{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"6","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-4)\nCiąg (𝑎𝑛), określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1, jest geometryczny i zbieżny.\nW tym ciągu 𝑎1 + 𝑎3 = 20 i 𝑎1\n2 + 𝑎3\n2 = 328.\nOblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Rozważ wszystkie przypadki.\nZapisz obliczenia.\n6.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nCiąg (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, jest geometryczny i zbieżny. W tym ciągu a_1 + a_3 = 20 i a_1² + a_3² = 328. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nVI.R2) rozpoznaje zbieżne szeregi\ngeometryczne i oblicza ich sumę.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 27\n2 lub 27.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n3 pkt - obliczenie 𝑎1 oraz 𝑞: (𝑎1, 𝑞) = (18, 1\n3), (𝑎1, 𝑞) = (18, -1\n3), (𝑎1, 𝑞) = (2, 3),\n(𝑎1, 𝑞) = (2, -3)\nALBO\n- obliczenie 𝑎3 oraz 𝑞: (𝑎3, 𝑞) = (2, 1\n3), (𝑎3, 𝑞) = (2, -1\n3), (𝑎3, 𝑞) = (18, 3),\n(𝑎3, 𝑞) = (18, -3),\nALBO\n- obliczenie 𝑎2 oraz 𝑞: (𝑎2, 𝑞) = (-6, -3), (𝑎2, 𝑞) = (-6, -1\n3), (𝑎2, 𝑞) = (6, 1\n3),\n(𝑎2, 𝑞) = (6, 3) (dla sposobu III),\nALBO\n- wyznaczenie jednej z par (𝑎1, 𝑞), dla której szereg geometryczny jest zbieżny\ni obliczenie sumy tego szeregu, np. (𝑎1, 𝑞) = (18, 1\n3) i 𝑆= 27, (𝑎1, 𝑞) = (18, -1\n3)\ni 𝑆= 27\n2 ,\nALBO\n- wyznaczenie jednej z par (𝑎3, 𝑞), dla której szereg geometryczny jest zbieżny\ni obliczenie sumy tego szeregu, np. (𝑎3, 𝑞) = (2, 1\n3) i 𝑆= 27, (𝑎3, 𝑞) = (2, -1\n3)\ni 𝑆= 27\n2 ,\nALBO\n- wyznaczenie jednej z par (𝑎2, 𝑞), dla której szereg geometryczny jest zbieżny\ni obliczenie sumy tego szeregu, np. (𝑎2, 𝑞) = (6, 1\n3) i 𝑆= 27, (𝑎2, 𝑞) = (-6, -1\n3)\ni 𝑆= 27\n2 (dla sposobu III).\n2 pkt - obliczenie 𝑎1 : 𝑎1 = 2 oraz 𝑎1 = 18\nALBO\n- obliczenie 𝑎3 : 𝑎3 = 18 oraz 𝑎3 = 2,\nALBO\n- obliczenie 𝑞2: 𝑞2 = 9 oraz 𝑞2 = 1\n9 ,\nALBO\n- zapisanie alternatywy równań -6\n𝑞-6𝑞= 20 lub 6\n𝑞+ 6𝑞= 20 (dla sposobu III),\nALBO\n- zapisanie równania 36\n𝑞2 + 36𝑞2 = 328 (dla sposobu III).\n1 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą (𝑎1 lub 𝑎3 , lub 𝑞), np.\n𝑎1\n2 + (20 -𝑎1)2 = 328, (20 -𝑎3)2 + 𝑎3\n2 = 328,\n400\n(𝑞2 + 1)\n2 ⋅(1 + 𝑞4) = 328\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎2 , np. 𝑎2\n2 = 36, 202 -2𝑎2\n2 = 328 (dla\nsposobu III).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający odrzuci otrzymane wartości 𝑞= 3 oraz 𝑞= -3 (lub parę\n(𝑎1 , 𝑎3) = (2, 18) ) bez komentarza, to może otrzymać 4 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający nie odrzuci wartości 𝑞= 3 oraz 𝑞= -3 i zastosuje wzór na sumę\nszeregu geometrycznego dla 𝑞= 3 (albo dla 𝑞= -3), to może otrzymać co najwyżej\n3 punkty za całe rozwiązanie.\n3. a) Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy, ale otrzyma co najmniej jeden iloraz\nspełniający warunek |𝑞| < 1 oraz co najmniej jeden iloraz spełniający warunek |𝑞| ≥1\ni rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie\n(2 punkty za pary (𝑎1, 𝑞) oraz 1 punkt za obliczenie sum szeregów dla wszystkich\notrzymanych ilorazów 𝑞 spełniających warunek |𝑞| < 1, o ile nie obliczy sumy szeregu\ndla ilorazu spełniającego warunek |𝑞| ≥1).\n3. b) Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy, ale otrzyma co najmniej dwa ilorazy\ni wszystkie z nich spełniają warunek |𝑞| < 1 oraz rozwiąże zadanie do końca, to może\notrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za pary (𝑎1, 𝑞) oraz 1 punkt\nza obliczenie sum szeregów dla wszystkich otrzymanych ilorazów 𝑞), o ile nie nabył\nprawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania.\n4. Jeżeli zdający popełni błąd, który nie jest rachunkowy, ale otrzyma co najmniej jeden\niloraz spełniający warunek |𝑞| < 1 i rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co\nnajwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za pary (𝑎1, 𝑞) oraz 1 punkt za\nobliczenie sum szeregów dla wszystkich otrzymanych ilorazów 𝑞 spełniających warunek\n|𝑞| < 1, o ile nie obliczy sumy szeregu dla ilorazu spełniającego warunek |𝑞| ≥1), o ile\nnie nabył prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania.\n5. Jeżeli zdający odgadnie rozwiązanie układu równań 𝑎1 + 𝑎3 = 20 i 𝑎1\n2 + 𝑎3\n2 = 328:\n(𝑎1 , 𝑎3) = (18, 2) oraz obliczy poprawnie obie sumy szeregu: 𝑆= 27 i 𝑆= 27\n2 i nie\nobliczy sumy szeregu dla ilorazu spełniającego warunek |𝑞| ≥1, to otrzymuje 1 punkt za\ncałe rozwiązanie.\n6. Jeżeli zdający odgadnie rozwiązania układu równań 𝑎1 + 𝑎3 = 20 i 𝑎1\n2 + 𝑎3\n2 = 328:\n(𝑎1 , 𝑎3) = (18, 2) oraz (𝑎1 , 𝑎3) = (2, 18), ale nie obliczy poprawnie obu sum szeregu:\n𝑆= 27 i 𝑆= 27\n2 lub obliczy sumę szeregu dla ilorazu spełniającego warunek |𝑞| ≥1,\nto otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nNiech 𝑞 oznacza iloraz ciągu (𝑎𝑛). Z warunków 𝑎1 + 𝑎3 = 20 i 𝑎1\n2 + 𝑎3\n2 = 328\notrzymujemy:\n𝑎1\n2 + (20 -𝑎1)2 = 328\n2𝑎1\n2 -40𝑎1 + 72 = 0\n𝑎1 = 2 ∨ 𝑎1 = 18\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nGdy 𝑎1 = 2, to 𝑎3 = 20 -𝑎1 = 18 i wtedy 𝑞2 = 9, więc 𝑞= -3 lub 𝑞= 3. Dla każdej\nz tych wartości ilorazu ciąg (𝑎𝑛) jest rozbieżny i tym samym nie są spełnione warunki\nzadania.\nGdy 𝑎1 = 18, to 𝑎3 = 20 -𝑎1 = 2 i wtedy 𝑞2 = 1\n9 , więc 𝑞= -1\n3 lub 𝑞= 1\n3 . Dla każdej\nz tych wartości 𝑞 ciąg (𝑎𝑛) jest zbieżny, a ponieważ |-1\n3| < 1 oraz |1\n3| < 1, więc dla\nobu tych wartości ilorazu istnieje suma wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego (𝑎𝑛).\nDla 𝑎1 = 18 i 𝑞= -1\n3 suma 𝑆 wszystkich wyrazów ciągu (𝑎𝑛) jest równa\n𝑆=\n𝑎1\n1 -𝑞=\n18\n1 -(-1\n3)\n= 27\n2\nDla 𝑎1 = 18 i 𝑞= 1\n3 suma 𝑆 wszystkich wyrazów ciągu (𝑎𝑛) jest równa\n𝑆=\n𝑎1\n1 -𝑞=\n18\n1 -1\n3\n= 27\nSposób II\nNiech 𝑞 oznacza iloraz ciągu (𝑎𝑛). Z warunku 𝑎1 + 𝑎3 = 20 otrzymujemy\n𝑎1 + 𝑎1𝑞2 = 20, więc 𝑎1 =\n20\n𝑞2+1 i 𝑎1 ≠0.\nStąd i z warunku 𝑎1\n2 + 𝑎3\n2 = 328 otrzymujemy:\n𝑎1\n2 + (𝑎1𝑞2)2 = 328\n𝑎1\n2 ⋅(1 + 𝑞4) = 328\n400\n(𝑞2 + 1)2 ⋅(1 + 𝑞4) = 328\n72𝑞4 -656𝑞2 + 72 = 0\n9𝑞4 -82𝑞2 + 9 = 0\nΔ = (-82)2 -4 ⋅9 ⋅9 = 6400\n𝑞2 = 82 -80\n2 ⋅9\n= 1\n9 ∨ 𝑞2 = 82 + 80\n2 ⋅9\n= 9\n𝑞= -1\n3 ∨ 𝑞= 1\n3 ∨ 𝑞= -3 ∨ 𝑞= 3\nPonieważ 𝑎1 ≠0, więc dla 𝑞= -3 oraz 𝑞= 3 ciąg (𝑎𝑛) nie jest zbieżny.\nGdy 𝑞= -1\n3 , to 𝑎1 =\n20\n𝑞2+1 = 18 i ciąg (𝑎𝑛) jest zbieżny. Ponadto |-1\n3| < 1, więc\nistnieje suma 𝑆 wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego i jest ona równa\n𝑆=\n𝑎1\n1 -𝑞=\n18\n1 -(-1\n3)\n= 27\n2\nGdy 𝑞= 1\n3 , to 𝑎1 =\n20\n𝑞2+1 = 18 i ciąg (𝑎𝑛) jest zbieżny. Ponadto |1\n3| < 1, więc istnieje\nsuma 𝑆 wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego i jest ona równa\n𝑆=\n𝑎1\n1 -𝑞=\n18\n1 -1\n3\n= 27\nSposób III (poprzez 𝑎2)\nNiech 𝑞 oznacza iloraz ciągu (𝑎𝑛). Z warunków 𝑎1 + 𝑎3 = 20 i 𝑎1\n2 + 𝑎3\n2 = 328\notrzymujemy:\n𝑎1\n2 + 𝑎3\n2 = 328\n(𝑎1 + 𝑎3)2 -2𝑎1 ⋅𝑎3 = 328\n202 -2𝑎1 ⋅𝑎3 = 328\nStąd, po zastosowaniu własności ciągu geometrycznego, dostajemy\n202 -2𝑎2\n2 = 328\n𝑎2 = -6 ∨ 𝑎2 = 6\nPrzypadek 1. (gdy 𝑎2 = -6).\nWarunek 𝑎1 + 𝑎3 = 20 zapisujemy w postaci 𝑎2\n𝑞+ 𝑎2 ⋅𝑞= 20 i obliczamy iloraz ciągu:\n-6\n𝑞-6𝑞= 20\n-6𝑞2 -20𝑞-6 = 0\n𝑞= 20 -16\n-12\n= -1\n3 ∨ 𝑞= 20 + 16\n-12\n= -3\nGdy 𝑞= -1\n3 i 𝑎2 = -6, to ciąg (𝑎𝑛) jest zbieżny. Ponadto |-1\n3| < 1, więc istnieje\nsuma 𝑆 wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego i jest ona równa\n𝑆=\n𝑎2\n𝑞\n1 -𝑞=\n18\n1 -(-1\n3)\n= 27\n2\nGdy 𝑞= -3 i 𝑎2 = -6, to ciąg (𝑎𝑛) jest rozbieżny, więc warunki zadania nie są\nspełnione.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzypadek 2. (gdy 𝑎2 = 6).\nWarunek 𝑎1 + 𝑎3 = 20 zapisujemy w postaci 𝑎2\n𝑞+ 𝑎2 ⋅𝑞= 20 i obliczamy iloraz ciągu:\n6\n𝑞+ 6𝑞= 20\n6𝑞2 -20𝑞+ 6 = 0\n𝑞= 20 -16\n12\n= 1\n3 ∨ 𝑞= 20 + 16\n12\n= 3\nGdy 𝑞= 1\n3 i 𝑎2 = 6, to ciąg (𝑎𝑛) jest zbieżny. Ponadto |1\n3| < 1, więc istnieje suma 𝑆\nwszystkich wyrazów ciągu geometrycznego i jest ona równa\n𝑆=\n𝑎2\n𝑞\n1 -𝑞=\n18\n1 -1\n3\n= 27\nGdy 𝑞= 3 i 𝑎2 = 6, to ciąg (𝑎𝑛) jest rozbieżny, więc warunki zadania nie są spełnione.","solution":"Odpowiedź: $S = 27$ (dla $q = \\tfrac{1}{3}$) lub $S = \\dfrac{27}{2}$ (dla $q = -\\tfrac{1}{3}$).\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nKlucz teoretyczny\n\nSzereg geometryczny zbieżny istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy $|q| < 1$. Suma:\n\n$$S = \\frac{a_1}{1 - q}$$\n\nDla $|q| \\geq 1$ szereg jest rozbieżny (suma nieskończona).\n\nW ciągu geometrycznym: $a_3 = a_1 \\cdot q^2$.\n\nWyraź warunki przez $a_1$ i $q$.\n\nZ $a_3 = a_1 q^2$:\n\n$$a_1 + a_1 q^2 = 20 \\quad\\Rightarrow\\quad a_1(1 + q^2) = 20$$\n\n$$a_1^2 + a_1^2 q^4 = 328 \\quad\\Rightarrow\\quad a_1^2 (1 + q^4) = 328$$\n\nWyeliminuj $a_1$. Z pierwszego: $a_1 = \\dfrac{20}{1 + q^2}$. Podstaw do drugiego:\n\n$$\\left( \\frac{20}{1 + q^2} \\right)^2 \\cdot (1 + q^4) = 328$$\n\n$$\\frac{400 (1 + q^4)}{(1 + q^2)^2} = 328$$\n\n$$\\frac{1 + q^4}{(1 + q^2)^2} = \\frac{328}{400} = \\frac{41}{50}$$\n\nWprowadź podstawienie $t = q^2$ (gdzie $t \\geq 0$):\n\n$$\\frac{1 + t^2}{(1 + t)^2} = \\frac{41}{50}$$\n\n$$50 (1 + t^2) = 41 (1 + t)^2$$\n\n$$50 + 50 t^2 = 41 + 82 t + 41 t^2$$\n\n$$9 t^2 - 82 t + 9 = 0$$\n\nRozwiąż równanie kwadratowe.\n\n$$\\Delta = 82^2 - 4 \\cdot 9 \\cdot 9 = 6724 - 324 = 6400, \\quad \\sqrt{\\Delta} = 80$$\n\n$$t = \\frac{82 \\pm 80}{18}$$\n\n$$t_1 = \\frac{162}{18} = 9, \\quad t_2 = \\frac{2}{18} = \\frac{1}{9}$$\n\nWybierz $t$ spełniające warunek zbieżności $|q| < 1$, czyli $t = q^2 < 1$:\n\n- $t = 9$ → $q^2 = 9$, $|q| = 3$ — rozbieżny, odrzucamy.\n- $t = \\tfrac{1}{9}$ → $q^2 = \\tfrac{1}{9}$, $|q| = \\tfrac{1}{3}$ — zbieżny ✓\n\nCzyli $q = \\tfrac{1}{3}$ albo $q = -\\tfrac{1}{3}$.\n\nWyznacz $a_1$ dla obu przypadków. Dla $q^2 = \\tfrac{1}{9}$:\n\n$$a_1 = \\frac{20}{1 + \\tfrac{1}{9}} = \\frac{20}{\\tfrac{10}{9}} = \\frac{20 \\cdot 9}{10} = 18$$\n\nDla obu znaków $q$ to samo $a_1 = 18$ (bo zależy od $q^2$).\n\nOblicz sumę dla każdego przypadku.\n\nPrzypadek 1: $q = \\tfrac{1}{3}$\n\n$$S_1 = \\frac{a_1}{1 - q} = \\frac{18}{1 - \\tfrac{1}{3}} = \\frac{18}{\\tfrac{2}{3}} = 27$$\n\nPrzypadek 2: $q = -\\tfrac{1}{3}$\n\n$$S_2 = \\frac{a_1}{1 - q} = \\frac{18}{1 + \\tfrac{1}{3}} = \\frac{18}{\\tfrac{4}{3}} = \\frac{54}{4} = \\frac{27}{2}$$\n\nSprawdzenie\n\nDla $q = \\tfrac{1}{3}$: $a_1 = 18$, $a_2 = 6$, $a_3 = 2$. Suma $a_1 + a_3 = 20$ ✓, $a_1^2 + a_3^2 = 324 + 4 = 328$ ✓.\n\nDla $q = -\\tfrac{1}{3}$: $a_1 = 18$, $a_2 = -6$, $a_3 = 2$. Suma $a_1 + a_3 = 20$ ✓, $a_1^2 + a_3^2 = 324 + 4 = 328$ ✓.\n\nOba przypadki spełniają warunki — oba muszą być w odpowiedzi.\n\nPunktacja CKE\n\n- 1 pkt — zapisanie układu równań $a_1(1 + q^2) = 20$ oraz $a_1^2(1 + q^4) = 328$.\n- 2 pkt — sprowadzenie do równania kwadratowego $9t^2 - 82t + 9 = 0$ (lub równoważnego).\n- 3 pkt — rozwiązanie $q^2 = \\tfrac{1}{9}$ z odrzuceniem $q^2 = 9$ (warunek zbieżności).\n- 4 pkt — pełne rozwiązanie + obie sumy.\n\nKlucz uniwersalny\n\nSchemat dla zadań „szereg geometryczny zbieżny + dwa warunki\":\n\n1. Wyraź wszystkie wyrazy przez $a_1$ i $q$ (zwykle $a_n = a_1 q^{n-1}$).\n2. Wyeliminuj $a_1$ dzieląc/podstawiając, dostajesz równanie tylko z $q$ (zwykle kwadratowe po podstawieniu $t = q^2$).\n3. Rozwiąż na $q$, odrzuć te, dla których $|q| \\geq 1$.\n4. Rozważ obie wartości $\\pm q$ jeśli dotyczy.\n5. Suma $S = \\tfrac{a_1}{1 - q}$ — osobno dla każdego $q$.\n\nTypowy błąd: Najgorszy błąd: zapomnieć warunku \"zbieżny\" → $|q| < 1$. Bez tego przyjąłbyś też $q^2 = 9$, czyli $q = \\pm 3$, ale taki ciąg jest rozbieżny (suma nieskończona nie istnieje). Drugi błąd: jedna odpowiedź zamiast obu — treść wprost mówi \"rozważ wszystkie przypadki\".","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/sol-6.svg","topics":"szereg geometryczny, sumowanie nieskończone, ciagi","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 6. (0-4)<br>Ciąg (𝑎𝑛), określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1, jest geometryczny i zbieżny.<br>W tym ciągu 𝑎1 + 𝑎3 = 20 i 𝑎1<br>2 + 𝑎3<br>2 = 328.<br>Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Rozważ wszystkie przypadki.<br>Zapisz obliczenia.<br>6.<br>0-1-<br>2-3-4</p>\n<p>MMAP-R0_100</p>\n<p>MMAP-R0_100<br>Ciąg (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, jest geometryczny i zbieżny. W tym ciągu a_1 + a_3 = 20 i a_1² + a_3² = 328. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 6. (0-4)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Dobieranie i tworzenie modeli</li></ol>\n<p>matematycznych przy rozwiązywaniu<br>problemów praktycznych i teoretycznych.<br>Zdający:<br>VI.R2) rozpoznaje zbieżne szeregi<br>geometryczne i oblicza ich sumę.<br>Zasady oceniania<br>4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 27<br>2 lub 27.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>3 pkt - obliczenie 𝑎1 oraz 𝑞: (𝑎1, 𝑞) = (18, 1<br>3), (𝑎1, 𝑞) = (18, -1<br>3), (𝑎1, 𝑞) = (2, 3),<br>(𝑎1, 𝑞) = (2, -3)<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie 𝑎3 oraz 𝑞: (𝑎3, 𝑞) = (2, 1</li></ul>\n<p>3), (𝑎3, 𝑞) = (2, -1<br>3), (𝑎3, 𝑞) = (18, 3),<br>(𝑎3, 𝑞) = (18, -3),<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie 𝑎2 oraz 𝑞: (𝑎2, 𝑞) = (-6, -3), (𝑎2, 𝑞) = (-6, -1</li></ul>\n<p>3), (𝑎2, 𝑞) = (6, 1<br>3),<br>(𝑎2, 𝑞) = (6, 3) (dla sposobu III),<br>ALBO</p>\n<ul><li>wyznaczenie jednej z par (𝑎1, 𝑞), dla której szereg geometryczny jest zbieżny</li></ul>\n<p>i obliczenie sumy tego szeregu, np. (𝑎1, 𝑞) = (18, 1</p>\n<ol><li>i 𝑆= 27, (𝑎1, 𝑞) = (18, -1</li></ol>\n<p>3)<br>i 𝑆= 27<br>2 ,<br>ALBO</p>\n<ul><li>wyznaczenie jednej z par (𝑎3, 𝑞), dla której szereg geometryczny jest zbieżny</li></ul>\n<p>i obliczenie sumy tego szeregu, np. (𝑎3, 𝑞) = (2, 1</p>\n<ol><li>i 𝑆= 27, (𝑎3, 𝑞) = (2, -1</li></ol>\n<p>3)<br>i 𝑆= 27<br>2 ,<br>ALBO</p>\n<ul><li>wyznaczenie jednej z par (𝑎2, 𝑞), dla której szereg geometryczny jest zbieżny</li></ul>\n<p>i obliczenie sumy tego szeregu, np. (𝑎2, 𝑞) = (6, 1</p>\n<ol><li>i 𝑆= 27, (𝑎2, 𝑞) = (-6, -1</li></ol>\n<p>3)<br>i 𝑆= 27<br>2 (dla sposobu III).<br>2 pkt - obliczenie 𝑎1 : 𝑎1 = 2 oraz 𝑎1 = 18<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie 𝑎3 : 𝑎3 = 18 oraz 𝑎3 = 2,</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie 𝑞2: 𝑞2 = 9 oraz 𝑞2 = 1</li></ul>\n<p>9 ,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie alternatywy równań -6</li></ul>\n<p>𝑞-6𝑞= 20 lub 6<br>𝑞+ 6𝑞= 20 (dla sposobu III),<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równania 36</li></ul>\n<p>𝑞2 + 36𝑞2 = 328 (dla sposobu III).<br>1 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą (𝑎1 lub 𝑎3 , lub 𝑞), np.<br>𝑎1<br>2 + (20 -𝑎1)2 = 328, (20 -𝑎3)2 + 𝑎3<br>2 = 328,<br>400<br>(𝑞2 + 1)<br>2 ⋅(1 + 𝑞4) = 328<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎2 , np. 𝑎2</li></ul>\n<p>2 = 36, 202 -2𝑎2<br>2 = 328 (dla<br>sposobu III).<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający odrzuci otrzymane wartości 𝑞= 3 oraz 𝑞= -3 (lub parę</li></ol>\n<p>(𝑎1 , 𝑎3) = (2, 18) ) bez komentarza, to może otrzymać 4 punkty za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający nie odrzuci wartości 𝑞= 3 oraz 𝑞= -3 i zastosuje wzór na sumę</li></ol>\n<p>szeregu geometrycznego dla 𝑞= 3 (albo dla 𝑞= -3), to może otrzymać co najwyżej<br>3 punkty za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>a) Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy, ale otrzyma co najmniej jeden iloraz</li></ol>\n<p>spełniający warunek |𝑞| &lt; 1 oraz co najmniej jeden iloraz spełniający warunek |𝑞| ≥1<br>i rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie<br>(2 punkty za pary (𝑎1, 𝑞) oraz 1 punkt za obliczenie sum szeregów dla wszystkich<br>otrzymanych ilorazów 𝑞 spełniających warunek |𝑞| &lt; 1, o ile nie obliczy sumy szeregu<br>dla ilorazu spełniającego warunek |𝑞| ≥1).</p>\n<ol><li>b) Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy, ale otrzyma co najmniej dwa ilorazy</li></ol>\n<p>i wszystkie z nich spełniają warunek |𝑞| &lt; 1 oraz rozwiąże zadanie do końca, to może<br>otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za pary (𝑎1, 𝑞) oraz 1 punkt<br>za obliczenie sum szeregów dla wszystkich otrzymanych ilorazów 𝑞), o ile nie nabył<br>prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający popełni błąd, który nie jest rachunkowy, ale otrzyma co najmniej jeden</li></ol>\n<p>iloraz spełniający warunek |𝑞| &lt; 1 i rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co<br>najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za pary (𝑎1, 𝑞) oraz 1 punkt za<br>obliczenie sum szeregów dla wszystkich otrzymanych ilorazów 𝑞 spełniających warunek<br>|𝑞| &lt; 1, o ile nie obliczy sumy szeregu dla ilorazu spełniającego warunek |𝑞| ≥1), o ile<br>nie nabył prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający odgadnie rozwiązanie układu równań 𝑎1 + 𝑎3 = 20 i 𝑎1</li></ol>\n<p>2 + 𝑎3<br>2 = 328:<br>(𝑎1 , 𝑎3) = (18, 2) oraz obliczy poprawnie obie sumy szeregu: 𝑆= 27 i 𝑆= 27<br>2 i nie<br>obliczy sumy szeregu dla ilorazu spełniającego warunek |𝑞| ≥1, to otrzymuje 1 punkt za<br>całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający odgadnie rozwiązania układu równań 𝑎1 + 𝑎3 = 20 i 𝑎1</li></ol>\n<p>2 + 𝑎3<br>2 = 328:<br>(𝑎1 , 𝑎3) = (18, 2) oraz (𝑎1 , 𝑎3) = (2, 18), ale nie obliczy poprawnie obu sum szeregu:<br>𝑆= 27 i 𝑆= 27<br>2 lub obliczy sumę szeregu dla ilorazu spełniającego warunek |𝑞| ≥1,<br>to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Niech 𝑞 oznacza iloraz ciągu (𝑎𝑛). Z warunków 𝑎1 + 𝑎3 = 20 i 𝑎1<br>2 + 𝑎3<br>2 = 328<br>otrzymujemy:<br>𝑎1<br>2 + (20 -𝑎1)2 = 328<br>2𝑎1<br>2 -40𝑎1 + 72 = 0<br>𝑎1 = 2 ∨ 𝑎1 = 18<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Gdy 𝑎1 = 2, to 𝑎3 = 20 -𝑎1 = 18 i wtedy 𝑞2 = 9, więc 𝑞= -3 lub 𝑞= 3. Dla każdej<br>z tych wartości ilorazu ciąg (𝑎𝑛) jest rozbieżny i tym samym nie są spełnione warunki<br>zadania.<br>Gdy 𝑎1 = 18, to 𝑎3 = 20 -𝑎1 = 2 i wtedy 𝑞2 = 1<br>9 , więc 𝑞= -1<br>3 lub 𝑞= 1<br>3 . Dla każdej<br>z tych wartości 𝑞 ciąg (𝑎𝑛) jest zbieżny, a ponieważ |-1<br>3| &lt; 1 oraz |1<br>3| &lt; 1, więc dla<br>obu tych wartości ilorazu istnieje suma wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego (𝑎𝑛).<br>Dla 𝑎1 = 18 i 𝑞= -1<br>3 suma 𝑆 wszystkich wyrazów ciągu (𝑎𝑛) jest równa<br>𝑆=<br>𝑎1<br>1 -𝑞=<br>18<br>1 -(-1<br>3)<br>= 27<br>2<br>Dla 𝑎1 = 18 i 𝑞= 1<br>3 suma 𝑆 wszystkich wyrazów ciągu (𝑎𝑛) jest równa<br>𝑆=<br>𝑎1<br>1 -𝑞=<br>18<br>1 -1<br>3<br>= 27<br>Sposób II<br>Niech 𝑞 oznacza iloraz ciągu (𝑎𝑛). Z warunku 𝑎1 + 𝑎3 = 20 otrzymujemy<br>𝑎1 + 𝑎1𝑞2 = 20, więc 𝑎1 =<br>20<br>𝑞2+1 i 𝑎1 ≠0.<br>Stąd i z warunku 𝑎1<br>2 + 𝑎3<br>2 = 328 otrzymujemy:<br>𝑎1<br>2 + (𝑎1𝑞2)2 = 328<br>𝑎1<br>2 ⋅(1 + 𝑞4) = 328<br>400<br>(𝑞2 + 1)2 ⋅(1 + 𝑞4) = 328<br>72𝑞4 -656𝑞2 + 72 = 0<br>9𝑞4 -82𝑞2 + 9 = 0<br>Δ = (-82)2 -4 ⋅9 ⋅9 = 6400<br>𝑞2 = 82 -80<br>2 ⋅9<br>= 1<br>9 ∨ 𝑞2 = 82 + 80<br>2 ⋅9<br>= 9<br>𝑞= -1<br>3 ∨ 𝑞= 1<br>3 ∨ 𝑞= -3 ∨ 𝑞= 3<br>Ponieważ 𝑎1 ≠0, więc dla 𝑞= -3 oraz 𝑞= 3 ciąg (𝑎𝑛) nie jest zbieżny.<br>Gdy 𝑞= -1<br>3 , to 𝑎1 =<br>20<br>𝑞2+1 = 18 i ciąg (𝑎𝑛) jest zbieżny. Ponadto |-1<br>3| &lt; 1, więc<br>istnieje suma 𝑆 wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego i jest ona równa<br>𝑆=<br>𝑎1<br>1 -𝑞=<br>18<br>1 -(-1<br>3)<br>= 27<br>2<br>Gdy 𝑞= 1<br>3 , to 𝑎1 =<br>20<br>𝑞2+1 = 18 i ciąg (𝑎𝑛) jest zbieżny. Ponadto |1<br>3| &lt; 1, więc istnieje<br>suma 𝑆 wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego i jest ona równa<br>𝑆=<br>𝑎1<br>1 -𝑞=<br>18<br>1 -1<br>3<br>= 27<br>Sposób III (poprzez 𝑎2)<br>Niech 𝑞 oznacza iloraz ciągu (𝑎𝑛). Z warunków 𝑎1 + 𝑎3 = 20 i 𝑎1<br>2 + 𝑎3<br>2 = 328<br>otrzymujemy:<br>𝑎1<br>2 + 𝑎3<br>2 = 328<br>(𝑎1 + 𝑎3)2 -2𝑎1 ⋅𝑎3 = 328<br>202 -2𝑎1 ⋅𝑎3 = 328<br>Stąd, po zastosowaniu własności ciągu geometrycznego, dostajemy<br>202 -2𝑎2<br>2 = 328<br>𝑎2 = -6 ∨ 𝑎2 = 6<br>Przypadek 1. (gdy 𝑎2 = -6).<br>Warunek 𝑎1 + 𝑎3 = 20 zapisujemy w postaci 𝑎2<br>𝑞+ 𝑎2 ⋅𝑞= 20 i obliczamy iloraz ciągu:<br>-6<br>𝑞-6𝑞= 20<br>-6𝑞2 -20𝑞-6 = 0<br>𝑞= 20 -16<br>-12<br>= -1<br>3 ∨ 𝑞= 20 + 16<br>-12<br>= -3<br>Gdy 𝑞= -1<br>3 i 𝑎2 = -6, to ciąg (𝑎𝑛) jest zbieżny. Ponadto |-1<br>3| &lt; 1, więc istnieje<br>suma 𝑆 wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego i jest ona równa<br>𝑆=<br>𝑎2<br>𝑞<br>1 -𝑞=<br>18<br>1 -(-1<br>3)<br>= 27<br>2<br>Gdy 𝑞= -3 i 𝑎2 = -6, to ciąg (𝑎𝑛) jest rozbieżny, więc warunki zadania nie są<br>spełnione.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Przypadek 2. (gdy 𝑎2 = 6).<br>Warunek 𝑎1 + 𝑎3 = 20 zapisujemy w postaci 𝑎2<br>𝑞+ 𝑎2 ⋅𝑞= 20 i obliczamy iloraz ciągu:<br>6<br>𝑞+ 6𝑞= 20<br>6𝑞2 -20𝑞+ 6 = 0<br>𝑞= 20 -16<br>12<br>= 1<br>3 ∨ 𝑞= 20 + 16<br>12<br>= 3<br>Gdy 𝑞= 1<br>3 i 𝑎2 = 6, to ciąg (𝑎𝑛) jest zbieżny. Ponadto |1<br>3| &lt; 1, więc istnieje suma 𝑆<br>wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego i jest ona równa<br>𝑆=<br>𝑎2<br>𝑞<br>1 -𝑞=<br>18<br>1 -1<br>3<br>= 27<br>Gdy 𝑞= 3 i 𝑎2 = 6, to ciąg (𝑎𝑛) jest rozbieżny, więc warunki zadania nie są spełnione.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/sol-6.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: $S = 27$ (dla $q = \\tfrac{1}{3}$) lub $S = \\dfrac{27}{2}$ (dla $q = -\\tfrac{1}{3}$).</p>\n<p>Strona arkusza CKE z tym zadaniem</p>\n<p>Klucz teoretyczny</p>\n<p>Szereg geometryczny zbieżny istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy $|q| &lt; 1$. Suma:</p>\n<p>$$S = \\frac{a_1}{1 - q}$$</p>\n<p>Dla $|q| \\geq 1$ szereg jest rozbieżny (suma nieskończona).</p>\n<p>W ciągu geometrycznym: $a_3 = a_1 \\cdot q^2$.</p>\n<p>Wyraź warunki przez $a_1$ i $q$.</p>\n<p>Z $a_3 = a_1 q^2$:</p>\n<p>$$a_1 + a_1 q^2 = 20 \\quad\\Rightarrow\\quad a_1(1 + q^2) = 20$$</p>\n<p>$$a_1^2 + a_1^2 q^4 = 328 \\quad\\Rightarrow\\quad a_1^2 (1 + q^4) = 328$$</p>\n<p>Wyeliminuj $a_1$. Z pierwszego: $a_1 = \\dfrac{20}{1 + q^2}$. Podstaw do drugiego:</p>\n<p>$$\\left( \\frac{20}{1 + q^2} \\right)^2 \\cdot (1 + q^4) = 328$$</p>\n<p>$$\\frac{400 (1 + q^4)}{(1 + q^2)^2} = 328$$</p>\n<p>$$\\frac{1 + q^4}{(1 + q^2)^2} = \\frac{328}{400} = \\frac{41}{50}$$</p>\n<p>Wprowadź podstawienie $t = q^2$ (gdzie $t \\geq 0$):</p>\n<p>$$\\frac{1 + t^2}{(1 + t)^2} = \\frac{41}{50}$$</p>\n<p>$$50 (1 + t^2) = 41 (1 + t)^2$$</p>\n<p>$$50 + 50 t^2 = 41 + 82 t + 41 t^2$$</p>\n<p>$$9 t^2 - 82 t + 9 = 0$$</p>\n<p>Rozwiąż równanie kwadratowe.</p>\n<p>$$\\Delta = 82^2 - 4 \\cdot 9 \\cdot 9 = 6724 - 324 = 6400, \\quad \\sqrt{\\Delta} = 80$$</p>\n<p>$$t = \\frac{82 \\pm 80}{18}$$</p>\n<p>$$t_1 = \\frac{162}{18} = 9, \\quad t_2 = \\frac{2}{18} = \\frac{1}{9}$$</p>\n<p>Wybierz $t$ spełniające warunek zbieżności $|q| &lt; 1$, czyli $t = q^2 &lt; 1$:</p>\n<ul><li>$t = 9$ → $q^2 = 9$, $|q| = 3$ — rozbieżny, odrzucamy.</li><li>$t = \\tfrac{1}{9}$ → $q^2 = \\tfrac{1}{9}$, $|q| = \\tfrac{1}{3}$ — zbieżny ✓</li></ul>\n<p>Czyli $q = \\tfrac{1}{3}$ albo $q = -\\tfrac{1}{3}$.</p>\n<p>Wyznacz $a_1$ dla obu przypadków. Dla $q^2 = \\tfrac{1}{9}$:</p>\n<p>$$a_1 = \\frac{20}{1 + \\tfrac{1}{9}} = \\frac{20}{\\tfrac{10}{9}} = \\frac{20 \\cdot 9}{10} = 18$$</p>\n<p>Dla obu znaków $q$ to samo $a_1 = 18$ (bo zależy od $q^2$).</p>\n<p>Oblicz sumę dla każdego przypadku.</p>\n<p>Przypadek 1: $q = \\tfrac{1}{3}$</p>\n<p>$$S_1 = \\frac{a_1}{1 - q} = \\frac{18}{1 - \\tfrac{1}{3}} = \\frac{18}{\\tfrac{2}{3}} = 27$$</p>\n<p>Przypadek 2: $q = -\\tfrac{1}{3}$</p>\n<p>$$S_2 = \\frac{a_1}{1 - q} = \\frac{18}{1 + \\tfrac{1}{3}} = \\frac{18}{\\tfrac{4}{3}} = \\frac{54}{4} = \\frac{27}{2}$$</p>\n<p>Sprawdzenie</p>\n<p>Dla $q = \\tfrac{1}{3}$: $a_1 = 18$, $a_2 = 6$, $a_3 = 2$. Suma $a_1 + a_3 = 20$ ✓, $a_1^2 + a_3^2 = 324 + 4 = 328$ ✓.</p>\n<p>Dla $q = -\\tfrac{1}{3}$: $a_1 = 18$, $a_2 = -6$, $a_3 = 2$. Suma $a_1 + a_3 = 20$ ✓, $a_1^2 + a_3^2 = 324 + 4 = 328$ ✓.</p>\n<p>Oba przypadki spełniają warunki — oba muszą być w odpowiedzi.</p>\n<p>Punktacja CKE</p>\n<ul><li>1 pkt — zapisanie układu równań $a_1(1 + q^2) = 20$ oraz $a_1^2(1 + q^4) = 328$.</li><li>2 pkt — sprowadzenie do równania kwadratowego $9t^2 - 82t + 9 = 0$ (lub równoważnego).</li><li>3 pkt — rozwiązanie $q^2 = \\tfrac{1}{9}$ z odrzuceniem $q^2 = 9$ (warunek zbieżności).</li><li>4 pkt — pełne rozwiązanie + obie sumy.</li></ul>\n<p>Klucz uniwersalny</p>\n<p>Schemat dla zadań „szereg geometryczny zbieżny + dwa warunki&quot;:</p>\n<ol><li>Wyraź wszystkie wyrazy przez $a_1$ i $q$ (zwykle $a_n = a_1 q^{n-1}$).</li><li>Wyeliminuj $a_1$ dzieląc/podstawiając, dostajesz równanie tylko z $q$ (zwykle kwadratowe po podstawieniu $t = q^2$).</li><li>Rozwiąż na $q$, odrzuć te, dla których $|q| \\geq 1$.</li><li>Rozważ obie wartości $\\pm q$ jeśli dotyczy.</li><li>Suma $S = \\tfrac{a_1}{1 - q}$ — osobno dla każdego $q$.</li></ol>\n<p>Typowy błąd: Najgorszy błąd: zapomnieć warunku &quot;zbieżny&quot; → $|q| &lt; 1$. Bez tego przyjąłbyś też $q^2 = 9$, czyli $q = \\pm 3$, ale taki ciąg jest rozbieżny (suma nieskończona nie istnieje). Drugi błąd: jedna odpowiedź zamiast obu — treść wprost mówi &quot;rozważ wszystkie przypadki&quot;.</p>"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(S = 27\\) lub \\(S = \\frac{27}{2}\\)</h4>\n<p>(Dwa przypadki - zależnie od znaku ilorazu ciągu.)</p>\n<h4>Sposób 1 - Układ równań → równanie biquadratyczne</h4>\n<p><strong>Krok 1: Zapisz dane w języku ciągu geometrycznego.</strong></p>\n<p>Oznaczamy pierwszy wyraz jako \\(a_1\\), iloraz jako \\(q\\). W ciągu geometrycznym:<br>\\[a_3 = a_1 \\cdot q^2\\]</p>\n<p>Dane:<br>\\[\\begin{cases} a_1 + a_3 = 20 \\\\ a_1^2 + a_3^2 = 328 \\end{cases} \\implies \\begin{cases} a_1(1 + q^2) = 20 \\\\ a_1^2(1 + q^4) = 328 \\end{cases}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Wyraź \\(a_1\\) z pierwszego równania i podstaw do drugiego.</strong></p>\n<p>Z pierwszego równania:<br>\\[a_1 = \\frac{20}{1 + q^2}\\]</p>\n<p>Podstawiamy do drugiego:<br>\\[\\frac{400}{(1+q^2)^2} \\cdot (1 + q^4) = 328\\]</p>\n<p>\\[400(1 + q^4) = 328(1 + q^2)^2\\]</p>\n<p>Rozwijamy prawą stronę:<br>\\[400 + 400q^4 = 328 + 656q^2 + 328q^4\\]</p>\n<p>\\[72q^4 - 656q^2 + 72 = 0\\]</p>\n<p>Dzielimy przez \\(8\\):<br>\\[9q^4 - 82q^2 + 9 = 0\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Podstawienie \\(t = q^2\\).</strong></p>\n<p>\\[9t^2 - 82t + 9 = 0\\]</p>\n<p>\\[\\Delta = 82^2 - 4 \\cdot 9 \\cdot 9 = 6724 - 324 = 6400\\]</p>\n<p>\\[\\sqrt{\\Delta} = 80\\]</p>\n<p>\\[t_{1} = \\frac{82 + 80}{18} = \\frac{162}{18} = 9, \\qquad t_{2} = \\frac{82 - 80}{18} = \\frac{2}{18} = \\frac{1}{9}\\]</p>\n<p>Zatem:</p>\n<ul><li>\\(q^2 = 9 \\implies q = 3\\) lub \\(q = -3\\)</li><li>\\(q^2 = \\frac{1}{9} \\implies q = \\frac{1}{3}\\) lub \\(q = -\\frac{1}{3}\\)</li></ul>\n<p><strong>Krok 4: Warunek zbieżności ciągu geometrycznego.</strong></p>\n<p>Ciąg geometryczny jest zbieżny (nieskończona suma jest skończona) <strong>wtedy i tylko wtedy</strong>, gdy \\(|q| &lt; 1\\).</p>\n<ul><li>\\(|q| = 3 &gt; 1\\) - <strong>odrzucamy</strong></li><li>\\(|q| = \\frac{1}{3} &lt; 1\\) - <strong>przyjmujemy</strong> oba: \\(q = \\frac{1}{3}\\) i \\(q = -\\frac{1}{3}\\)</li></ul>\n<p><strong>Krok 5: Wyznaczamy \\(a_1\\) dla dopuszczalnych wartości \\(q\\).</strong></p>\n<p>Dla \\(q = \\frac{1}{3}\\) i \\(q = -\\frac{1}{3}\\) mamy \\(q^2 = \\frac{1}{9}\\), więc \\(a_1\\) jest takie samo:<br>\\[a_1 \\cdot \\left(1 + \\frac{1}{9}\\right) = 20 \\implies a_1 \\cdot \\frac{10}{9} = 20 \\implies a_1 = 18\\]</p>\n<p><strong>Krok 6: Suma nieskończonego ciągu geometrycznego.</strong></p>\n<p>\\[S = \\frac{a_1}{1 - q}\\]</p>\n<p><strong>Przypadek I:</strong> \\(q = \\frac{1}{3}\\)<br>\\[S = \\frac{18}{1 - \\frac{1}{3}} = \\frac{18}{\\frac{2}{3}} = 18 \\cdot \\frac{3}{2} = \\boxed{27}\\]</p>\n<p><strong>Przypadek II:</strong> \\(q = -\\frac{1}{3}\\)<br>\\[S = \\frac{18}{1 - \\left(-\\frac{1}{3}\\right)} = \\frac{18}{\\frac{4}{3}} = 18 \\cdot \\frac{3}{4} = \\boxed{\\frac{27}{2}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Tożsamość algebraiczna (szybsza ścieżka do \\(a_1 \\cdot a_3\\))</h4>\n<p>Zamiast od razu podstawiać, wykorzystajmy wzór na \\((a+b)^2\\):</p>\n<p>\\[(a_1 + a_3)^2 = a_1^2 + 2a_1 a_3 + a_3^2\\]</p>\n<p>\\[20^2 = 328 + 2a_1 a_3 \\implies 400 = 328 + 2a_1 a_3\\]</p>\n<p>\\[a_1 a_3 = 36\\]</p>\n<p>Teraz mamy układ:<br>\\[\\begin{cases} a_1 + a_3 = 20 \\\\ a_1 \\cdot a_3 = 36 \\end{cases}\\]</p>\n<p>To jest układ Viète&#x27;a - \\(a_1\\) i \\(a_3\\) są pierwiastkami równania:<br>\\[x^2 - 20x + 36 = 0\\]</p>\n<p>\\[\\Delta = 400 - 144 = 256, \\quad \\sqrt{\\Delta} = 16\\]</p>\n<p>\\[x_1 = \\frac{20 - 16}{2} = 2, \\qquad x_2 = \\frac{20 + 16}{2} = 18\\]</p>\n<p>Zatem albo \\((a_1 = 18,\\ a_3 = 2)\\) albo \\((a_1 = 2,\\ a_3 = 18)\\).</p>\n<p>Teraz wyznaczamy \\(q^2\\):<br>\\[a_3 = a_1 q^2 \\implies q^2 = \\frac{a_3}{a_1}\\]</p>\n<ul><li>\\(a_1 = 18,\\ a_3 = 2\\): \\(q^2 = \\frac{2}{18} = \\frac{1}{9} \\implies q = \\pm\\frac{1}{3}\\) ✓ (zbieżny)</li><li>\\(a_1 = 2,\\ a_3 = 18\\): \\(q^2 = \\frac{18}{2} = 9 \\implies q = \\pm 3\\) ✗ (rozbieżny)</li></ul>\n<p>Zostaje \\(a_1 = 18\\), \\(q = \\frac{1}{3}\\) lub \\(q = -\\frac{1}{3}\\) - jak w Sposobie 1.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)</strong> - suma nieskończonego ciągu geometrycznego:<br>\\[S = \\frac{a_1}{1 - q}, \\quad \\text{gdy } |q| &lt; 1\\]<br>Użyliśmy tego w ostatnim kroku do obliczenia sumy.</p>\n<p><strong>Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)</strong> - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:<br>\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]<br>Stąd \\(a_3 = a_1 q^2\\) - użyliśmy w kroku 1.</p>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong> - wzory Viète&#x27;a:<br>\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]<br>W Sposobie 2 rozpoznaliśmy, że \\(a_1\\) i \\(a_3\\) spełniają równanie kwadratowe - wzory Viète&#x27;a skróciły rachunki.</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Ciąg geometryczny jest zbieżny <strong>tylko gdy</strong> \\(|q| &lt; 1\\). Iloraz \\(q = \\pm 3\\) daje wyniki dla \\(a_1 + a_3\\) i \\(a_1^2 + a_3^2\\), ale suma wszystkich wyrazów byłaby nieskończona - ten przypadek <strong>trzeba odrzucić</strong>.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie wystarczy rozważyć tylko \\(q = \\frac{1}{3}\\) - należy sprawdzić <strong>oba znaki</strong> \\(q = \\pm\\frac{1}{3}\\). Dają różne sumy (\\(27\\) vs \\(\\frac{27}{2}\\)), więc są to dwa osobne, poprawne przypadki.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W Sposobie 2 łatwo pominąć weryfikację warunku zbieżności - sama para \\((a_1, a_3)\\) nie mówi nam od razu, czy iloraz jest mniejszy od 1. Zawsze sprawdzaj \\(|q|\\)!</blockquote>\n<h5>Sposób I (podstawienie \\(a_{3}=20-a_{1}\\))</h5>\n<p>Z \\(a_{1}+a_{3}=20\\) mamy \\(a_{3}=20-a_{1}\\). Podstawiamy do drugiego równania:<br>\\[a_{1}^{2}+(20-a_{1})^{2}=328\\]<br>\\[a_{1}^{2}+400-40a_{1}+a_{1}^{2}=328\\]<br>\\[2a_{1}^{2}-40a_{1}+72=0\\]<br>\\[a_{1}^{2}-20a_{1}+36=0\\]<br>\\[\\Delta=400-144=256,\\quad \\sqrt{\\Delta}=16\\]<br>\\[a_{1}=\\tfrac{20-16}{2}=2\\quad\\lor\\quad a_{1}=\\tfrac{20+16}{2}=18\\]</p>\n<p><strong>Przypadek A:</strong> \\(a_{1}=2\\Rightarrow a_{3}=18\\). Wtedy \\(q^{2}=\\tfrac{a_{3}}{a_{1}}=9\\), czyli \\(|q|=3\\geq 1\\) - ciąg rozbieżny, odpada.</p>\n<p><strong>Przypadek B:</strong> \\(a_{1}=18\\Rightarrow a_{3}=2\\). Wtedy \\(q^{2}=\\tfrac{1}{9}\\), czyli \\(q=\\tfrac{1}{3}\\) lub \\(q=-\\tfrac{1}{3}\\). W obu \\(|q|&lt;1\\) - ciąg zbieżny.</p>\n<p><strong>Obliczamy sumy:</strong></p>\n<ul><li>Dla \\(q=\\tfrac{1}{3}\\): \\(S=\\dfrac{a_{1}}{1-q}=\\dfrac{18}{1-\\tfrac{1}{3}}=\\dfrac{18}{\\tfrac{2}{3}}=27\\).</li><li>Dla \\(q=-\\tfrac{1}{3}\\): \\(S=\\dfrac{18}{1-\\left(-\\tfrac{1}{3}\\right)}=\\dfrac{18}{\\tfrac{4}{3}}=\\dfrac{27}{2}\\).</li></ul>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> \\(S=27\\) lub \\(S=\\tfrac{27}{2}\\).</p>\n<h5>Sposób II (przez \\(a_{2}\\))</h5>\n<p>Z własności ciągu geometrycznego \\(a_{1}a_{3}=a_{2}^{2}\\). Z \\((a_{1}+a_{3})^{2}-2a_{1}a_{3}=a_{1}^{2}+a_{3}^{2}\\) mamy \\(400-2a_{2}^{2}=328\\), stąd \\(a_{2}^{2}=36\\), więc \\(a_{2}=\\pm 6\\).</p>\n<p>Z \\(a_{1}+a_{3}=20\\): \\(\\tfrac{a_{2}}{q}+a_{2}q=20\\).</p>\n<ul><li>Dla \\(a_{2}=6\\): \\(\\tfrac{6}{q}+6q=20\\Rightarrow 6q^{2}-20q+6=0\\Rightarrow 3q^{2}-10q+3=0\\Rightarrow q=3\\lor q=\\tfrac{1}{3}\\). Zbieżny dla \\(q=\\tfrac{1}{3}\\), wtedy \\(a_{1}=\\tfrac{6}{1/3}=18\\), \\(S=27\\).</li><li>Dla \\(a_{2}=-6\\): \\(-\\tfrac{6}{q}-6q=20\\Rightarrow -6q^{2}-20q-6=0\\Rightarrow 3q^{2}+10q+3=0\\Rightarrow q=-3\\lor q=-\\tfrac{1}{3}\\). Zbieżny dla \\(q=-\\tfrac{1}{3}\\), wtedy \\(a_{1}=\\tfrac{-6}{-1/3}=18\\), \\(S=\\tfrac{27}{2}\\).</li></ul>\n<h5>Karta wzorów CKE</h5>\n<ul><li>Suma szeregu geometrycznego: \\(S=\\dfrac{a_{1}}{1-q}\\) dla \\(|q|&lt;1\\) (str. 6).</li><li>Własność ciągu geometrycznego: \\(a_{n+1}^{2}=a_{n}\\cdot a_{n+2}\\) (str. 6).</li></ul>\n<h5>Uwagi o punktacji</h5>\n<ul><li><strong>4 pkt</strong> - obie sumy \\(27\\) i \\(\\tfrac{27}{2}\\).</li><li><strong>3 pkt</strong> - wyznaczenie jednej pary \\((a_{1},q)\\) zbieżnej i obliczenie sumy.</li><li><strong>2 pkt</strong> - obliczenie \\(a_{1}\\in\\{2,18\\}\\) LUB \\(q^{2}\\in\\{9,\\tfrac{1}{9}\\}\\).</li><li><strong>1 pkt</strong> - zapisanie równania z jedną niewiadomą.</li><li><strong>Uwaga:</strong> Jeśli zdający odrzuci \\(q=\\pm 3\\) bez komentarza - <strong>4 pkt</strong>. Jeśli odgadnie i nie obliczy sumy dla \\(|q|\\geq 1\\) - <strong>1 pkt</strong>.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Tożsamość \\(a_{1}^{2}+a_{3}^{2}=(a_{1}+a_{3})^{2}-2a_{1}a_{3}\\) + własność \\(a_{1}a_{3}=a_{2}^{2}\\) skraca rachunki - jednym przekształceniem dostajemy \\(a_{2}=\\pm 6\\). Pamiętaj o sprawdzeniu zbieżności: \\(|q|&lt;1\\) to <em>warunek konieczny</em>.</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$\\dfrac{27}{2}$ lub $27$</p>"}]}