{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"8","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-5)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dane są okręgi 𝒪1 oraz 𝒪2 o równaniach:\n𝒪1: (𝑥-1)2 + (𝑦+ 3)2 = 5\n𝒪2: (𝑥-2)2 + (𝑦-4)2 = 45.\nTe okręgi przecinają się w punktach 𝐴 oraz 𝐵. Punkt 𝐴 ma pierwszą współrzędną\ndodatnią. Punkt 𝑀 spełnia warunek 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = -2 ⋅𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .\nOblicz współrzędne punktów 𝑨, 𝑩 oraz 𝑴. Zapisz obliczenia.\n8.\n0-1-\n2-3-\n4-5\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dane są okręgi O_1 oraz O_2 o równaniach: ⋅ O_1: (x-1)² + (y+3)² = 5, ⋅ O_2: (x-2)² + (y-4)² = 45 Te okręgi przecinają się w punktach A oraz B. Punkt A ma pierwszą współrzędną dodatnią. Punkt M spełnia warunek AM ⃗ = -2⋅BM ⃗. Oblicz współrzędne punktów A, B oraz M. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8. (0-5)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nIX.R2) znajduje punkty wspólne dwóch\nokręgów;\nIX.R3) zna pojęcie wektora i oblicza jego\nwspółrzędne oraz długość, dodaje wektory\ni mnoży wektor przez liczbę, oba te\ndziałania wykonuje zarówno analitycznie,\njak i geometrycznie.\nZasady oceniania\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝐴= (16\n5 , -13\n5 ), 𝐵= (-1, -2)\noraz 𝑀= ( 2\n5 , -11\n5 ).\n4 pkt - zapisanie równania [𝑥𝑀-16\n5 , 𝑦𝑀-(-13\n5 )] = -2 ⋅[𝑥𝑀-(-1), 𝑦𝑀-(-2)]\nALBO\n- zapisanie układu równań z dwiema niewiadomymi, który pozwala obliczyć\nwspółrzędne punktu 𝑀, np. √(-1 -𝑥𝑀)2 + (-2 -𝑦𝑀)2 = √2 oraz\n√(𝑥𝑀-3,2)2 + (𝑦𝑀+ 2,6)2 = 2√2,\nALBO\n- obliczenie współrzędnych punktów 𝐴 oraz 𝐵: 𝐴= (16\n5 , -13\n5 ) i 𝐵= (-1, -2)\noraz zapisanie równości 𝑥𝑀= 1\n3 𝑥𝐴+ 2\n3 𝑥𝐵 oraz 𝑦𝑀= 1\n3 𝑦𝐴+ 2\n3 𝑦𝐵 .\n3 pkt - obliczenie współrzędnych punktów 𝐴 oraz 𝐵: 𝐴= (16\n5 , -13\n5 ) oraz\n𝐵= (-1, -2)\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą, pozwalającego obliczyć pierwsze (lub\ndrugie) współrzędne punktów przecięcia okręgów, np.\n(-7𝑦-15 -2)2 + (𝑦-4)2 = 45 oraz zapisanie równości 𝑥𝑀= 1\n3 𝑥𝐴+ 2\n3 𝑥𝐵 oraz\n𝑦𝑀= 1\n3 𝑦𝐴+ 2\n3 𝑦𝐵 .\n2 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą, pozwalającego obliczyć pierwsze (lub\ndrugie) współrzędne punktów przecięcia okręgów, np.\n(-7𝑦-15 -2)2 + (𝑦-4)2 = 45,\nALBO\n- wyznaczenie równania prostej 𝐴𝐵, np. 2𝑥+ 14𝑦= -30 oraz zapisanie równości\n𝑥𝑀= 1\n3 𝑥𝐴+ 2\n3 𝑥𝐵 oraz 𝑦𝑀= 1\n3 𝑦𝐴+ 2\n3 𝑦𝐵 ,\nALBO\n- zapisanie współrzędnych punktu 𝐵: 𝐵= (-1, -2) i sprawdzenie rachunkiem, że\npunkt 𝐵 jest punktem przecięcia okręgów oraz wyznaczenie równania prostej 𝐴𝐵,\nALBO\n- zapisanie współrzędnych punktu 𝐵: 𝐵= (-1, -2) i sprawdzenie rachunkiem, że\npunkt 𝐵 jest punktem przecięcia okręgów oraz obliczenie współrzędnych środka\nodcinka 𝐴𝐵: (11\n10 , -23\n10).\n1 pkt - wyznaczenie równania prostej 𝐴𝐵, np. 2𝑥+ 14𝑦= -30\nALBO\n- zapisanie równości 𝑥𝑀= 1\n3 𝑥𝐴+ 2\n3 𝑥𝐵 oraz 𝑦𝑀= 1\n3 𝑦𝐴+ 2\n3 𝑦𝐵 ,\nALBO\n- zapisanie współrzędnych punktu 𝐵: 𝐵= (-1, -2) i sprawdzenie rachunkiem, że\npunkt 𝐵 jest punktem przecięcia okręgów oraz zapisanie/obliczenie współczynnika\nkierunkowego prostej przechodzącej przez środki okręgów: 7.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający błędnie identyfikuje punkt 𝐴 jako (-1, -2), to może otrzymać co najwyżej\n4 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe i otrzyma punkty 𝐴 oraz 𝐵, których pierwsze\nwspółrzędne są liczbami dodatnimi, i konsekwentnie do popełnionych błędów rozwiązuje\nzadanie do końca, rozważając dwa przypadki, to może otrzymać co najwyżej 4 punkty za\ncałe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe i otrzyma punkty 𝐴 oraz 𝐵, których pierwsze\nwspółrzędne są liczbami ujemnymi, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe\nrozwiązanie (trzeci punkt otrzymuje za zapisanie równości 𝑥𝑀= 1\n3 𝑥𝐴+ 2\n3 𝑥𝐵 oraz\n𝑦𝑀= 1\n3 𝑦𝐴+ 2\n3 𝑦𝐵).\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nObliczamy współrzędne punktów 𝐴 oraz 𝐵, w których przecinają się okręgi 𝒪1 oraz 𝒪2:\n{ (𝑥-1)2 + (𝑦+ 3)2 = 5\n(𝑥-2)2 + (𝑦-4)2 = 45\n{ (𝑥-1)2 + (𝑦+ 3)2 -(𝑥-2)2 -(𝑦-4)2 = 5 -45\n(𝑥-2)2 + (𝑦-4)2 = 45\n{ 𝑥2 -2𝑥+ 1 + 𝑦2 + 6𝑦+ 9 -𝑥2 + 4𝑥-4 -𝑦2 + 8𝑦-16 = -40\n(𝑥-2)2 + (𝑦-4)2 = 45\n{ 2𝑥+ 14𝑦= -30 /: 2\n(𝑥-2)2 + (𝑦-4)2 = 45\n{ 𝑥+ 7𝑦= -15\n(𝑥-2)2 + (𝑦-4)2 = 45\n{ 𝑥= -7𝑦-15\n(𝑥-2)2 + (𝑦-4)2 = 45\n{ 𝑥= -7𝑦-15\n(-7𝑦-15 -2)2 + (𝑦-4)2 = 45\n{ 𝑥= -7𝑦-15\n50𝑦2 + 230𝑦+ 260 = 0\nStąd\n𝑦= -13\n5 lub 𝑦= -2\nGdy 𝑦= -13\n5 to wtedy 𝑥= -7 ⋅(-13\n5 ) -15 = 16\n5 .\nGdy 𝑦= -2 to wtedy 𝑥= -7 ⋅(-2) -15 = -1.\nPonieważ pierwsza współrzędna punktu 𝐴 jest dodatnia, więc 𝐴= (16\n5 , -13\n5 )\noraz 𝐵= (-1, -2).\nOznaczmy przez 𝑥𝑀 i 𝑦𝑀 odpowiednie współrzędne punktu 𝑀, tj. 𝑀= (𝑥𝑀, 𝑦𝑀). Wtedy\n𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = -2 ⋅𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗\n[𝑥𝑀-16\n5 , 𝑦𝑀-(-13\n5 )] = -2 ⋅[𝑥𝑀-(-1), 𝑦𝑀-(-2)]\n[𝑥𝑀-16\n5 , 𝑦𝑀+ 13\n5 ] = [-2𝑥𝑀-2, -2𝑦𝑀-4]\n𝑥𝑀-16\n5 = -2𝑥𝑀-2 ∧ 𝑦𝑀+ 13\n5 = -2𝑦𝑀-4\n𝑥𝑀= 2\n5 ∧ 𝑦𝑀= -11\n5\nZatem 𝑀= (2\n5 , -11\n5 ).","solution":"Odpowiedź: $A = \\left(\\dfrac{16}{5},\\ -\\dfrac{13}{5}\\right)$, $B = (-1, -2)$, $M = \\left(\\dfrac{2}{5},\\ -\\dfrac{11}{5}\\right)$.\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nStrategia\n\nPunkty przecięcia okręgów spełniają oba równania jednocześnie. Najszybsza droga:\n\n1. Odejmij oba równania okręgów → otrzymasz równanie prostej zawierającej cięciwę $AB$ (oś radykalna).\n2. Z tej prostej wyznacz jedną zmienną przez drugą, podstaw do jednego z okręgów — równanie kwadratowe na drugą zmienną.\n3. Z punktów wybierz ten z dodatnią pierwszą współrzędną jako $A$.\n4. Z warunku wektorowego wyznacz $M$.\n\nKrok 1 — znajdź $A$ i $B$\n\nRozwiń oba równania.\n\n$\\mathcal{O}_1$: $(x-1)^2 + (y+3)^2 = 5$\n$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 6y + 9 = 5$\n$x^2 + y^2 - 2x + 6y + 5 = 0 \\quad$ (I)\n\n$\\mathcal{O}_2$: $(x-2)^2 + (y-4)^2 = 45$\n$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 8y + 16 = 45$\n$x^2 + y^2 - 4x - 8y - 25 = 0 \\quad$ (II)\n\nOdejmij (II) od (I) — wyrazy $x^2$ i $y^2$ znikają:\n\n$$(-2x + 6y + 5) - (-4x - 8y - 25) = 0$$\n\n$$2x + 14y + 30 = 0$$\n\n$$x + 7y + 15 = 0 \\quad\\Rightarrow\\quad x = -7y - 15$$\n\n(to prosta zawierająca oba punkty przecięcia $A$ i $B$).\n\nPodstaw do równania (I).\n\n$$x^2 + y^2 - 2x + 6y + 5 = 0$$\n\nZ $x = -7y - 15$: $x^2 = (7y + 15)^2 = 49y^2 + 210y + 225$ oraz $-2x = 14y + 30$.\n\n$$49y^2 + 210y + 225 + y^2 + 14y + 30 + 6y + 5 = 0$$\n\n$$50y^2 + 230y + 260 = 0$$\n\nPodziel przez $10$:\n\n$$5 y^2 + 23 y + 26 = 0$$\n\nRozwiąż równanie kwadratowe.\n\n$$\\Delta = 23^2 - 4 \\cdot 5 \\cdot 26 = 529 - 520 = 9, \\quad \\sqrt{\\Delta} = 3$$\n\n$$y_1 = \\frac{-23 - 3}{10} = -\\frac{26}{10} = -\\frac{13}{5}$$\n\n$$y_2 = \\frac{-23 + 3}{10} = -\\frac{20}{10} = -2$$\n\nWyznacz odpowiadające $x$.\n\nDla $y_1 = -\\tfrac{13}{5}$: $x_1 = -7 \\cdot (-\\tfrac{13}{5}) - 15 = \\tfrac{91}{5} - \\tfrac{75}{5} = \\tfrac{16}{5}$.\n\nDla $y_2 = -2$: $x_2 = -7 \\cdot (-2) - 15 = 14 - 15 = -1$.\n\nMamy dwa punkty: $\\left(\\tfrac{16}{5},\\, -\\tfrac{13}{5}\\right)$ oraz $(-1, -2)$.\n\nWybierz $A$ z dodatnią pierwszą współrzędną.\n\n$\\tfrac{16}{5} = 3{,}2 > 0$ ✓ — to $A$.\n\n$-1 < 0$ — to $B$.\n\n$$A = \\left(\\frac{16}{5},\\ -\\frac{13}{5}\\right), \\qquad B = (-1, -2)$$\n\nKrok 2 — wyznacz $M$ z warunku wektorowego\n\nWarunek: $\\overrightarrow{AM} = -2 \\cdot \\overrightarrow{BM}$.\n\nZapisz wektory.\n\n$\\overrightarrow{AM} = M - A$ — wektor od $A$ do $M$.\n$\\overrightarrow{BM} = M - B$ — wektor od $B$ do $M$.\n\nWarunek: $M - A = -2 (M - B)$.\n\nRozwiąż na $M$.\n\n$$M - A = -2M + 2B$$\n\n$$M + 2M = A + 2B$$\n\n$$3M = A + 2B \\quad\\Rightarrow\\quad M = \\frac{A + 2B}{3}$$\n\nOblicz $A + 2B$:\n\n$$A + 2B = \\left(\\tfrac{16}{5},\\, -\\tfrac{13}{5}\\right) + 2 \\cdot (-1, -2) = \\left(\\tfrac{16}{5} - 2,\\, -\\tfrac{13}{5} - 4\\right)$$\n\n$$= \\left(\\tfrac{16}{5} - \\tfrac{10}{5},\\, -\\tfrac{13}{5} - \\tfrac{20}{5}\\right) = \\left(\\tfrac{6}{5},\\, -\\tfrac{33}{5}\\right)$$\n\nPodziel przez 3:\n\n$$M = \\frac{1}{3} \\cdot \\left(\\tfrac{6}{5},\\, -\\tfrac{33}{5}\\right) = \\left(\\tfrac{6}{15},\\, -\\tfrac{33}{15}\\right) = \\left(\\tfrac{2}{5},\\, -\\tfrac{11}{5}\\right)$$\n\nSprawdzenie warunku wektorowego\n\n$\\overrightarrow{AM} = M - A = \\left(\\tfrac{2}{5} - \\tfrac{16}{5},\\, -\\tfrac{11}{5} + \\tfrac{13}{5}\\right) = \\left(-\\tfrac{14}{5},\\, \\tfrac{2}{5}\\right)$\n\n$\\overrightarrow{BM} = M - B = \\left(\\tfrac{2}{5} + 1,\\, -\\tfrac{11}{5} + 2\\right) = \\left(\\tfrac{7}{5},\\, -\\tfrac{1}{5}\\right)$\n\n$-2 \\cdot \\overrightarrow{BM} = -2 \\cdot \\left(\\tfrac{7}{5},\\, -\\tfrac{1}{5}\\right) = \\left(-\\tfrac{14}{5},\\, \\tfrac{2}{5}\\right) = \\overrightarrow{AM}$ ✓\n\nPunktacja CKE\n\n- 1 pkt — odjęcie równań i zapisanie równania prostej zawierającej $AB$: $x + 7y + 15 = 0$.\n- 2 pkt — zapisanie równania kwadratowego z jedną niewiadomą (np. $5y^2 + 23y + 26 = 0$).\n- 3 pkt — obliczenie współrzędnych $A$ ALBO $B$.\n- 4 pkt — obliczenie obu punktów $A$ i $B$ z prawidłowym rozróżnieniem (dodatnia pierwsza dla $A$).\n- 5 pkt — pełne rozwiązanie + obliczenie $M$.\n\nKlucz uniwersalny\n\nSchemat dla „punkty przecięcia dwóch okręgów\":\n\n1. Rozwiń oba równania do postaci ogólnej $x^2 + y^2 + \\ldots = 0$.\n2. Odejmij stronami — wyrazy kwadratowe się skrócą, zostanie liniowe równanie (oś radykalna).\n3. Wyznacz jedną zmienną przez drugą z tej prostej.\n4. Podstaw do jednego z okręgów → równanie kwadratowe.\n5. Wyznacz oba punkty przecięcia.\n\nSchemat dla „wektor $\\overrightarrow{PQ} = k \\cdot \\overrightarrow{RS}$\":\n\n1. Zapisz wektory jako różnice współrzędnych ($Q - P$, $S - R$).\n2. Otrzymaj równanie wektorowe $Q - P = k(S - R)$.\n3. Rozwiąż na nieznany punkt — wynik to kombinacja liniowa znanych punktów.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to pomylenie wektora $\\overrightarrow{AM}$ z $\\overrightarrow{MA}$ (zwrot przeciwny). $\\overrightarrow{AM} = M - A$, NIE $A - M$. Drugi błąd: nie sprawdzić \"która pierwsza współrzędna dodatnia\" — jest A albo B w zależności od interpretacji.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/sol-8.svg","topics":"geometria analityczna, okręgi, wektor, analityczna","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 8. (0-5)
W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dane są okręgi 𝒪1 oraz 𝒪2 o równaniach:
𝒪1: (𝑥-1)2 + (𝑦+ 3)2 = 5
𝒪2: (𝑥-2)2 + (𝑦-4)2 = 45.
Te okręgi przecinają się w punktach 𝐴 oraz 𝐵. Punkt 𝐴 ma pierwszą współrzędną
dodatnią. Punkt 𝑀 spełnia warunek 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = -2 ⋅𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
Oblicz współrzędne punktów 𝑨, 𝑩 oraz 𝑴. Zapisz obliczenia.
8.
0-1-
2-3-
4-5

\n

MMAP-R0_100

\n

MMAP-R0_100
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dane są okręgi O_1 oraz O_2 o równaniach: ⋅ O_1: (x-1)² + (y+3)² = 5, ⋅ O_2: (x-2)² + (y-4)² = 45 Te okręgi przecinają się w punktach A oraz B. Punkt A ma pierwszą współrzędną dodatnią. Punkt M spełnia warunek AM ⃗ = -2⋅BM ⃗. Oblicz współrzędne punktów A, B oraz M. Zapisz obliczenia.

","answer_text_html":"

Zadanie 8. (0-5)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.

\n
  1. Stosowanie i tworzenie strategii przy
\n

rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach
nietypowych.
Zdający:
IX.R2) znajduje punkty wspólne dwóch
okręgów;
IX.R3) zna pojęcie wektora i oblicza jego
współrzędne oraz długość, dodaje wektory
i mnoży wektor przez liczbę, oba te
działania wykonuje zarówno analitycznie,
jak i geometrycznie.
Zasady oceniania
5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝐴= (16
5 , -13
5 ), 𝐵= (-1, -2)
oraz 𝑀= ( 2
5 , -11
5 ).
4 pkt - zapisanie równania [𝑥𝑀-16
5 , 𝑦𝑀-(-13
5 )] = -2 ⋅[𝑥𝑀-(-1), 𝑦𝑀-(-2)]
ALBO

\n\n

współrzędne punktu 𝑀, np. √(-1 -𝑥𝑀)2 + (-2 -𝑦𝑀)2 = √2 oraz
√(𝑥𝑀-3,2)2 + (𝑦𝑀+ 2,6)2 = 2√2,
ALBO

\n\n

5 , -13
5 ) i 𝐵= (-1, -2)
oraz zapisanie równości 𝑥𝑀= 1
3 𝑥𝐴+ 2
3 𝑥𝐵 oraz 𝑦𝑀= 1
3 𝑦𝐴+ 2
3 𝑦𝐵 .
3 pkt - obliczenie współrzędnych punktów 𝐴 oraz 𝐵: 𝐴= (16
5 , -13
5 ) oraz
𝐵= (-1, -2)
ALBO

\n\n

drugie) współrzędne punktów przecięcia okręgów, np.
(-7𝑦-15 -2)2 + (𝑦-4)2 = 45 oraz zapisanie równości 𝑥𝑀= 1
3 𝑥𝐴+ 2
3 𝑥𝐵 oraz
𝑦𝑀= 1
3 𝑦𝐴+ 2
3 𝑦𝐵 .
2 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą, pozwalającego obliczyć pierwsze (lub
drugie) współrzędne punktów przecięcia okręgów, np.
(-7𝑦-15 -2)2 + (𝑦-4)2 = 45,
ALBO

\n\n

𝑥𝑀= 1
3 𝑥𝐴+ 2
3 𝑥𝐵 oraz 𝑦𝑀= 1
3 𝑦𝐴+ 2
3 𝑦𝐵 ,
ALBO

\n\n

punkt 𝐵 jest punktem przecięcia okręgów oraz wyznaczenie równania prostej 𝐴𝐵,
ALBO

\n\n

punkt 𝐵 jest punktem przecięcia okręgów oraz obliczenie współrzędnych środka
odcinka 𝐴𝐵: (11
10 , -23
10).
1 pkt - wyznaczenie równania prostej 𝐴𝐵, np. 2𝑥+ 14𝑦= -30
ALBO

\n\n

3 𝑥𝐴+ 2
3 𝑥𝐵 oraz 𝑦𝑀= 1
3 𝑦𝐴+ 2
3 𝑦𝐵 ,
ALBO

\n\n

punkt 𝐵 jest punktem przecięcia okręgów oraz zapisanie/obliczenie współczynnika
kierunkowego prostej przechodzącej przez środki okręgów: 7.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający błędnie identyfikuje punkt 𝐴 jako (-1, -2), to może otrzymać co najwyżej
\n

4 punkty za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe i otrzyma punkty 𝐴 oraz 𝐵, których pierwsze
\n

współrzędne są liczbami dodatnimi, i konsekwentnie do popełnionych błędów rozwiązuje
zadanie do końca, rozważając dwa przypadki, to może otrzymać co najwyżej 4 punkty za
całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe i otrzyma punkty 𝐴 oraz 𝐵, których pierwsze
\n

współrzędne są liczbami ujemnymi, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe
rozwiązanie (trzeci punkt otrzymuje za zapisanie równości 𝑥𝑀= 1
3 𝑥𝐴+ 2
3 𝑥𝐵 oraz
𝑦𝑀= 1
3 𝑦𝐴+ 2
3 𝑦𝐵).
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Przykładowe pełne rozwiązanie
Obliczamy współrzędne punktów 𝐴 oraz 𝐵, w których przecinają się okręgi 𝒪1 oraz 𝒪2:
{ (𝑥-1)2 + (𝑦+ 3)2 = 5
(𝑥-2)2 + (𝑦-4)2 = 45
{ (𝑥-1)2 + (𝑦+ 3)2 -(𝑥-2)2 -(𝑦-4)2 = 5 -45
(𝑥-2)2 + (𝑦-4)2 = 45
{ 𝑥2 -2𝑥+ 1 + 𝑦2 + 6𝑦+ 9 -𝑥2 + 4𝑥-4 -𝑦2 + 8𝑦-16 = -40
(𝑥-2)2 + (𝑦-4)2 = 45
{ 2𝑥+ 14𝑦= -30 /: 2
(𝑥-2)2 + (𝑦-4)2 = 45
{ 𝑥+ 7𝑦= -15
(𝑥-2)2 + (𝑦-4)2 = 45
{ 𝑥= -7𝑦-15
(𝑥-2)2 + (𝑦-4)2 = 45
{ 𝑥= -7𝑦-15
(-7𝑦-15 -2)2 + (𝑦-4)2 = 45
{ 𝑥= -7𝑦-15
50𝑦2 + 230𝑦+ 260 = 0
Stąd
𝑦= -13
5 lub 𝑦= -2
Gdy 𝑦= -13
5 to wtedy 𝑥= -7 ⋅(-13
5 ) -15 = 16
5 .
Gdy 𝑦= -2 to wtedy 𝑥= -7 ⋅(-2) -15 = -1.
Ponieważ pierwsza współrzędna punktu 𝐴 jest dodatnia, więc 𝐴= (16
5 , -13
5 )
oraz 𝐵= (-1, -2).
Oznaczmy przez 𝑥𝑀 i 𝑦𝑀 odpowiednie współrzędne punktu 𝑀, tj. 𝑀= (𝑥𝑀, 𝑦𝑀). Wtedy
𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = -2 ⋅𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗
[𝑥𝑀-16
5 , 𝑦𝑀-(-13
5 )] = -2 ⋅[𝑥𝑀-(-1), 𝑦𝑀-(-2)]
[𝑥𝑀-16
5 , 𝑦𝑀+ 13
5 ] = [-2𝑥𝑀-2, -2𝑦𝑀-4]
𝑥𝑀-16
5 = -2𝑥𝑀-2 ∧ 𝑦𝑀+ 13
5 = -2𝑦𝑀-4
𝑥𝑀= 2
5 ∧ 𝑦𝑀= -11
5
Zatem 𝑀= (2
5 , -11
5 ).

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/sol-8.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Odpowiedź: $A = \\left(\\dfrac{16}{5},\\ -\\dfrac{13}{5}\\right)$, $B = (-1, -2)$, $M = \\left(\\dfrac{2}{5},\\ -\\dfrac{11}{5}\\right)$.

\n

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

\n

Strategia

\n

Punkty przecięcia okręgów spełniają oba równania jednocześnie. Najszybsza droga:

\n
  1. Odejmij oba równania okręgów → otrzymasz równanie prostej zawierającej cięciwę $AB$ (oś radykalna).
  2. Z tej prostej wyznacz jedną zmienną przez drugą, podstaw do jednego z okręgów — równanie kwadratowe na drugą zmienną.
  3. Z punktów wybierz ten z dodatnią pierwszą współrzędną jako $A$.
  4. Z warunku wektorowego wyznacz $M$.
\n

Krok 1 — znajdź $A$ i $B$

\n

Rozwiń oba równania.

\n

$\\mathcal{O}_1$: $(x-1)^2 + (y+3)^2 = 5$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 6y + 9 = 5$
$x^2 + y^2 - 2x + 6y + 5 = 0 \\quad$ (I)

\n

$\\mathcal{O}_2$: $(x-2)^2 + (y-4)^2 = 45$
$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 8y + 16 = 45$
$x^2 + y^2 - 4x - 8y - 25 = 0 \\quad$ (II)

\n

Odejmij (II) od (I) — wyrazy $x^2$ i $y^2$ znikają:

\n

$$(-2x + 6y + 5) - (-4x - 8y - 25) = 0$$

\n

$$2x + 14y + 30 = 0$$

\n

$$x + 7y + 15 = 0 \\quad\\Rightarrow\\quad x = -7y - 15$$

\n

(to prosta zawierająca oba punkty przecięcia $A$ i $B$).

\n

Podstaw do równania (I).

\n

$$x^2 + y^2 - 2x + 6y + 5 = 0$$

\n

Z $x = -7y - 15$: $x^2 = (7y + 15)^2 = 49y^2 + 210y + 225$ oraz $-2x = 14y + 30$.

\n

$$49y^2 + 210y + 225 + y^2 + 14y + 30 + 6y + 5 = 0$$

\n

$$50y^2 + 230y + 260 = 0$$

\n

Podziel przez $10$:

\n

$$5 y^2 + 23 y + 26 = 0$$

\n

Rozwiąż równanie kwadratowe.

\n

$$\\Delta = 23^2 - 4 \\cdot 5 \\cdot 26 = 529 - 520 = 9, \\quad \\sqrt{\\Delta} = 3$$

\n

$$y_1 = \\frac{-23 - 3}{10} = -\\frac{26}{10} = -\\frac{13}{5}$$

\n

$$y_2 = \\frac{-23 + 3}{10} = -\\frac{20}{10} = -2$$

\n

Wyznacz odpowiadające $x$.

\n

Dla $y_1 = -\\tfrac{13}{5}$: $x_1 = -7 \\cdot (-\\tfrac{13}{5}) - 15 = \\tfrac{91}{5} - \\tfrac{75}{5} = \\tfrac{16}{5}$.

\n

Dla $y_2 = -2$: $x_2 = -7 \\cdot (-2) - 15 = 14 - 15 = -1$.

\n

Mamy dwa punkty: $\\left(\\tfrac{16}{5},\\, -\\tfrac{13}{5}\\right)$ oraz $(-1, -2)$.

\n

Wybierz $A$ z dodatnią pierwszą współrzędną.

\n

$\\tfrac{16}{5} = 3{,}2 > 0$ ✓ — to $A$.

\n

$-1 < 0$ — to $B$.

\n

$$A = \\left(\\frac{16}{5},\\ -\\frac{13}{5}\\right), \\qquad B = (-1, -2)$$

\n

Krok 2 — wyznacz $M$ z warunku wektorowego

\n

Warunek: $\\overrightarrow{AM} = -2 \\cdot \\overrightarrow{BM}$.

\n

Zapisz wektory.

\n

$\\overrightarrow{AM} = M - A$ — wektor od $A$ do $M$.
$\\overrightarrow{BM} = M - B$ — wektor od $B$ do $M$.

\n

Warunek: $M - A = -2 (M - B)$.

\n

Rozwiąż na $M$.

\n

$$M - A = -2M + 2B$$

\n

$$M + 2M = A + 2B$$

\n

$$3M = A + 2B \\quad\\Rightarrow\\quad M = \\frac{A + 2B}{3}$$

\n

Oblicz $A + 2B$:

\n

$$A + 2B = \\left(\\tfrac{16}{5},\\, -\\tfrac{13}{5}\\right) + 2 \\cdot (-1, -2) = \\left(\\tfrac{16}{5} - 2,\\, -\\tfrac{13}{5} - 4\\right)$$

\n

$$= \\left(\\tfrac{16}{5} - \\tfrac{10}{5},\\, -\\tfrac{13}{5} - \\tfrac{20}{5}\\right) = \\left(\\tfrac{6}{5},\\, -\\tfrac{33}{5}\\right)$$

\n

Podziel przez 3:

\n

$$M = \\frac{1}{3} \\cdot \\left(\\tfrac{6}{5},\\, -\\tfrac{33}{5}\\right) = \\left(\\tfrac{6}{15},\\, -\\tfrac{33}{15}\\right) = \\left(\\tfrac{2}{5},\\, -\\tfrac{11}{5}\\right)$$

\n

Sprawdzenie warunku wektorowego

\n

$\\overrightarrow{AM} = M - A = \\left(\\tfrac{2}{5} - \\tfrac{16}{5},\\, -\\tfrac{11}{5} + \\tfrac{13}{5}\\right) = \\left(-\\tfrac{14}{5},\\, \\tfrac{2}{5}\\right)$

\n

$\\overrightarrow{BM} = M - B = \\left(\\tfrac{2}{5} + 1,\\, -\\tfrac{11}{5} + 2\\right) = \\left(\\tfrac{7}{5},\\, -\\tfrac{1}{5}\\right)$

\n

$-2 \\cdot \\overrightarrow{BM} = -2 \\cdot \\left(\\tfrac{7}{5},\\, -\\tfrac{1}{5}\\right) = \\left(-\\tfrac{14}{5},\\, \\tfrac{2}{5}\\right) = \\overrightarrow{AM}$ ✓

\n

Punktacja CKE

\n\n

Klucz uniwersalny

\n

Schemat dla „punkty przecięcia dwóch okręgów":

\n
  1. Rozwiń oba równania do postaci ogólnej $x^2 + y^2 + \\ldots = 0$.
  2. Odejmij stronami — wyrazy kwadratowe się skrócą, zostanie liniowe równanie (oś radykalna).
  3. Wyznacz jedną zmienną przez drugą z tej prostej.
  4. Podstaw do jednego z okręgów → równanie kwadratowe.
  5. Wyznacz oba punkty przecięcia.
\n

Schemat dla „wektor $\\overrightarrow{PQ} = k \\cdot \\overrightarrow{RS}$":

\n
  1. Zapisz wektory jako różnice współrzędnych ($Q - P$, $S - R$).
  2. Otrzymaj równanie wektorowe $Q - P = k(S - R)$.
  3. Rozwiąż na nieznany punkt — wynik to kombinacja liniowa znanych punktów.
\n

Typowy błąd: Najczęstszy błąd to pomylenie wektora $\\overrightarrow{AM}$ z $\\overrightarrow{MA}$ (zwrot przeciwny). $\\overrightarrow{AM} = M - A$, NIE $A - M$. Drugi błąd: nie sprawdzić "która pierwsza współrzędna dodatnia" — jest A albo B w zależności od interpretacji.

"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

\\[A = \\left(\\frac{16}{5},\\ -\\frac{13}{5}\\right), \\quad B = (-1,\\ -2), \\quad M = \\left(\\frac{2}{5},\\ -\\frac{11}{5}\\right)\\]

\n

Sposób 1 - Odjęcie równań okręgów + podstawienie + równanie wektorowe

\n
Krok 1 - Rozpisz równania okręgów
\n

\\[\\mathcal{O}_1:\\quad x^2 - 2x + 1 + y^2 + 6y + 9 = 5 \\implies x^2 + y^2 - 2x + 6y + 5 = 0 \\tag{1}\\]

\n

\\[\\mathcal{O}_2:\\quad x^2 - 4x + 4 + y^2 - 8y + 16 = 45 \\implies x^2 + y^2 - 4x - 8y - 25 = 0 \\tag{2}\\]

\n
Krok 2 - Wyznacz równanie prostej AB (oś potęgowa)
\n

Odejmuję \\((1)\\) od \\((2)\\) - wyrazy kwadratowe się eliminują:

\n

\\[(x^2 + y^2 - 4x - 8y - 25) - (x^2 + y^2 - 2x + 6y + 5) = 0\\]

\n

\\[-2x - 14y - 30 = 0 \\implies x + 7y + 15 = 0 \\implies \\boxed{x = -7y - 15} \\tag{3}\\]

\n

To równanie prostej AB - cięciwy wspólnej obu okręgów.

\n
Krok 3 - Podstaw do równania \\(\\mathcal{O}_1\\)
\n

Wstawiam \\(x = -7y - 15\\) do \\((1)\\):

\n

\\[(-7y - 15)^2 + y^2 - 2(-7y-15) + 6y + 5 = 0\\]

\n

\\[49y^2 + 210y + 225 + y^2 + 14y + 30 + 6y + 5 = 0\\]

\n

\\[50y^2 + 230y + 260 = 0\\]

\n

\\[5y^2 + 23y + 26 = 0\\]

\n
Krok 4 - Rozwiąż trójmian
\n

\\[\\Delta = 23^2 - 4 \\cdot 5 \\cdot 26 = 529 - 520 = 9\\]

\n

\\[y = \\frac{-23 \\pm \\sqrt{9}}{10} = \\frac{-23 \\pm 3}{10}\\]

\n

\\[y_1 = \\frac{-20}{10} = -2, \\qquad y_2 = \\frac{-26}{10} = -\\frac{13}{5}\\]

\n

Z \\((3)\\):

\n\n

Punkt z dodatnią pierwszą współrzędną to \\(A\\):

\n

\\[\\boxed{A = \\left(\\tfrac{16}{5},\\ -\\tfrac{13}{5}\\right), \\quad B = (-1,\\ -2)}\\]

\n
Krok 5 - Znajdź punkt M z warunku wektorowego
\n

Warunek: \\(\\overrightarrow{AM} = -2\\,\\overrightarrow{BM}\\). Dla \\(M = (x, y)\\):

\n

\\[\\overrightarrow{AM} = \\left(x - \\tfrac{16}{5},\\ y + \\tfrac{13}{5}\\right), \\qquad \\overrightarrow{BM} = (x+1,\\ y+2)\\]

\n

Równanie dla \\(x\\):
\\[x - \\tfrac{16}{5} = -2(x+1) \\implies x - \\tfrac{16}{5} = -2x - 2 \\implies 3x = -2 + \\tfrac{16}{5} = \\tfrac{6}{5} \\implies x = \\tfrac{2}{5}\\]

\n

Równanie dla \\(y\\):
\\[y + \\tfrac{13}{5} = -2(y+2) \\implies y + \\tfrac{13}{5} = -2y - 4 \\implies 3y = -4 - \\tfrac{13}{5} = -\\tfrac{33}{5} \\implies y = -\\tfrac{11}{5}\\]

\n

\\[\\boxed{M = \\left(\\tfrac{2}{5},\\ -\\tfrac{11}{5}\\right)}\\]

\n

Sposób 2 - Bezpośredni wzór na punkt M z równania wektorowego

\n

Dla punktów A i B (znalezionych tak samo jak w Sposobie 1) wyznaczamy M sprytniejszą drogą.

\n

Przepisz warunek algebraicznie:

\n

\\[\\overrightarrow{AM} = -2\\,\\overrightarrow{BM}\\]
\\[M - A = -2(M - B)\\]
\\[M - A = -2M + 2B\\]
\\[3M = A + 2B\\]
\\[M = \\frac{A + 2B}{3}\\]

\n

Wstawiam \\(A = \\left(\\tfrac{16}{5}, -\\tfrac{13}{5}\\right)\\) i \\(B = (-1, -2)\\):

\n

\\[x_M = \\frac{\\tfrac{16}{5} + 2 \\cdot (-1)}{3} = \\frac{\\tfrac{16}{5} - \\tfrac{10}{5}}{3} = \\frac{\\tfrac{6}{5}}{3} = \\frac{6}{15} = \\frac{2}{5}\\]

\n

\\[y_M = \\frac{-\\tfrac{13}{5} + 2 \\cdot (-2)}{3} = \\frac{-\\tfrac{13}{5} - \\tfrac{20}{5}}{3} = \\frac{-\\tfrac{33}{5}}{3} = -\\frac{33}{15} = -\\frac{11}{5}\\]

\n

\\[\\boxed{M = \\left(\\tfrac{2}{5},\\ -\\tfrac{11}{5}\\right)}\\]

\n
Interpretacja geometryczna: M dzieli odcinek AB w stosunku \\(|AM|:|MB| = 2:1\\), ale poza odcinkiem (bo współczynnik jest ujemny) - M leży na przedłużeniu BA poza A.
\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25) - równanie okręgu w postaci kanonicznej:
\\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\]
Użyliśmy przy odczytaniu środków i promieni obu okręgów oraz przy rozpisaniu równań do postaci ogólnej.

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25) - wektor:
\\[\\vec{AB} = [x_B - x_A,\\ y_B - y_A]\\]
Użyliśmy przy zapisie warunków \\(\\overrightarrow{AM}\\) i \\(\\overrightarrow{BM}\\) dla punktu M.

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8) - wyróżnik i wzór na pierwiastki:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad y_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]
Użyliśmy przy rozwiązywaniu trójmianu \\(5y^2 + 23y + 26 = 0\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Przy odejmowaniu równań okręgów łatwo o błąd znaku - każdy wyraz z \\((1)\\) odejmujemy z odpowiednim znakiem. Sprawdź dwukrotnie!
\n
⚠️ Uwaga: Zadanie mówi, że punkt A ma dodatnią pierwszą współrzędną. Nie zapomnij przypisać właściwego punktu do A - bez tego warunek na M będzie rozwiązany dla złego punktu.
\n
⚠️ Uwaga: W warunku \\(\\overrightarrow{AM} = -2\\,\\overrightarrow{BM}\\) minus oznacza, że wektory mają przeciwne zwroty - M leży na prostej AB, ale poza odcinkiem. Typowy błąd to zgubienie tego minusa i otrzymanie błędnego \\(M\\).
\n
Sposób I (odejmowanie równań - prosta \\(AB\\))
\n

Układ równań dla punktów wspólnych \\(A,B\\):
\\[\\begin{cases}(x-1)^{2}+(y+3)^{2}=5\\\\(x-2)^{2}+(y-4)^{2}=45\\end{cases}\\]

\n

Odejmujemy pierwsze od drugiego (rozwijamy):
\\[(x^{2}-4x+4)+(y^{2}-8y+16)-(x^{2}-2x+1)-(y^{2}+6y+9)=45-5\\]
\\[-2x-14y+10=40\\]
\\[2x+14y=-30\\quad/:2\\]
\\[x+7y=-15\\Rightarrow x=-7y-15\\]

\n

Podstawiamy do \\(\\mathcal{O}_{1}\\):
\\[(-7y-15-1)^{2}+(y+3)^{2}=5\\]
\\[(-7y-16)^{2}+(y+3)^{2}=5\\]
\\[49y^{2}+224y+256+y^{2}+6y+9=5\\]
\\[50y^{2}+230y+260=0\\quad/:10\\]
\\[5y^{2}+23y+26=0\\]
\\[\\Delta=529-520=9,\\quad \\sqrt{\\Delta}=3\\]
\\[y=\\tfrac{-23+3}{10}=-2\\quad\\lor\\quad y=\\tfrac{-23-3}{10}=-\\tfrac{13}{5}\\]

\n

Dla \\(y=-2\\): \\(x=-7(-2)-15=14-15=-1\\). Punkt \\((-1,-2)\\).
Dla \\(y=-\\tfrac{13}{5}\\): \\(x=-7\\cdot(-\\tfrac{13}{5})-15=\\tfrac{91}{5}-\\tfrac{75}{5}=\\tfrac{16}{5}\\). Punkt \\((\\tfrac{16}{5},-\\tfrac{13}{5})\\).

\n

Ponieważ \\(x_{A}>0\\): \\(A=\\left(\\tfrac{16}{5},-\\tfrac{13}{5}\\right)\\) i \\(B=(-1,-2)\\).

\n
Wyznaczenie \\(M\\)
\n

Z warunku \\(\\overrightarrow{AM}=-2\\overrightarrow{BM}\\):
\\[(x_{M}-\\tfrac{16}{5}, y_{M}+\\tfrac{13}{5})=-2\\cdot(x_{M}+1, y_{M}+2)=(-2x_{M}-2, -2y_{M}-4)\\]

\n

Dwa równania:

\n\n

Odpowiedź: \\(A=\\left(\\tfrac{16}{5},-\\tfrac{13}{5}\\right)\\), \\(B=(-1,-2)\\), \\(M=\\left(\\tfrac{2}{5},-\\tfrac{11}{5}\\right)\\).

\n
Sposób II (stosunek podziału wektora)
\n

Z \\(\\overrightarrow{AM}=-2\\overrightarrow{BM}\\) mamy \\(M-A=-2(M-B)\\Rightarrow 3M=A+2B\\Rightarrow M=\\tfrac{1}{3}A+\\tfrac{2}{3}B\\). Dlatego:
\\[x_{M}=\\tfrac{1}{3}\\cdot\\tfrac{16}{5}+\\tfrac{2}{3}\\cdot(-1)=\\tfrac{16}{15}-\\tfrac{2}{3}=\\tfrac{16-10}{15}=\\tfrac{6}{15}=\\tfrac{2}{5}\\]
\\[y_{M}=\\tfrac{1}{3}\\cdot(-\\tfrac{13}{5})+\\tfrac{2}{3}\\cdot(-2)=-\\tfrac{13}{15}-\\tfrac{4}{3}=-\\tfrac{13}{15}-\\tfrac{20}{15}=-\\tfrac{33}{15}=-\\tfrac{11}{5}\\]

\n
Karta wzorów CKE
\n\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: Odjęcie równań dwóch okręgów daje równanie prostej przez ich punkty wspólne (tzw. oś potęgowa). Z warunku wektorowego \\(\\overrightarrow{AM}=-2\\overrightarrow{BM}\\) wynika: \\(M=\\tfrac{1}{3}A+\\tfrac{2}{3}B\\) (wewnętrzny podział odcinka \\(AB\\) w stosunku \\(2:1\\) od \\(A\\)).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$A = \\left(\\dfrac{16}{5}, -\\dfrac{13}{5}\\right)$, $B = (-1, -2)$ oraz $M = \\left(\\dfrac{2}{5}, -\\dfrac{11}{5}\\right)$

"}]}