z dokładnością do domknięcia)
oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym
z tych przypadków oraz rozwiązanie nierówności w dwóch spośród trzech
następujących przypadków: 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 < 0,
𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 ≥0 - tj. wyznaczenie części wspólnych zbiorów rozwiązań
zapisanych nierówności,
ALBO

\n\n

trzech przypadków: 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 < 0,
𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 ≥0 (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności
bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków oraz
rozwiązanie nierówności w dwóch spośród tych trzech przypadków - tj. wyznaczenie
części wspólnych zbiorów rozwiązań zapisanych nierówności,
ALBO

\n\n

𝑥-2 < -2 + 2 ⋅|𝑥+ 3| i 𝑥-2 > -(-2 + 2 ⋅|𝑥+ 3|), a następnie w postaci
równoważnej koniunkcji alternatyw nierówności bez użycia symbolu wartości
bezwzględnej:
(𝑥+ 3 > 1
2 𝑥 lub 𝑥+ 3 < -1
2 𝑥) i (𝑥+ 3 > 4-𝑥
2 lub 𝑥+ 3 < -4-𝑥
2 ),
ALBO

\n\n

przecięcia: 𝑥= -2
3 oraz 𝑥= -10 i sprawdzenie rachunkiem poprawności
odczytanych współrzędnych.
2 pkt - zapisanie trzech przedziałów: (-∞, -3) i [-3, 2) i [2, +∞) (z dokładnością do
domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej
w każdym z tych przedziałów
ALBO

\n\n

𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 ≥0 (z dokładnością do domknięcia)
oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym
z tych przypadków,
ALBO

\n\n

𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 ≥0 (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności
bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków oraz
zapisanie, że przypadek 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 ≥0 jest sprzeczny,
ALBO

\n\n

𝑥-2 < -2 + 2 ⋅|𝑥+ 3| i 𝑥-2 > -(-2 + 2 ⋅|𝑥+ 3|),
ALBO

\n\n

1 pkt - zapisanie trzech przedziałów: (-∞, -3) i [-3, 2) i [2, +∞) (z dokładnością do
domknięcia) oraz zapisanie danej nierówności w jednym z tych przedziałów bez
użycia symbolu wartości bezwzględnej
ALBO

\n\n

domknięcia) oraz rozwiązanie danej nierówności w tym przedziale - tj. wyznaczenie
części wspólnej zbioru rozwiązań zapisanej nierówności z rozpatrywanym
przedziałem,
ALBO
Zasady oceniania rozwiązań zadań

\n\n

𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 ≥0 (z dokładnością do domknięcia)
oraz zapisanie danej nierówności w jednym z tych przypadków bez użycia wartości
bezwzględnej,
ALBO

\n\n

𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 ≥0 (z dokładnością do domknięcia)
oraz rozwiązanie danej nierówności w tym przypadku - tj. wyznaczenie części
wspólnej zbiorów rozwiązań zapisanych nierówności.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający, zapisując nierówność bez użycia wartości bezwzględnej, popełni błąd,
\n

który nie jest rachunkowy, tylko w jednym z rozpatrywanych przypadków/przedziałów
i rozwiąże zadanie do końca, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie,
o ile nie nabył prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania.

\n
  1. Jeżeli zdający nie rozpatruje przedziałów, które wyczerpują zbiór wszystkich liczb
\n

rzeczywistych i w których nierówność ma różne postaci (lub rozpatruje przypadki
wyznaczone jedynie przez nierówności ostre, które nie wyczerpują zbioru ℝ), to może
otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający przy rozwiązaniu graficznym poda zbiór rozwiązań
\n

(-∞, -10) ∪(-2
3 , +∞), ale nie sprawdzi rachunkiem pierwszych współrzędnych
punktów przecięcia wykresów funkcji 𝑓 i 𝑔, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za
całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Wyznaczamy przedziały, które wyczerpują zbiór wszystkich liczb rzeczywistych i w których
nierówność ma różne postaci: (-∞, -3) i [-3, 2) i [2, +∞).
Rozważamy trzy przypadki.
Przypadek 1. (gdy 𝑥∈(-∞, -3))
W tym przypadku nierówność ma postać -𝑥+ 2 + 2(𝑥+ 3) < -2, czyli 𝑥< -10.
Stąd otrzymujemy 𝑥∈(-∞, -10).
Przypadek 2. (gdy 𝑥∈[-3, 2))
W tym przypadku nierówność ma postać -𝑥+ 2 -2(𝑥+ 3) < -2, czyli 𝑥> -2
3 .
Stąd otrzymujemy 𝑥∈(-2
3 , 2).
Przypadek 3. (gdy 𝑥∈[2, +∞))
W tym przypadku nierówność ma postać 𝑥-2 -2(𝑥+ 3) < -2, czyli 𝑥> -6.
Stąd otrzymujemy 𝑥∈[2, +∞).
Ostatecznie rozwiązaniami nierówności |𝑥-2| -2 ⋅|𝑥+ 3| < -2 są wszystkie liczby ze
zbioru (-∞, -10) ∪(-2
3 , +∞).
Sposób II (poprzez koniunkcję nierówności)
Dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 prawdziwe są
równoważności:
(1) |𝑥| < 𝑎 wtedy i tylko wtedy, gdy 𝑥< 𝑎 i 𝑥> -𝑎
oraz
(2) |𝑥| > 𝑎 wtedy i tylko wtedy, gdy 𝑥> 𝑎 lub 𝑥< -𝑎.
Przekształcamy nierówność |𝑥-2| -2 ⋅|𝑥+ 3| < -2 , korzystając z równoważności (1):
𝑥-2 < -2 + 2 ⋅|𝑥+ 3| i 𝑥-2 > -(-2 + 2 ⋅|𝑥+ 3|)
|𝑥+ 3| > 1
2 𝑥 i |𝑥+ 3| > 4 -𝑥
2
Rozwiązujemy każdą z otrzymanych nierówności, korzystając z równoważności (2):
(𝑥+ 3 > 1
2 𝑥 lub 𝑥+ 3 < -1
2 𝑥) i (𝑥+ 3 > 4 -𝑥
2
lub 𝑥+ 3 < -4 -𝑥
2
)
(𝑥> -6 lub 𝑥< -2) i (𝑥> -2
3 lub 𝑥< -10)
𝑥∈ℝ i (𝑥> -2
3 lub 𝑥< -10)
𝑥> -2
3 lub 𝑥< -10
Rozwiązaniami nierówności |𝑥-2| -2 ⋅|𝑥+ 3| < -2 są wszystkie liczby ze zbioru
(-∞, -10) ∪(-2
3 , +∞).

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/sol-5.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Odpowiedź: $x \\in (-\\infty,\\ -10) \\cup \\left(-\\dfrac{2}{3},\\ +\\infty\\right)$

\n

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

\n

Strategia — rozważ przypadki według znaków modułów

\n

Moduły $|x - 2|$ i $|x + 3|$ zmieniają znak w punktach $x = 2$ i $x = -3$. Te dwa punkty dzielą oś liczbową na trzy przedziały:

\n
  1. $x < -3$
  2. $-3 \\leq x < 2$
  3. $x \\geq 2$
\n

W każdym przedziale moduły rozwijają się jednoznacznie (z odpowiednim znakiem). Rozwiązujemy nierówność osobno w każdym przedziale i łączymy wyniki.

\n

Przypadek 1: $x < -3$

\n

W tym przedziale $x - 2 < 0$ i $x + 3 < 0$, więc:

\n\n

Podstaw do nierówności:

\n

$$(2 - x) - 2 \\cdot (-x - 3) < -2$$

\n

$$2 - x + 2x + 6 < -2$$

\n

$$x + 8 < -2 \\quad\\Rightarrow\\quad x < -10$$

\n

Łącząc z warunkiem przypadku ($x < -3$): rozwiązanie tutaj to $x < -10$ (bo $-10 < -3$, więc $x < -10$ jest mocniejszym warunkiem).

\n

Wynik przypadku 1: $x \\in (-\\infty, -10)$.

\n

Przypadek 2: $-3 \\leq x < 2$

\n

W tym przedziale $x - 2 < 0$ ale $x + 3 \\geq 0$, więc:

\n\n

Podstaw:

\n

$$(2 - x) - 2 (x + 3) < -2$$

\n

$$2 - x - 2x - 6 < -2$$

\n

$$-3x - 4 < -2 \\quad\\Rightarrow\\quad -3x < 2 \\quad\\Rightarrow\\quad x > -\\frac{2}{3}$$

\n

(uwaga: dzielenie przez $-3$ odwraca nierówność).

\n

Łącząc z warunkiem przypadku ($-3 \\leq x < 2$): rozwiązanie to przecięcie $x > -\\tfrac{2}{3}$ z $\\langle -3, 2)$:

\n

Wynik przypadku 2: $x \\in \\left(-\\tfrac{2}{3},\\ 2\\right)$.

\n

Przypadek 3: $x \\geq 2$

\n

W tym przedziale oba moduły rozwijają się „bez minusa":

\n\n

Podstaw:

\n

$$(x - 2) - 2(x + 3) < -2$$

\n

$$x - 2 - 2x - 6 < -2$$

\n

$$-x - 8 < -2 \\quad\\Rightarrow\\quad -x < 6 \\quad\\Rightarrow\\quad x > -6$$

\n

To zawsze prawda dla $x \\geq 2$ (bo $2 > -6$).

\n

Wynik przypadku 3: $x \\in \\langle 2,\\ +\\infty)$.

\n

Łączenie wyników

\n

Suma rozwiązań ze wszystkich trzech przypadków:

\n

$$(-\\infty, -10) \\cup \\left(-\\frac{2}{3}, 2\\right) \\cup \\langle 2, +\\infty)$$

\n

Drugi i trzeci przedział sklejają się w $\\left(-\\tfrac{2}{3}, +\\infty\\right)$ (bo $2$ należy do trzeciego przedziału).

\n

$$x \\in (-\\infty, -10) \\cup \\left(-\\frac{2}{3}, +\\infty\\right)$$

\n

Sprawdzenie liczbowe

\n

Sprawdźmy „punkty kontrolne" z różnych części rozwiązania:

\n\n

Granice sprawdzone — rozwiązanie pasuje.

\n

Punktacja CKE

\n\n

Klucz uniwersalny

\n

Procedura dla nierówności z wartościami bezwzględnymi:

\n
  1. Wyznacz punkty zerowania każdego modułu — to granice przedziałów.
  2. Rozwiąż w każdym przedziale osobno — w każdym moduły rozwijają się jednoznacznie.
  3. Połącz wyniki — suma zbiorów rozwiązań z każdego przedziału.
\n

Liczba przedziałów = liczba modułów + 1.

\n

Typowy błąd: Najczęstszy błąd: rozważenie tylko dwóch przypadków zamiast trzech. Z dwoma modułami |x-2| i |x+3| mamy DWA punkty zerowania: x=2 i x=-3, czyli TRZY przedziały na osi: x<-3, -3≤x<2, x≥2. Każdy wymaga osobnego rozważenia znaków modułów.

"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x \\in (-\\infty,\\, -10) \\cup \\left(-\\frac{2}{3},\\, +\\infty\\right)\\)

\n

Sposób 1 - Przedziałowa analiza przypadków

\n

Wyrażenia pod wartością bezwzględną zmieniają znak w punktach:
\\[x - 2 = 0 \\implies x = 2 \\qquad x + 3 = 0 \\implies x = -3\\]

\n

Dzielimy oś liczbową na trzy przedziały i rozpatrujemy je kolejno.

\n
Przypadek 1: \\(x < -3\\)
\n

Oba wyrażenia są ujemne:
\\[|x-2| = -(x-2) = -x+2, \\qquad |x+3| = -(x+3) = -x-3\\]

\n

Nierówność staje się:
\\[(-x+2) - 2(-x-3) < -2\\]
\\[-x+2+2x+6 < -2\\]
\\[x + 8 < -2\\]
\\[x < -10\\]

\n

Część wspólna z \\(x < -3\\): \\(\\quad x \\in (-\\infty,\\, -10)\\) ✓

\n
Przypadek 2: \\(-3 \\leq x < 2\\)
\n

\\[|x-2| = -x+2, \\qquad |x+3| = x+3\\]

\n

\\[(-x+2) - 2(x+3) < -2\\]
\\[-x+2-2x-6 < -2\\]
\\[-3x - 4 < -2\\]
\\[-3x < 2\\]
\\[x > -\\frac{2}{3}\\]

\n

Część wspólna z \\(-3 \\leq x < 2\\): \\(\\quad x \\in \\left(-\\frac{2}{3},\\, 2\\right)\\) ✓

\n
Przypadek 3: \\(x \\geq 2\\)
\n

\\[|x-2| = x-2, \\qquad |x+3| = x+3\\]

\n

\\[(x-2) - 2(x+3) < -2\\]
\\[x-2-2x-6 < -2\\]
\\[-x - 8 < -2\\]
\\[-x < 6\\]
\\[x > -6\\]

\n

Część wspólna z \\(x \\geq 2\\): \\(\\quad x \\in \\langle 2,\\, +\\infty)\\) ✓

\n
Suma rozwiązań
\n

\\[(-\\infty,\\,-10) \\;\\cup\\; \\left(-\\frac{2}{3},\\,2\\right) \\;\\cup\\; \\langle 2,\\,+\\infty)\\]

\n

Przedziały \\(\\left(-\\frac{2}{3}, 2\\right)\\) i \\(\\langle 2, +\\infty)\\) są sąsiednie i razem dają \\(\\left(-\\frac{2}{3}, +\\infty\\right)\\), zatem:

\n

\\[\\boxed{x \\in \\left(-\\infty,\\,-10\\right) \\cup \\left(-\\frac{2}{3},\\,+\\infty\\right)}\\]

\n

Sposób 2 - Analiza wykresu funkcji kawałkami liniowej

\n

Zdefiniujmy \\(g(x) = |x-2| - 2|x+3|\\). Szukamy, gdzie \\(g(x) < -2\\).

\n

Na każdym przedziale \\(g\\) jest funkcją liniową:

\n

| Przedział | Wzór \\(g(x)\\) | Nachylenie |
| \\(x < -3\\) | \\(x + 8\\) | rosnąca |
| \\(-3 \\leq x < 2\\) | \\(-3x - 4\\) | malejąca |
| \\(x \\geq 2\\) | \\(-x - 8\\) | malejąca |

\n

Wartości w punktach złamania:
\\[g(-3) = -3 + 8 = 5, \\qquad g(2) = -2 - 8 = -10\\]

\n

Szukamy przecięć \\(g(x) = -2\\):

\n

Na \\(x < -3\\): \\(\\quad x + 8 = -2 \\implies x = -10\\). Ponieważ \\(g\\) rośnie, warunek \\(g(x) < -2\\) zachodzi dla \\(x < -10\\).

\n

Na \\(-3 \\leq x < 2\\): \\(\\quad -3x - 4 = -2 \\implies x = -\\frac{2}{3}\\). Ponieważ \\(g\\) maleje, warunek zachodzi dla \\(x > -\\frac{2}{3}\\), czyli \\(x \\in \\left(-\\frac{2}{3}, 2\\right)\\).

\n

Na \\(x \\geq 2\\): Sprawdzamy wartość w lewym krańcu: \\(g(2) = -10 < -2\\). Funkcja jest tu malejąca, więc dla wszystkich \\(x \\geq 2\\) mamy \\(g(x) \\leq -10 < -2\\). Cały przedział \\(\\langle 2, +\\infty)\\) należy do rozwiązania.

\n

Łącząc: \\(x \\in (-\\infty, -10) \\cup \\left(-\\frac{2}{3}, +\\infty\\right)\\) ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 1 (Wartość bezwzględna, s. 4) - definicja i nierówności:
\\[|x| = \\begin{cases} x & \\text{dla } x \\geq 0 \\\\ -x & \\text{dla } x < 0 \\end{cases}\\]
Wprost użyte przy rozpisaniu \\(|x-2|\\) i \\(|x+3|\\) w każdym przypadku.

\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: Przy rozpisywaniu \\(|x+3|\\) w przypadku \\(x < -3\\) - wyrażenie \\(x+3\\) jest ujemne, więc \\(|x+3| = -(x+3)\\). Częsty błąd to zostawienie \\(|x+3| = x+3\\) bez zmiany znaku.
\n
⚠️ Uwaga: W przypadku 2, przy mnożeniu przez \\(-3\\) (ujemne!) nierówność zmienia zwrot: \\(-3x < 2 \\implies x > -\\frac{2}{3}\\). Niezmienienie zwrotu to klasyczna, kosztowna pomyłka.
\n
⚠️ Uwaga: Na końcu nie zapomnij połączyć przedziałów \\(\\left(-\\frac{2}{3}, 2\\right)\\) i \\(\\langle 2, +\\infty)\\) w jeden - punkt \\(x = 2\\) należy do przypadku 3 i spełnia nierówność (\\(g(2) = -10 < -2\\)), więc granica jest domknięta od lewej strony i można zapisać \\(\\left(-\\frac{2}{3}, +\\infty\\right)\\).
\n
Sposób I (rozważenie przedziałów)
\n

Miejsca zerowe wyrażeń pod modułami: \\(x=2\\) oraz \\(x=-3\\). Dzielą one \\(\\mathbb{R}\\) na trzy przedziały.

\n

Przypadek 1: \\(x\\in(-\\infty,-3)\\). Wtedy \\(|x-2|=-(x-2)=-x+2\\) oraz \\(|x+3|=-(x+3)=-x-3\\). Nierówność:
\\[(-x+2)-2(-x-3)<-2\\]
\\[-x+2+2x+6<-2\\]
\\[x+8<-2\\Rightarrow x<-10\\]
Część wspólna z \\((-\\infty,-3)\\): \\(x\\in(-\\infty,-10)\\).

\n

Przypadek 2: \\(x\\in[-3,2)\\). Wtedy \\(|x-2|=-x+2\\) oraz \\(|x+3|=x+3\\). Nierówność:
\\[(-x+2)-2(x+3)<-2\\]
\\[-x+2-2x-6<-2\\]
\\[-3x-4<-2\\Rightarrow -3x<2\\Rightarrow x>-\\tfrac{2}{3}\\]
Część wspólna z \\([-3,2)\\): \\(x\\in\\left(-\\tfrac{2}{3},2\\right)\\).

\n

Przypadek 3: \\(x\\in[2,+\\infty)\\). Wtedy \\(|x-2|=x-2\\) oraz \\(|x+3|=x+3\\). Nierówność:
\\[(x-2)-2(x+3)<-2\\]
\\[x-2-2x-6<-2\\]
\\[-x-8<-2\\Rightarrow x>-6\\]
Część wspólna z \\([2,+\\infty)\\): \\(x\\in[2,+\\infty)\\).

\n

Suma: \\(x\\in(-\\infty,-10)\\cup\\left(-\\tfrac{2}{3},2\\right)\\cup [2,+\\infty)=(-\\infty,-10)\\cup\\left(-\\tfrac{2}{3},+\\infty\\right)\\).

\n
Sposób II (koniunkcja nierówności z wartości bezwzględnej)
\n

Stosujemy równoważność \\(|y|<a\\Leftrightarrow -a<y<a\\) z \\(y=x-2\\) i \\(a=2|x+3|-2\\). Warunek \\(a>0\\) to \\(|x+3|>1\\). Dalej:
\\[-(2|x+3|-2)<x-2<2|x+3|-2\\]
Co daje koniunkcję \\(|x+3|>\\tfrac{x}{2}\\;\\wedge\\; |x+3|>\\tfrac{4-x}{2}\\).

\n

Rozwiązując każdą z nich przez \\(|y|>b\\Leftrightarrow y>b\\lor y<-b\\) i biorąc część wspólną, otrzymujemy \\(x>-\\tfrac{2}{3}\\lor x<-10\\).

\n
Karta wzorów CKE
\n

Wartość bezwzględna: \\(|x|=\\begin{cases}x, & x\\geq 0\\\\-x, & x<0\\end{cases}\\), oraz \\(|y|<a\\Leftrightarrow -a<y<a\\) dla \\(a>0\\) (str. 3).

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: Wykresy \\(f(x)=|x-2|\\) i \\(g(x)=2|x+3|-2\\) to linie łamane. Punkty przecięcia: \\(x=-10\\) (wysokość 12) i \\(x=-\\tfrac{2}{3}\\) (wysokość \\(\\tfrac{8}{3}\\)). Pytamy, gdzie \\(f<g\\) - na zewnątrz odcinka \\([-10,-\\tfrac{2}{3}]\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x \\in (-\\infty, -10) \\cup \\left(-\\dfrac{2}{3}, +\\infty\\right)$

"}]}