{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"7","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-4)\nW trapezie 𝐴𝐵𝐶𝐷 o podstawach 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷 punkt 𝐸 jest środkiem ramienia 𝐴𝐷,\na punkt 𝐹 jest środkiem ramienia 𝐵𝐶 trapezu. Stosunek pola trapezu 𝐸𝐹𝐶𝐷 do pola\ntrapezu 𝐴𝐵𝐹𝐸 jest równy 1\n2 .\nWykaż, że |𝑪𝑫|\n|𝑨𝑩| = 𝟏\n𝟓 .\n7.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nW trapezie ABCD o podstawach AB i CD punkt E jest środkiem ramienia AD, a punkt F jest środkiem ramienia BC trapezu. Stosunek pola trapezu EFCD do pola trapezu ABFE jest równy 1/2. Wykaż, że |CD|/|AB| = 1/5.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nVIII.11) przeprowadza dowody\ngeometryczne.\nZasady oceniania (dla sposobów I oraz Ia)\n4 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n3 pkt - zapisanie związku między długościami podstaw trapezu, np.\n1\n2 ⋅ (𝑎 + 𝑏\n2 + 𝑏)\n1\n2 ⋅ (𝑎 + 𝑎 + 𝑏\n2\n) = 1\n2 .\n2 pkt - zapisanie równań 𝑃𝐸𝐹𝐶𝐷\n𝑃𝐴𝐵𝐹𝐸=\n1\n2 ⋅ (𝑑 + 𝑏) ⋅ ℎ\n2\n1\n2 ⋅ (𝑎 + 𝑑) ⋅ ℎ\n2\noraz 𝑃𝐸𝐹𝐶𝐷\n𝑃𝐴𝐵𝐹𝐸= 1\n2 oraz 𝑑= 𝑎 + 𝑏\n2\nALBO\n- spełnienie dwóch spośród czterech poniższych warunków:\n1) zapisanie równań 𝑃𝐸𝐹𝐶𝐷\n𝑃𝐴𝐵𝐹𝐸=\n1\n2 ⋅ (𝑑 + 𝑏) ⋅ ℎ\n2\n1\n2 ⋅ (𝑎 + 𝑑) ⋅ ℎ\n2\nalbo\n1\n2 ⋅ (𝑑 + 𝑏) ⋅ ℎ\n2\n1\n2 ⋅ (𝑎 + 𝑑) ⋅ ℎ\n2\n= 1\n2 ,\n2) zapisanie równań 𝑃𝐸𝐹𝐶𝐷\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷=\n1\n2 ⋅ (𝑑 + 𝑏) ⋅ ℎ\n2\n1\n2 ⋅ (𝑎 + 𝑏) ⋅ℎ\nalbo\n1\n2 ⋅ (𝑑 + 𝑏) ⋅ ℎ\n2\n1\n2 ⋅ (𝑎 + 𝑏) ⋅ℎ= 1\n3 ,\n3) zapisanie równań 𝑃𝐴𝐵𝐹𝐸\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷=\n1\n2 ⋅ (𝑎 +𝑑) ⋅ ℎ\n2\n1\n2 ⋅ (𝑎 + 𝑏) ⋅ℎ\nalbo\n1\n2 ⋅ (𝑎 +𝑑) ⋅ ℎ\n2\n1\n2 ⋅ (𝑎 + 𝑏) ⋅ℎ= 2\n3 ,\n4) zapisanie równania 1\n2 ⋅(𝑎+ 𝑑) ⋅ℎ\n2 + 1\n2 ⋅(𝑏+ 𝑑) ⋅ℎ\n2 = 1\n2 ⋅(𝑎+ 𝑏) ⋅ℎ.\n1 pkt - spełnienie jednego spośród czterech poniższych warunków:\n1) zapisanie równań 𝑃𝐸𝐹𝐶𝐷\n𝑃𝐴𝐵𝐹𝐸=\n1\n2 ⋅ (𝑑 + 𝑏) ⋅ ℎ\n2\n1\n2 ⋅ (𝑎 + 𝑑) ⋅ ℎ\n2\nalbo\n1\n2 ⋅ (𝑑 + 𝑏) ⋅ ℎ\n2\n1\n2 ⋅ (𝑎 + 𝑑) ⋅ ℎ\n2\n= 1\n2 ,\n2) zapisanie równań 𝑃𝐸𝐹𝐶𝐷\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷=\n1\n2 ⋅ (𝑑 + 𝑏) ⋅ ℎ\n2\n1\n2 ⋅ (𝑎 + 𝑏) ⋅ℎ\nalbo\n1\n2 ⋅ (𝑑 + 𝑏) ⋅ ℎ\n2\n1\n2 ⋅ (𝑎 + 𝑏) ⋅ℎ= 1\n3 ,\n3) zapisanie równań 𝑃𝐴𝐵𝐹𝐸\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷=\n1\n2 ⋅ (𝑎 +𝑑) ⋅ ℎ\n2\n1\n2 ⋅ (𝑎 + 𝑏) ⋅ℎ\nalbo\n1\n2 ⋅ (𝑎 +𝑑) ⋅ ℎ\n2\n1\n2 ⋅ (𝑎 + 𝑏) ⋅ℎ= 2\n3 ,\n4) zapisanie równania 1\n2 ⋅(𝑎+ 𝑑) ⋅ℎ\n2 + 1\n2 ⋅(𝑏+ 𝑑) ⋅ℎ\n2 = 1\n2 ⋅(𝑎+ 𝑏) ⋅ℎ,\nALBO\n- zapisanie równania 𝑑= 𝑎 + 𝑏\n2\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli w rozwiązaniu zdający błędnie zakłada, że trapezy 𝐴𝐵𝐹𝐸 i 𝐸𝐹𝐶𝐷 są podobne\ni na tym opiera rozwiązanie, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za zapisanie związku\nmiędzy długościami podstaw trapezu i odcinka łączącego środki jego ramion.\n2. Jeżeli zdający rozpatruje trapez o konkretnych wymiarach i na tym opiera całe\nrozwiązanie, to otrzymuje 0 punktów, o ile nie nabył prawa do innej punktacji zgodnej\nz zasadami oceniania.\n3. Jeżeli zdający zapisze jednocześnie 𝑃𝐸𝐹𝐶𝐷\n𝑃𝐴𝐵𝐹𝐸=\n1\n2 ⋅ (𝑎 + 𝑏\n2 + 𝑏)\n1\n2 ⋅ (𝑎 + 𝑎 + 𝑏\n2\n)\noraz 𝑃𝐸𝐹𝐶𝐷\n𝑃𝐴𝐵𝐹𝐸= 1\n2 , to może\notrzymać 3 punkty.\nZasady oceniania (dla sposobu II)\n4 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n3 pkt - wyznaczenie stosunku pól trójkątów 𝐴𝐾𝐸 i 𝐾𝐹𝐶: 1 ∶5.\n2 pkt - zapisanie pól trapezów 𝐸𝐹𝐶𝐷 i 𝐴𝐵𝐹𝐸 w zależności od pól trójkątów 𝐴𝐾𝐸 i 𝐾𝐹𝐶.\n1 pkt - zapisanie zależności pomiędzy polami trójkątów podobnych 𝐴𝐶𝐷 i 𝐴𝐾𝐸 oraz\nzapisanie zależności pomiędzy polami trójkątów podobnych 𝐴𝐵𝐶 i 𝐾𝐹𝐶.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝑎, 𝑏 - długość - odpowiednio - dłuższej i krótszej podstawy trapezu,\n𝑑 - długość odcinka łączącego środki ramion trapezu,\nℎ - wysokość trapezu.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZ własności trapezu otrzymujemy 𝑑= 𝑎 + 𝑏\n2\n. Trapezy 𝐸𝐹𝐶𝐷 i 𝐴𝐵𝐹𝐸 mają równe\nwysokości oraz stosunek pola trapezu 𝐸𝐹𝐶𝐷 do pola trapezu 𝐴𝐵𝐹𝐸 jest równy 1\n2 , więc\n1\n2 ⋅(𝑑+ 𝑏) ⋅ℎ\n2\n1\n2 ⋅(𝑎+ 𝑑) ⋅ℎ\n2\n= 1\n2\n𝑑+ 𝑏\n𝑎+ 𝑑= 1\n2\n2𝑑+ 2𝑏= 𝑎+ 𝑑\n𝑑+ 2𝑏= 𝑎\nStąd i z zależności 𝑑= 𝑎 + 𝑏\n2\notrzymujemy\n𝑎+ 𝑏+ 4𝑏= 2𝑎\n5𝑏= 𝑎\n𝑏\n𝑎= 1\n5\nTo należało wykazać.\nSposób Ia\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝑎, 𝑏 - długość - odpowiednio - dłuższej i krótszej podstawy trapezu,\n𝑑 - długość odcinka łączącego środki ramion trapezu,\nℎ - wysokość trapezu.\nTrapezy 𝐸𝐹𝐶𝐷 i 𝐴𝐵𝐹𝐸 mają równe wysokości oraz stosunek pola trapezu 𝐸𝐹𝐶𝐷 do pola\ntrapezu 𝐴𝐵𝐹𝐸 jest równy 1\n2 , więc\n1\n2 ⋅(𝑑+ 𝑏) ⋅ℎ\n2\n1\n2 ⋅(𝑎+ 𝑑) ⋅ℎ\n2\n= 1\n2\n𝑑+ 𝑏\n𝑎+ 𝑑= 1\n2\n2𝑑+ 2𝑏= 𝑎+ 𝑑\n𝑑= 𝑎-2𝑏\nPonadto stosunek pola trapezu 𝐸𝐹𝐶𝐷 do pola trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równy 1\n3 , więc\n1\n2 ⋅(𝑑+ 𝑏) ⋅ℎ\n2\n1\n2 ⋅(𝑎+ 𝑏) ⋅ℎ\n= 1\n3\n𝑑+ 𝑏\n2(𝑎+ 𝑏) = 1\n3\n3𝑑+ 3𝑏= 2𝑎+ 2𝑏\n3𝑑= 2𝑎-𝑏\nStąd i zależności 𝑑= 𝑎-2𝑏 otrzymujemy\n3(𝑎-2𝑏) = 2𝑎-𝑏\n𝑎= 5𝑏\n𝑏\n𝑎= 1\n5\nTo należało wykazać.\nSposób II (przez pola trójkątów podobnych)\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝑎, 𝑏 - długość - odpowiednio - dłuższej i krótszej podstawy trapezu,\n𝐾 - punkt przecięcia przekątnej 𝐴𝐶 z odcinkiem 𝐸𝐹,\n𝑛, 𝑚 - pole - odpowiednio - trójkąta 𝐴𝐾𝐸 i 𝐾𝐹𝐶.\nTrójkąty 𝐴𝐶𝐷 i 𝐴𝐾𝐸 oraz trójkąty 𝐴𝐵𝐶 i 𝐾𝐹𝐶 są podobne (cecha kkk), a skala każdego\nz tych podobieństw jest równa 2, gdyż 𝐸 i 𝐹 to środki boków 𝐴𝐷 oraz 𝐵𝐶. Zatem\n𝑃𝐴𝐶𝐷= 22 ⋅𝑃𝐴𝐾𝐸= 4𝑛 oraz 𝑃𝐴𝐵𝐶= 22 ⋅𝑃𝐾𝐹𝐶= 4𝑚\nStąd\n𝑃𝐸𝐾𝐶𝐷= 3𝑛 oraz 𝑃𝐴𝐵𝐹𝐾= 3𝑚\n(zobacz rysunek).\nZatem\n𝑃𝐸𝐹𝐶𝐷= 3𝑛+ 𝑚 oraz 𝑃𝐴𝐵𝐹𝐸= 𝑛+ 3𝑚\n𝑎\n𝑏\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n𝐾\n𝑚\n𝑛\n3𝑛\n3𝑚\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nTrójkąty 𝐴𝐶𝐷 i 𝐴𝐵𝐶 mają wspólną wysokość, więc\n𝑃𝐴𝐶𝐷\n𝑃𝐴𝐵𝐶\n= 𝑏\n𝑎= 4𝑛\n4𝑚= 𝑛\n𝑚\nZ warunków zadania otrzymujemy\n𝑃𝐸𝐹𝐶𝐷\n𝑃𝐴𝐵𝐹𝐸\n= 3𝑛+ 𝑚\n𝑛+ 3𝑚= 1\n2\nStąd\n6𝑛+ 2𝑚= 𝑛+ 3𝑚\n5𝑛= 𝑚\nZatem\n𝑏\n𝑎= 𝑛\n𝑚= 𝑛\n5𝑛= 1\n5\nTo należało wykazać.","solution":"Odpowiedź: Dowód: $\\dfrac{|CD|}{|AB|} = \\dfrac{1}{5}$ ✓ — patrz pełny wywód poniżej.\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nKlucz teoretyczny — linia środkowa trapezu\n\nTwierdzenie: w trapezie $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ odcinek łączący środki ramion $AD$ i $BC$ jest:\n\n- równoległy do podstaw $AB$ i $CD$\n- ma długość średniej arytmetycznej podstaw\n\n$$|EF| = \\frac{|AB| + |CD|}{2}$$\n\nLinia $EF$ dzieli trapez na dwa mniejsze trapezy — $ABFE$ i $EFCD$ — które oba mają tę samą wysokość (równą połowie wysokości całego trapezu).\n\nOznaczenia\n\nNiech:\n\n- $|AB| = a$ (większa podstawa)\n- $|CD| = b$ (mniejsza podstawa, $b < a$)\n- $h$ — wysokość trapezu $ABCD$\n\nZ linii środkowej: $|EF| = \\dfrac{a + b}{2}$.\n\nKażdy z mniejszych trapezów ($EFCD$ i $ABFE$) ma wysokość $\\dfrac{h}{2}$.\n\nPola obu mniejszych trapezów\n\nPole trapezu $EFCD$ (podstawy $CD$ i $EF$, wysokość $\\tfrac{h}{2}$):\n\n$$P_{EFCD} = \\frac{|CD| + |EF|}{2} \\cdot \\frac{h}{2} = \\frac{b + \\tfrac{a+b}{2}}{2} \\cdot \\frac{h}{2}$$\n\nUprość licznik średniej:\n\n$$b + \\frac{a + b}{2} = \\frac{2b + a + b}{2} = \\frac{a + 3b}{2}$$\n\nStąd:\n\n$$P_{EFCD} = \\frac{(a + 3b)/2}{2} \\cdot \\frac{h}{2} = \\frac{(a + 3b) h}{8}$$\n\nPole trapezu $ABFE$ (podstawy $AB$ i $EF$, wysokość $\\tfrac{h}{2}$):\n\n$$P_{ABFE} = \\frac{|AB| + |EF|}{2} \\cdot \\frac{h}{2} = \\frac{a + \\tfrac{a+b}{2}}{2} \\cdot \\frac{h}{2}$$\n\nUprość:\n\n$$a + \\frac{a + b}{2} = \\frac{2a + a + b}{2} = \\frac{3a + b}{2}$$\n\n$$P_{ABFE} = \\frac{(3a + b) h}{8}$$\n\nZapisz stosunek pól (czynniki $\\tfrac{h}{8}$ skracają się):\n\n$$\\frac{P_{EFCD}}{P_{ABFE}} = \\frac{a + 3b}{3a + b}$$\n\nZ warunku zadania $\\dfrac{P_{EFCD}}{P_{ABFE}} = \\dfrac{1}{2}$:\n\n$$\\frac{a + 3b}{3a + b} = \\frac{1}{2}$$\n\n$$2(a + 3b) = 3a + b$$\n\n$$2a + 6b = 3a + b$$\n\n$$5b = a$$\n\nWyciągnij wniosek:\n\n$$\\frac{b}{a} = \\frac{1}{5}, \\quad \\text{czyli} \\quad \\frac{|CD|}{|AB|} = \\frac{1}{5} \\quad \\blacksquare$$\n\nSprawdzenie liczbowe\n\nJeśli $a = 5$ i $b = 1$, to:\n\n- $|EF| = \\dfrac{5 + 1}{2} = 3$\n- $P_{EFCD} = \\dfrac{(5 + 3) \\cdot h}{8} = h$ (przy $h = 1$ to 1)\n- $P_{ABFE} = \\dfrac{(15 + 1) \\cdot h}{8} = 2h$ (przy $h = 1$ to 2)\n- Stosunek: $\\dfrac{h}{2h} = \\dfrac{1}{2}$ ✓\n\nWzór się sprawdza.\n\nPunktacja CKE\n\n- 1 pkt — zapisanie $|EF| = \\tfrac{|AB| + |CD|}{2}$ (linia środkowa).\n- 2 pkt — wyprowadzenie wzoru na pole obu mniejszych trapezów.\n- 3 pkt — sprowadzenie do równania $2(a + 3b) = 3a + b$ (lub równoważnego).\n- 4 pkt — pełne rozumowanie + wniosek $b/a = 1/5$.\n\nKlucz pamięciowy\n\nElement | Wzór\nPole trapezu | $P = \\dfrac{a + b}{2} \\cdot h$\nLinia środkowa | $\\dfrac{a + b}{2}$ (równa średniej podstaw)\nLinia środkowa w 1/3 odległości | $\\dfrac{2a + b}{3}$ (od podstawy $a$)\n\nPamiętaj: nazwa „linia środkowa\" odnosi się do tej konkretnej linii w połowie wysokości. Inne linie równoległe do podstaw mają inne wzory.\n\nTypowy błąd: Najgorszy błąd to pomijanie LINII ŚRODKOWEJ trapezu — odcinka EF, który ma długość średniej arytmetycznej obu podstaw: |EF| = (|AB| + |CD|)/2. To kluczowe twierdzenie dla tego dowodu.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/sol-7.svg","topics":"planimetria, trapez, linia środkowa, dowody_geometryczne","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 7. (0-4)
W trapezie 𝐴𝐵𝐶𝐷 o podstawach 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷 punkt 𝐸 jest środkiem ramienia 𝐴𝐷,
a punkt 𝐹 jest środkiem ramienia 𝐵𝐶 trapezu. Stosunek pola trapezu 𝐸𝐹𝐶𝐷 do pola
trapezu 𝐴𝐵𝐹𝐸 jest równy 1
2 .
Wykaż, że |𝑪𝑫|
|𝑨𝑩| = 𝟏
𝟓 .
7.
0-1-
2-3-4

\n

MMAP-R0_100

\n

MMAP-R0_100
W trapezie ABCD o podstawach AB i CD punkt E jest środkiem ramienia AD, a punkt F jest środkiem ramienia BC trapezu. Stosunek pola trapezu EFCD do pola trapezu ABFE jest równy 1/2. Wykaż, że |CD|/|AB| = 1/5.

","answer_text_html":"

Zadanie 7. (0-4)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.

\n
  1. Przeprowadzanie rozumowań, także
\n

kilkuetapowych, podawanie argumentów
uzasadniających poprawność rozumowania,
odróżnianie dowodu od przykładu.
Zdający:
VIII.11) przeprowadza dowody
geometryczne.
Zasady oceniania (dla sposobów I oraz Ia)
4 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.
3 pkt - zapisanie związku między długościami podstaw trapezu, np.
1
2 ⋅ (𝑎 + 𝑏
2 + 𝑏)
1
2 ⋅ (𝑎 + 𝑎 + 𝑏
2
) = 1
2 .
2 pkt - zapisanie równań 𝑃𝐸𝐹𝐶𝐷
𝑃𝐴𝐵𝐹𝐸=
1
2 ⋅ (𝑑 + 𝑏) ⋅ ℎ
2
1
2 ⋅ (𝑎 + 𝑑) ⋅ ℎ
2
oraz 𝑃𝐸𝐹𝐶𝐷
𝑃𝐴𝐵𝐹𝐸= 1
2 oraz 𝑑= 𝑎 + 𝑏
2
ALBO

\n\n
  1. zapisanie równań 𝑃𝐸𝐹𝐶𝐷
\n

𝑃𝐴𝐵𝐹𝐸=
1
2 ⋅ (𝑑 + 𝑏) ⋅ ℎ
2
1
2 ⋅ (𝑎 + 𝑑) ⋅ ℎ
2
albo
1
2 ⋅ (𝑑 + 𝑏) ⋅ ℎ
2
1
2 ⋅ (𝑎 + 𝑑) ⋅ ℎ
2
= 1
2 ,

\n
  1. zapisanie równań 𝑃𝐸𝐹𝐶𝐷
\n

𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷=
1
2 ⋅ (𝑑 + 𝑏) ⋅ ℎ
2
1
2 ⋅ (𝑎 + 𝑏) ⋅ℎ
albo
1
2 ⋅ (𝑑 + 𝑏) ⋅ ℎ
2
1
2 ⋅ (𝑎 + 𝑏) ⋅ℎ= 1
3 ,

\n
  1. zapisanie równań 𝑃𝐴𝐵𝐹𝐸
\n

𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷=
1
2 ⋅ (𝑎 +𝑑) ⋅ ℎ
2
1
2 ⋅ (𝑎 + 𝑏) ⋅ℎ
albo
1
2 ⋅ (𝑎 +𝑑) ⋅ ℎ
2
1
2 ⋅ (𝑎 + 𝑏) ⋅ℎ= 2
3 ,

\n
  1. zapisanie równania 1
\n

2 ⋅(𝑎+ 𝑑) ⋅ℎ
2 + 1
2 ⋅(𝑏+ 𝑑) ⋅ℎ
2 = 1
2 ⋅(𝑎+ 𝑏) ⋅ℎ.
1 pkt - spełnienie jednego spośród czterech poniższych warunków:

\n
  1. zapisanie równań 𝑃𝐸𝐹𝐶𝐷
\n

𝑃𝐴𝐵𝐹𝐸=
1
2 ⋅ (𝑑 + 𝑏) ⋅ ℎ
2
1
2 ⋅ (𝑎 + 𝑑) ⋅ ℎ
2
albo
1
2 ⋅ (𝑑 + 𝑏) ⋅ ℎ
2
1
2 ⋅ (𝑎 + 𝑑) ⋅ ℎ
2
= 1
2 ,

\n
  1. zapisanie równań 𝑃𝐸𝐹𝐶𝐷
\n

𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷=
1
2 ⋅ (𝑑 + 𝑏) ⋅ ℎ
2
1
2 ⋅ (𝑎 + 𝑏) ⋅ℎ
albo
1
2 ⋅ (𝑑 + 𝑏) ⋅ ℎ
2
1
2 ⋅ (𝑎 + 𝑏) ⋅ℎ= 1
3 ,

\n
  1. zapisanie równań 𝑃𝐴𝐵𝐹𝐸
\n

𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷=
1
2 ⋅ (𝑎 +𝑑) ⋅ ℎ
2
1
2 ⋅ (𝑎 + 𝑏) ⋅ℎ
albo
1
2 ⋅ (𝑎 +𝑑) ⋅ ℎ
2
1
2 ⋅ (𝑎 + 𝑏) ⋅ℎ= 2
3 ,

\n
  1. zapisanie równania 1
\n

2 ⋅(𝑎+ 𝑑) ⋅ℎ
2 + 1
2 ⋅(𝑏+ 𝑑) ⋅ℎ
2 = 1
2 ⋅(𝑎+ 𝑏) ⋅ℎ,
ALBO

\n\n

2
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli w rozwiązaniu zdający błędnie zakłada, że trapezy 𝐴𝐵𝐹𝐸 i 𝐸𝐹𝐶𝐷 są podobne
\n

i na tym opiera rozwiązanie, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za zapisanie związku
między długościami podstaw trapezu i odcinka łączącego środki jego ramion.

\n
  1. Jeżeli zdający rozpatruje trapez o konkretnych wymiarach i na tym opiera całe
\n

rozwiązanie, to otrzymuje 0 punktów, o ile nie nabył prawa do innej punktacji zgodnej
z zasadami oceniania.

\n
  1. Jeżeli zdający zapisze jednocześnie 𝑃𝐸𝐹𝐶𝐷
\n

𝑃𝐴𝐵𝐹𝐸=
1
2 ⋅ (𝑎 + 𝑏
2 + 𝑏)
1
2 ⋅ (𝑎 + 𝑎 + 𝑏
2
)
oraz 𝑃𝐸𝐹𝐶𝐷
𝑃𝐴𝐵𝐹𝐸= 1
2 , to może
otrzymać 3 punkty.
Zasady oceniania (dla sposobu II)
4 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.
3 pkt - wyznaczenie stosunku pól trójkątów 𝐴𝐾𝐸 i 𝐾𝐹𝐶: 1 ∶5.
2 pkt - zapisanie pól trapezów 𝐸𝐹𝐶𝐷 i 𝐴𝐵𝐹𝐸 w zależności od pól trójkątów 𝐴𝐾𝐸 i 𝐾𝐹𝐶.
1 pkt - zapisanie zależności pomiędzy polami trójkątów podobnych 𝐴𝐶𝐷 i 𝐴𝐾𝐸 oraz
zapisanie zależności pomiędzy polami trójkątów podobnych 𝐴𝐵𝐶 i 𝐾𝐹𝐶.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Przyjmijmy następujące oznaczenia:
𝑎, 𝑏 - długość - odpowiednio - dłuższej i krótszej podstawy trapezu,
𝑑 - długość odcinka łączącego środki ramion trapezu,
ℎ - wysokość trapezu.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Z własności trapezu otrzymujemy 𝑑= 𝑎 + 𝑏
2
. Trapezy 𝐸𝐹𝐶𝐷 i 𝐴𝐵𝐹𝐸 mają równe
wysokości oraz stosunek pola trapezu 𝐸𝐹𝐶𝐷 do pola trapezu 𝐴𝐵𝐹𝐸 jest równy 1
2 , więc
1
2 ⋅(𝑑+ 𝑏) ⋅ℎ
2
1
2 ⋅(𝑎+ 𝑑) ⋅ℎ
2
= 1
2
𝑑+ 𝑏
𝑎+ 𝑑= 1
2
2𝑑+ 2𝑏= 𝑎+ 𝑑
𝑑+ 2𝑏= 𝑎
Stąd i z zależności 𝑑= 𝑎 + 𝑏
2
otrzymujemy
𝑎+ 𝑏+ 4𝑏= 2𝑎
5𝑏= 𝑎
𝑏
𝑎= 1
5
To należało wykazać.
Sposób Ia
Przyjmijmy następujące oznaczenia:
𝑎, 𝑏 - długość - odpowiednio - dłuższej i krótszej podstawy trapezu,
𝑑 - długość odcinka łączącego środki ramion trapezu,
ℎ - wysokość trapezu.
Trapezy 𝐸𝐹𝐶𝐷 i 𝐴𝐵𝐹𝐸 mają równe wysokości oraz stosunek pola trapezu 𝐸𝐹𝐶𝐷 do pola
trapezu 𝐴𝐵𝐹𝐸 jest równy 1
2 , więc
1
2 ⋅(𝑑+ 𝑏) ⋅ℎ
2
1
2 ⋅(𝑎+ 𝑑) ⋅ℎ
2
= 1
2
𝑑+ 𝑏
𝑎+ 𝑑= 1
2
2𝑑+ 2𝑏= 𝑎+ 𝑑
𝑑= 𝑎-2𝑏
Ponadto stosunek pola trapezu 𝐸𝐹𝐶𝐷 do pola trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równy 1
3 , więc
1
2 ⋅(𝑑+ 𝑏) ⋅ℎ
2
1
2 ⋅(𝑎+ 𝑏) ⋅ℎ
= 1
3
𝑑+ 𝑏
2(𝑎+ 𝑏) = 1
3
3𝑑+ 3𝑏= 2𝑎+ 2𝑏
3𝑑= 2𝑎-𝑏
Stąd i zależności 𝑑= 𝑎-2𝑏 otrzymujemy
3(𝑎-2𝑏) = 2𝑎-𝑏
𝑎= 5𝑏
𝑏
𝑎= 1
5
To należało wykazać.
Sposób II (przez pola trójkątów podobnych)
Przyjmijmy następujące oznaczenia:
𝑎, 𝑏 - długość - odpowiednio - dłuższej i krótszej podstawy trapezu,
𝐾 - punkt przecięcia przekątnej 𝐴𝐶 z odcinkiem 𝐸𝐹,
𝑛, 𝑚 - pole - odpowiednio - trójkąta 𝐴𝐾𝐸 i 𝐾𝐹𝐶.
Trójkąty 𝐴𝐶𝐷 i 𝐴𝐾𝐸 oraz trójkąty 𝐴𝐵𝐶 i 𝐾𝐹𝐶 są podobne (cecha kkk), a skala każdego
z tych podobieństw jest równa 2, gdyż 𝐸 i 𝐹 to środki boków 𝐴𝐷 oraz 𝐵𝐶. Zatem
𝑃𝐴𝐶𝐷= 22 ⋅𝑃𝐴𝐾𝐸= 4𝑛 oraz 𝑃𝐴𝐵𝐶= 22 ⋅𝑃𝐾𝐹𝐶= 4𝑚
Stąd
𝑃𝐸𝐾𝐶𝐷= 3𝑛 oraz 𝑃𝐴𝐵𝐹𝐾= 3𝑚
(zobacz rysunek).
Zatem
𝑃𝐸𝐹𝐶𝐷= 3𝑛+ 𝑚 oraz 𝑃𝐴𝐵𝐹𝐸= 𝑛+ 3𝑚
𝑎
𝑏
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐸
𝐹
𝐾
𝑚
𝑛
3𝑛
3𝑚
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Trójkąty 𝐴𝐶𝐷 i 𝐴𝐵𝐶 mają wspólną wysokość, więc
𝑃𝐴𝐶𝐷
𝑃𝐴𝐵𝐶
= 𝑏
𝑎= 4𝑛
4𝑚= 𝑛
𝑚
Z warunków zadania otrzymujemy
𝑃𝐸𝐹𝐶𝐷
𝑃𝐴𝐵𝐹𝐸
= 3𝑛+ 𝑚
𝑛+ 3𝑚= 1
2
Stąd
6𝑛+ 2𝑚= 𝑛+ 3𝑚
5𝑛= 𝑚
Zatem
𝑏
𝑎= 𝑛
𝑚= 𝑛
5𝑛= 1
5
To należało wykazać.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/sol-7.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Odpowiedź: Dowód: $\\dfrac{|CD|}{|AB|} = \\dfrac{1}{5}$ ✓ — patrz pełny wywód poniżej.

\n

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

\n

Klucz teoretyczny — linia środkowa trapezu

\n

Twierdzenie: w trapezie $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ odcinek łączący środki ramion $AD$ i $BC$ jest:

\n\n

$$|EF| = \\frac{|AB| + |CD|}{2}$$

\n

Linia $EF$ dzieli trapez na dwa mniejsze trapezy — $ABFE$ i $EFCD$ — które oba mają tę samą wysokość (równą połowie wysokości całego trapezu).

\n

Oznaczenia

\n

Niech:

\n\n

Z linii środkowej: $|EF| = \\dfrac{a + b}{2}$.

\n

Każdy z mniejszych trapezów ($EFCD$ i $ABFE$) ma wysokość $\\dfrac{h}{2}$.

\n

Pola obu mniejszych trapezów

\n

Pole trapezu $EFCD$ (podstawy $CD$ i $EF$, wysokość $\\tfrac{h}{2}$):

\n

$$P_{EFCD} = \\frac{|CD| + |EF|}{2} \\cdot \\frac{h}{2} = \\frac{b + \\tfrac{a+b}{2}}{2} \\cdot \\frac{h}{2}$$

\n

Uprość licznik średniej:

\n

$$b + \\frac{a + b}{2} = \\frac{2b + a + b}{2} = \\frac{a + 3b}{2}$$

\n

Stąd:

\n

$$P_{EFCD} = \\frac{(a + 3b)/2}{2} \\cdot \\frac{h}{2} = \\frac{(a + 3b) h}{8}$$

\n

Pole trapezu $ABFE$ (podstawy $AB$ i $EF$, wysokość $\\tfrac{h}{2}$):

\n

$$P_{ABFE} = \\frac{|AB| + |EF|}{2} \\cdot \\frac{h}{2} = \\frac{a + \\tfrac{a+b}{2}}{2} \\cdot \\frac{h}{2}$$

\n

Uprość:

\n

$$a + \\frac{a + b}{2} = \\frac{2a + a + b}{2} = \\frac{3a + b}{2}$$

\n

$$P_{ABFE} = \\frac{(3a + b) h}{8}$$

\n

Zapisz stosunek pól (czynniki $\\tfrac{h}{8}$ skracają się):

\n

$$\\frac{P_{EFCD}}{P_{ABFE}} = \\frac{a + 3b}{3a + b}$$

\n

Z warunku zadania $\\dfrac{P_{EFCD}}{P_{ABFE}} = \\dfrac{1}{2}$:

\n

$$\\frac{a + 3b}{3a + b} = \\frac{1}{2}$$

\n

$$2(a + 3b) = 3a + b$$

\n

$$2a + 6b = 3a + b$$

\n

$$5b = a$$

\n

Wyciągnij wniosek:

\n

$$\\frac{b}{a} = \\frac{1}{5}, \\quad \\text{czyli} \\quad \\frac{|CD|}{|AB|} = \\frac{1}{5} \\quad \\blacksquare$$

\n

Sprawdzenie liczbowe

\n

Jeśli $a = 5$ i $b = 1$, to:

\n\n

Wzór się sprawdza.

\n

Punktacja CKE

\n\n

Klucz pamięciowy

\n

Element | Wzór
Pole trapezu | $P = \\dfrac{a + b}{2} \\cdot h$
Linia środkowa | $\\dfrac{a + b}{2}$ (równa średniej podstaw)
Linia środkowa w 1/3 odległości | $\\dfrac{2a + b}{3}$ (od podstawy $a$)

\n

Pamiętaj: nazwa „linia środkowa" odnosi się do tej konkretnej linii w połowie wysokości. Inne linie równoległe do podstaw mają inne wzory.

\n

Typowy błąd: Najgorszy błąd to pomijanie LINII ŚRODKOWEJ trapezu — odcinka EF, który ma długość średniej arytmetycznej obu podstaw: |EF| = (|AB| + |CD|)/2. To kluczowe twierdzenie dla tego dowodu.

"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: dowód

\n

Oznaczenia: niech \\(|AB| = a\\), \\(|CD| = c\\), wysokość trapezu \\(ABCD\\) wynosi \\(h\\).

\n

Sposób 1 - odcinek środkowy i bezpośredni iloraz pól

\n

Krok 1: Wyznacz długość odcinka EF.

\n

Ponieważ \\(E\\) jest środkiem \\(AD\\), a \\(F\\) jest środkiem \\(BC\\), odcinek \\(EF\\) jest odcinkiem środkowym trapezu \\(ABCD\\). Z własności odcinka środkowego trapezu:
\\[|EF| = \\frac{|AB| + |CD|}{2} = \\frac{a + c}{2}\\]

\n

Krok 2: Wyznacz wysokości trapezów ABFE i EFCD.

\n

Skoro \\(E\\) i \\(F\\) leżą odpowiednio w połowie ramion \\(AD\\) i \\(BC\\), odcinek \\(EF\\) dzieli wysokość \\(h\\) trapezu \\(ABCD\\) na dwie równe części. Zatem:
\\[h_{ABFE} = h_{EFCD} = \\frac{h}{2}\\]

\n

Krok 3: Oblicz pola obu trapezów.

\n

\\[P_{ABFE} = \\frac{|AB| + |EF|}{2} \\cdot \\frac{h}{2} = \\frac{a + \\frac{a+c}{2}}{2} \\cdot \\frac{h}{2} = \\frac{\\frac{3a+c}{2}}{2} \\cdot \\frac{h}{2} = \\frac{(3a+c)h}{8}\\]

\n

\\[P_{EFCD} = \\frac{|EF| + |CD|}{2} \\cdot \\frac{h}{2} = \\frac{\\frac{a+c}{2} + c}{2} \\cdot \\frac{h}{2} = \\frac{\\frac{a+3c}{2}}{2} \\cdot \\frac{h}{2} = \\frac{(a+3c)h}{8}\\]

\n

Krok 4: Użyj danego warunku.

\n

\\[\\frac{P_{EFCD}}{P_{ABFE}} = \\frac{1}{2}\\]

\n

\\[\\frac{\\dfrac{(a+3c)h}{8}}{\\dfrac{(3a+c)h}{8}} = \\frac{1}{2}\\]

\n

\\[\\frac{a + 3c}{3a + c} = \\frac{1}{2}\\]

\n

Krok 5: Rozwiąż równanie.

\n

\\[2(a + 3c) = 3a + c\\]
\\[2a + 6c = 3a + c\\]
\\[5c = a\\]
\\[\\frac{c}{a} = \\frac{1}{5}\\]

\n

Zatem:
\\[\\boxed{\\frac{|CD|}{|AB|} = \\frac{1}{5}}\\]
\\(\\blacksquare\\)

\n

Sposób 2 - przez stosunek pól do całości

\n

Krok 1: Przełóż warunek na ułamek całkowitego pola.

\n

Niech \\(S = P_{ABCD}\\). Z warunku \\(P_{EFCD} = \\frac{1}{2} P_{ABFE}\\) i z faktu, że oba trapezy wypełniają \\(ABCD\\):
\\[P_{ABFE} + P_{EFCD} = S \\implies P_{ABFE} + \\frac{1}{2}P_{ABFE} = S \\implies P_{ABFE} = \\frac{2}{3}S\\]
\\[P_{EFCD} = \\frac{1}{3}S\\]

\n

Krok 2: Wyraź \\(P_{EFCD}\\) jako ułamek \\(S\\) przez wzór.

\n

Całkowite pole trapezu:
\\[S = \\frac{a+c}{2} \\cdot h\\]

\n

Pole trapezu \\(EFCD\\) (korzystamy z Kroku 1-3 Sposobu 1):
\\[P_{EFCD} = \\frac{(a+3c)h}{8}\\]

\n

Zatem:
\\[\\frac{P_{EFCD}}{S} = \\frac{\\dfrac{(a+3c)h}{8}}{\\dfrac{(a+c)h}{2}} = \\frac{a+3c}{4(a+c)}\\]

\n

Krok 3: Przyrównaj do \\(\\frac{1}{3}\\).

\n

\\[\\frac{a+3c}{4(a+c)} = \\frac{1}{3}\\]
\\[3(a+3c) = 4(a+c)\\]
\\[3a + 9c = 4a + 4c\\]
\\[5c = a \\implies \\frac{c}{a} = \\frac{|CD|}{|AB|} = \\frac{1}{5}\\]
\\(\\blacksquare\\)

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15-21) - pole trapezu:
\\[P = \\frac{a + b}{2} \\cdot h\\]
Użyliśmy tego wzoru trzykrotnie: do pól trapezów \\(ABFE\\), \\(EFCD\\) i całego \\(ABCD\\).

\n

Ponadto zastosowaliśmy własność odcinka środkowego trapezu (implicit w dziale planimetria): odcinek łączący środki ramion jest równoległy do podstaw i równy ich średniej arytmetycznej:
\\[|EF| = \\frac{|AB| + |CD|}{2}\\]

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Odcinek \\(EF\\) dzieli ramiona na połowy - ale nie dzieli pola trapezu na połowy! Pola \\(P_{ABFE}\\) i \\(P_{EFCD}\\) są różne, bo choć wysokości są równe, to podstawy się różnią.
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić kierunek nierówności - \\(P_{EFCD} < P_{ABFE}\\) (trapez bliżej krótszej podstawy ma mniejsze pole), co zgadza się z wynikiem \\(\\frac{|CD|}{|AB|} = \\frac{1}{5} < 1\\).
\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj, że \\(EF\\) to odcinek środkowy tylko wtedy, gdy \\(E\\) i \\(F\\) są środkami obu ramion - sprawdź to założenie przed użyciem wzoru na średnią.
\n
Sposób I (odcinek środkowy trapezu)
\n

Oznaczmy: \\(a=|AB|\\) (dłuższa podstawa), \\(b=|CD|\\) (krótsza), \\(d=|EF|\\) (odcinek łączący środki ramion), \\(h\\) - wysokość trapezu \\(ABCD\\). Z własności odcinka środkowego trapezu:
\\[d=\\frac{a+b}{2}\\]
Odcinek \\(EF\\) dzieli trapez \\(ABCD\\) na dwa mniejsze trapezy \\(EFCD\\) i \\(ABFE\\), każdy o wysokości \\(\\tfrac{h}{2}\\).

\n

Pola:
\\[P_{EFCD}=\\tfrac{1}{2}(b+d)\\cdot \\tfrac{h}{2},\\quad P_{ABFE}=\\tfrac{1}{2}(a+d)\\cdot \\tfrac{h}{2}\\]

\n

Z warunku \\(\\dfrac{P_{EFCD}}{P_{ABFE}}=\\dfrac{1}{2}\\):
\\[\\frac{b+d}{a+d}=\\frac{1}{2}\\Rightarrow 2(b+d)=a+d\\Rightarrow 2b+d=a\\]

\n

Podstawiamy \\(d=\\dfrac{a+b}{2}\\):
\\[2b+\\dfrac{a+b}{2}=a\\quad/\\cdot 2\\]
\\[4b+a+b=2a\\]
\\[5b=a\\]
\\[\\dfrac{b}{a}=\\dfrac{1}{5}\\Rightarrow \\dfrac{|CD|}{|AB|}=\\dfrac{1}{5}\\]
\\(\\blacksquare\\)

\n
Sposób II (przez pola trójkątów podobnych)
\n

Poprowadźmy przekątną \\(AC\\), niech \\(K=AC\\cap EF\\). Trójkąty \\(ACD\\) i \\(AKE\\) są podobne (skala 2, bo \\(E\\) jest środkiem \\(AD\\)), więc \\(P_{ACD}=4P_{AKE}\\), czyli \\(P_{EKCD}=3P_{AKE}\\). Analogicznie trójkąty \\(ABC\\) i \\(KFC\\) są podobne w skali 2 (z \\(F\\) jako środek \\(BC\\)), więc \\(P_{ABFK}=3P_{KFC}\\).

\n

Oznaczmy \\(P_{AKE}=n\\) i \\(P_{KFC}=m\\). Wtedy \\(P_{EFCD}=3n+m\\) oraz \\(P_{ABFE}=n+3m\\). Z warunku:
\\[\\frac{3n+m}{n+3m}=\\frac{1}{2}\\Rightarrow 6n+2m=n+3m\\Rightarrow 5n=m\\]

\n

Ale \\(\\dfrac{P_{ACD}}{P_{ABC}}=\\dfrac{b}{a}\\) (wspólna wysokość), a z \\(P_{ACD}=4n\\) i \\(P_{ABC}=4m\\) mamy:
\\[\\dfrac{b}{a}=\\dfrac{4n}{4m}=\\dfrac{n}{m}=\\dfrac{n}{5n}=\\dfrac{1}{5}\\;\\blacksquare\\]

\n
Karta wzorów CKE
\n\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: Kluczowy fakt - odcinek środkowy trapezu dzieli go na dwa trapezy o jednakowej wysokości \\(\\tfrac{h}{2}\\), więc stosunek pól = stosunek sum podstaw. Formuła odcinka środkowego zamienia problem w prosty układ liniowy.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Dowód geometryczny.

"}]}