{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"9","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-5)\nRozwiąż równanie\n𝟑𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙+ √𝟑𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙) -𝟑𝐬𝐢𝐧𝟐𝒙= 𝟎\nw przedziale [-𝝅, 𝝅]. Zapisz obliczenia.\n9.\n0-1-\n2-3-\n4-5\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nRozwiąż równanie 3cos²x + √3sin(2x) - 3sin²x = 0 w przedziale <-π,π>. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-5)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVII.R6) rozwiązuje równania\ntrygonometryczne.\nZasady oceniania (dla sposobów I-III)\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (-2𝜋\n3 ), (-𝜋\n6), 𝜋\n3 , 5𝜋\n6 .\n4 pkt - zapisanie założenia cos 𝑥≠0 oraz rozwiązanie alternatywy równań tg 𝑥= √3 lub\ntg 𝑥= -\n√3\n3 w przedziale [-𝜋 , 𝜋]: (-2𝜋\n3 ), (-𝜋\n6), 𝜋\n3 , 5𝜋\n6 (dla sposobów I oraz III)\nALBO\n- rozwiązanie jednego z równań alternatywy tg 𝑥= √3 lub tg 𝑥= -\n√3\n3 , gdzie\n𝑥≠𝜋\n2 + 𝜋𝑘 i 𝑘∈ℤ, w przedziale [-𝜋 , 𝜋], np.\n(-2𝜋\n3 ) i 𝜋\n3 (rozwiązania równania tg 𝑥= √3 w przedziale [-𝜋, 𝜋]),\n(-𝜋\n6) oraz 5𝜋\n6 (rozwiązania równania tg 𝑥= -\n√3\n3 w przedziale [-𝜋, 𝜋]),\noraz uzasadnienie, że liczby postaci 𝜋\n2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ, nie spełniają równania\n3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0 (dla sposobów I oraz III),\nALBO\n- rozwiązanie alternatywy równań tg 𝑥= √3 lub tg 𝑥= -\n√3\n3 w zbiorze ℝ:\n𝑥= 𝜋\n3 + 𝜋𝑘 oraz 𝑥= -𝜋\n6 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ, oraz uzasadnienie, że liczby postaci\n𝜋\n2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ, nie spełniają równania\n3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0 (dla sposobów I oraz III),\nALBO\n- zapisanie założenia cos(2𝑥) ≠0 oraz rozwiązanie równania tg(2𝑥) = -√3\nw przedziale [-𝜋, 𝜋]: (-2𝜋\n3 ), (-𝜋\n6), 𝜋\n3 , 5𝜋\n6 (dla sposobu II),\nALBO\n- rozwiązanie równania tg(2𝑥) = -√3 w zbiorze ℝ: 𝑥= -𝜋\n6 + 𝜋𝑘\n2 , gdzie 𝑘∈ℤ,\noraz uzasadnienie, że liczby postaci 𝜋\n4 + 𝜋𝑘\n2 , gdzie 𝑘∈ℤ, nie spełniają równania\n3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0 (dla sposobu II).\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n3 pkt - zapisanie założenia cos 𝑥≠0 oraz rozwiązanie alternatywy równań tg 𝑥= √3 lub\ntg 𝑥= -\n√3\n3 w zbiorze ℝ:\n𝑥= 𝜋\n3 + 𝜋𝑘 oraz 𝑥= -𝜋\n6 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ (dla sposobów I oraz III)\nALBO\n- przekształcenie równania do postaci alternatywy równań tg 𝑥= √3 lub tg 𝑥= -\n√3\n3\noraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w przedziale [-𝜋, 𝜋], np.\n(-2𝜋\n3 ) i 𝜋\n3 (rozwiązania równania tg 𝑥= √3 w przedziale [-𝜋, 𝜋]),\n(-𝜋\n6) i 5𝜋\n6 (rozwiązania równania tg 𝑥= -\n√3\n3 w przedziale [-𝜋, 𝜋]),\n(dla sposobów I oraz III),\nALBO\n- przekształcenie równania do postaci alternatywy równań tg 𝑥= √3 lub tg 𝑥= -\n√3\n3\noraz uzasadnienie, że liczby postaci 𝜋\n2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ, nie spełniają równania\n3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0 (dla sposobów I oraz III)\nALBO\n- zapisanie założenia cos(2𝑥) ≠0 oraz rozwiązanie równania tg(2𝑥) = -√3\nw zbiorze ℝ: 𝑥= -𝜋\n6 + 𝜋𝑘\n2 , gdzie 𝑘∈ℤ (dla sposobu II),\nALBO\n- przekształcenie równania do postaci tg(2𝑥) = -√3 oraz uzasadnienie, że liczby\npostaci 𝜋\n4 + 𝜋𝑘\n2 , gdzie 𝑘∈ℤ, nie spełniają równania 3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0\n(dla sposobu II).\n2 pkt - przekształcenie równania do alternatywy równań tg 𝑥= √3 lub tg 𝑥= -\n√3\n3 (dla\nsposobów I oraz III)\nALBO\n- przekształcenie równania do postaci -3 tg2 𝑥+ 2√3 tg 𝑥+ 3 = 0 oraz\nuzasadnienie, że liczby postaci 𝜋\n2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ, nie spełniają równania\n3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0 (dla sposobu I),\nALBO\n- przekształcenie równania do postaci tg(2𝑥) = -√3 (dla sposobu II).\n1 pkt - przekształcenie równania do postaci -3 tg2 𝑥+ 2√3 tg 𝑥+ 3 = 0 (dla sposobu I)\nALBO\n- zastosowanie wzoru na cosinus podwojonego kąta i zapisanie równania\n3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0 (dla sposobu II),\nALBO\n- zastosowanie wzoru na sinus podwojonego kąta oraz wzorów skróconego mnożenia\ni przekształcenie równania do postaci\n(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥-2 sin 𝑥)(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥+ 2 sin 𝑥) = 0 (dla sposobu III),\nALBO\n- uzasadnienie, że liczby postaci 𝜋\n2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ, nie spełniają równania\n3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0 (dla sposobów I oraz III).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania (dla sposobów IV-V)\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (-2𝜋\n3 ), (-𝜋\n6), 𝜋\n3 , 5𝜋\n6 .\n4 pkt - rozwiązanie równania sin (𝜋\n3 + 2𝑥) = 0 w zbiorze ℝ: 𝑥= -𝜋\n6 + 𝜋𝑘\n2 , gdzie 𝑘∈ℤ\n(dla sposobu IV),\nALBO\n- rozwiązanie równania cos (𝜋\n6 -2𝑥) = 0 w zbiorze ℝ: 𝑥= -𝜋\n6 -𝜋𝑘\n2 , gdzie 𝑘∈ℤ\n(dla sposobu IV),\nALBO\n- rozwiązanie obydwu równań alternatywy cos (𝜋\n6 + 𝑥) = 0 lub sin (𝜋\n6 + 𝑥) = 0\nw zbiorze ℝ:\n𝑥= 𝜋\n3 + 𝜋𝑘 oraz 𝑥= -𝜋\n6 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ (dla sposobu V),\nALBO\n- przekształcenie równania do postaci alternatywy równań cos (𝜋\n6 + 𝑥) = 0 lub\n√3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0 oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy\nw przedziale [-𝜋, 𝜋], np.\n(-2𝜋\n3 ) i 𝜋\n3 (rozwiązania równania cos (𝜋\n6 + 𝑥) = 0 w przedziale [-𝜋, 𝜋]),\n(-𝜋\n6) oraz 5𝜋\n6 (rozwiązania równania √3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0 w przedziale\n[-𝜋, 𝜋]),\n(dla sposobu V),\nALBO\n- przekształcenie równania do postaci alternatywy równań √3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 lub\nsin (𝜋\n6 + 𝑥) = 0 oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w przedziale\n[-𝜋, 𝜋], np.\n(-2𝜋\n3 ) i 𝜋\n3 (rozwiązania równania √3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 w przedziale [-𝜋, 𝜋]),\n(-𝜋\n6) oraz 5𝜋\n6 (rozwiązania równania sin (𝜋\n6 + 𝑥) = 0 w przedziale [-𝜋, 𝜋]),\n(dla sposobu V).\n3 pkt - przekształcenie równania do postaci sin (𝜋\n3 + 2𝑥) = 0 (dla sposobu IV)\nALBO\n- przekształcenie równania do postaci cos (𝜋\n6 -2𝑥) = 0 (dla sposobu IV),\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- przekształcenie równania do postaci alternatywy równań cos (𝜋\n6 + 𝑥) = 0 lub\n√3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0 oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy\nw zbiorze ℝ, np.\n𝑥= 𝜋\n3 + 𝜋𝑘 (rozwiązania równania cos (𝜋\n6 + 𝑥) = 0 w zbiorze ℝ),\n𝑥= -𝜋\n6 + 𝜋𝑘 (rozwiązania równania √3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0 w zbiorze ℝ),\ngdzie 𝑘∈ℤ (dla sposobu V),\n- przekształcenie równania do postaci alternatywy równań √3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 lub\nsin (𝜋\n6 + 𝑥) = 0 oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w zbiorze ℝ,\nnp.\n𝑥= 𝜋\n3 + 𝜋𝑘 (rozwiązania równania √3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 w zbiorze ℝ),\n𝑥= -𝜋\n6 + 𝜋𝑘 (rozwiązania równania sin (𝜋\n6 + 𝑥) = 0 w zbiorze ℝ), gdzie 𝑘∈ℤ\n(dla sposobu V).\n2 pkt - przekształcenie równania do postaci\n√3\n2 cos(2𝑥) + 1\n2 sin(2𝑥) = 0 (dla sposobu IV)\nALBO\n- przekształcenie równania do postaci alternatywy równań\ncos (𝜋\n6 + 𝑥) = 0 lub √3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0 (dla sposobu V),\nALBO\n- przekształcenie równania do postaci alternatywy równań\n√3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 lub sin (𝜋\n6 + 𝑥) = 0 (dla sposobu V).\n1 pkt - zastosowanie wzoru na cosinus podwojonego kąta i zapisanie równania\n3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0 (dla sposobu IV)\nALBO\n- zastosowanie wzoru na sinus podwojonego kąta oraz wzorów skróconego mnożenia\ni przekształcenie równania do postaci\n(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥-2 sin 𝑥)(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥+ 2 sin 𝑥) = 0 (dla sposobu V),\nALBO\n- zastosowanie wzoru na sinus podwojonego kąta i obliczenie wyróżnika Δ trójmianu\nkwadratowego 3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥 zmiennej np. cos 𝑥:\nΔ = (4√3 sin 𝑥)\n2.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:\na) niepoprawne zastosowanie wzoru na sumę/różnicę cosinusów/sinusów,\nb) niepoprawne zastosowanie wzoru na iloczyn cosinusów/sinusów,\nc) błędne zastosowanie nieparzystości/parzystości funkcji trygonometrycznej,\nale zdający otrzyma elementarne równania trygonometryczne postaci sin(𝑎𝑥+ 𝑏) = 𝑐,\ncos(𝑎𝑥+ 𝑏) = 𝑐, gdzie 𝑎≠0, 𝑎2 ≠1, 𝑏≠0, 𝑐∈[-1, 1], i rozwiązanie doprowadzi\nkonsekwentnie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie,\no ile nie nabył prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania.\n2. Jeżeli zdający błędnie stosuje metodę analizy starożytnych, np. podnosi obie strony\nrównania 3 cos(2𝑥) = -√3 sin(2𝑥) do kwadratu i nie sprawdza rachunkiem, czy\nwszystkie otrzymane liczby są rozwiązaniami, to za całe rozwiązanie może otrzymać co\nnajwyżej 3 punkty; natomiast jeżeli odrzuci co najmniej jedno rozwiązanie „obce” (ale nie\nodrzuci wszystkich rozwiązań „obcych”), to może otrzymać co najwyżej 4 punkty za całe\nrozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający dzieli obie strony równania przez wyrażenie 𝑎(𝑥) zawierające niewiadomą\n𝑥 i nie zapisze założenia 𝑎(𝑥) ≠0, ani też nie rozważa przypadku 𝑎(𝑥) = 0, to może\notrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I (poprzez sinus podwojonego kąta i tangens)\nStosujemy wzory na sinus podwojonego kąta i przekształcamy równanie\n3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 do postaci\n3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0\nNależy rozważyć dwa przypadki.\nPrzypadek 1. (gdy 𝑥≠𝜋\n2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ).\nDzielimy obie strony równania 3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0 przez cos2 𝑥\ni otrzymujemy\n3 + 2√3 sin 𝑥\ncos 𝑥\n-3sin2𝑥\ncos2 𝑥= 0\n3 + 2√3 tg 𝑥-3 tg2 𝑥= 0\n-3 tg2 𝑥+ 2√3 tg 𝑥+ 3 = 0\nΔ = (2√3)\n2 -4 ⋅(-3) ⋅3 = 48\ntg 𝑥= √3 ∨ tg 𝑥= -√3\n3\nRozwiązaniami równania tg 𝑥= √3 w zbiorze ℝ są wszystkie liczby postaci 𝜋\n3 + 𝜋𝑘,\ngdzie 𝑘∈ℤ. Zatem rozwiązaniami tego równania w przedziale [-𝜋 , 𝜋] są liczby\n(-2𝜋\n3 ) i 𝜋\n3 .\nRozwiązaniami równania tg 𝑥= -\n√3\n3 w zbiorze ℝ są wszystkie liczby postaci -𝜋\n6 + 𝜋𝑘,\ngdzie 𝑘∈ℤ. Zatem rozwiązaniami tego równania w przedziale [-𝜋 , 𝜋] są liczby (-𝜋\n6)\noraz 5𝜋\n6 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzypadek 2. (gdy 𝑥= 𝜋\n2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ).\nPonieważ cos (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) = 0 dla każdego 𝑘∈ℤ oraz sin2 (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) = 1 dla każdego\n𝑘∈ℤ, więc równanie 3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0 przyjmuje postać\n3 ⋅02 + 2√3 ⋅sin (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) ⋅0 -3 ⋅1 = 0\nczyli -3 = 0. To oznacza, że wśród liczb postaci 𝜋\n2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ, nie ma rozwiązań\nrównania 3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0.\nOstatecznie rozwiązaniami równania 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale\n[-𝜋 , 𝜋] są liczby: (-2𝜋\n3 ), (-𝜋\n6), 𝜋\n3 oraz 5𝜋\n6 .\nSposób II (poprzez cosinus podwojonego kąta i tangens)\nStosujemy wzory na cosinus podwojonego kąta i przekształcamy równanie\n3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 do postaci\n3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0\nNależy rozważyć dwa przypadki.\nPrzypadek 1. (gdy 2𝑥≠𝜋\n2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ).\nDzielimy obie strony równania 3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0 przez cos(2𝑥) i otrzymujemy\n3 + √3 ⋅sin(2𝑥)\ncos(2𝑥) = 0\ntg(2𝑥) = -√3\n2𝑥= -𝜋\n3 + 𝜋𝑘\n𝑥= -𝜋\n6 + 𝜋𝑘\n2\ngdzie 𝑘∈ℤ. Stąd otrzymujemy cztery rozwiązania w przedziale [-𝜋 , 𝜋]: (-2𝜋\n3 ), (-𝜋\n6), 𝜋\n3\noraz 5𝜋\n6 .\nPrzypadek 2. (gdy 2𝑥= 𝜋\n2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ).\nPonieważ cos (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) = 0 dla każdego 𝑘∈ℤ, więc równanie\n3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0 przyjmuje postać\n3 ⋅0 + √3 ⋅sin (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) = 0\ni stąd sin (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) = 0, gdzie 𝑘∈ℤ. Korzystając z jedynki trygonometrycznej,\notrzymujemy\nsin2 (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) + cos2 (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) = 1\n02 + 02 = 1\nczyli 0 = 1. To oznacza, że wśród liczb postaci 𝜋\n4 + 𝜋𝑘\n2 , gdzie 𝑘∈ℤ, nie ma rozwiązań\nrównania 3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0.\nOstatecznie rozwiązaniami równania 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale\n[-𝜋 , 𝜋] są liczby: (-2𝜋\n3 ), (-𝜋\n6), 𝜋\n3 oraz 5𝜋\n6 .\nSposób III\nPrzekształcamy równanie 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 równoważnie, stosując wzór\nna sinus podwojonego kąta i wzory skróconego mnożenia:\n3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0\n3 cos2 𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2 𝑥= 0\n(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥)\n2 -4 sin2 𝑥= 0\n(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥-2 sin 𝑥)(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥+ 2 sin 𝑥) = 0\n√3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 ∨ √3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0\nsin 𝑥= √3 cos 𝑥 ∨ sin 𝑥= -√3\n3 cos 𝑥\nPrzypadek 1. (gdy 𝑥≠𝜋\n2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ).\nDzielimy strony równań alternatywy przez cos 𝑥 i otrzymujemy\ntg 𝑥= √3 ∨ tg 𝑥= -√3\n3\nRozwiązaniami równania tg 𝑥= √3 w zbiorze ℝ są wszystkie liczby postaci 𝜋\n3 + 𝜋𝑘,\ngdzie 𝑘∈ℤ. Zatem rozwiązaniami tego równania w przedziale [-𝜋 , 𝜋] są liczby\n(-2𝜋\n3 ) i 𝜋\n3 .\nRozwiązaniami równania tg 𝑥= -\n√3\n3 w zbiorze ℝ są wszystkie liczby postaci -𝜋\n6 + 𝜋𝑘,\ngdzie 𝑘∈ℤ. Zatem rozwiązaniami alternatywy równań tg 𝑥= √3 lub tg 𝑥= -\n√3\n3\nw przedziale [-𝜋 , 𝜋] są liczby (-𝜋\n6) oraz 5𝜋\n6 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzypadek 2. (gdy 𝑥= 𝜋\n2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ).\nPonieważ cos (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) = 0, więc równania alternatywy sin 𝑥= √3 cos 𝑥 lub\nsin 𝑥= -\n√3\n3 cos 𝑥 przyjmują postać\nsin (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) = √3 ⋅0 oraz sin (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) = -√3\n3 ⋅0\ni stąd sin (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) = 0, gdzie 𝑘∈ℤ. Korzystając z jedynki trygonometrycznej,\notrzymujemy\nsin2 (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) + cos2 (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) = 1\n02 + 02 = 1\nczyli 0 = 1. To oznacza, że wśród liczb postaci 𝜋\n2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ, nie ma rozwiązań\nrównania sin 𝑥= √3 cos 𝑥 i nie ma rozwiązań równania sin 𝑥= -\n√3\n3 cos 𝑥.\nOstatecznie rozwiązaniami równania 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale\n[-𝜋 , 𝜋] są liczby: (-2𝜋\n3 ), (-𝜋\n6), 𝜋\n3 oraz 5𝜋\n6 .\nSposób IV (poprzez cosinus podwojonego kąta i sinus sumy)\nPrzekształcamy równanie 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 równoważnie, stosując wzór\nna cosinus podwojonego kąta i sinus sumy kątów:\n3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0\n3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0 /: 2√3\n√3\n2 cos(2𝑥) + 1\n2 sin(2𝑥) = 0\nsin (𝜋\n3 + 2𝑥) = 0\n2𝑥+ 𝜋\n3 = 𝜋𝑘\n𝑥= -𝜋\n6 + 𝜋𝑘\n2\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nRozwiązaniami równania 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale [-𝜋 , 𝜋] są\nliczby: (-2𝜋\n3 ), (-𝜋\n6), 𝜋\n3 oraz 5𝜋\n6 .\nSposób V\nPrzekształcamy równanie 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 równoważnie, stosując wzór\nna sinus podwojonego kąta i wzory skróconego mnożenia:\n3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0\n3 cos2 𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2 𝑥= 0\n(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥)\n2 -4 sin2 𝑥= 0\n(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥-2 sin 𝑥)(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥+ 2 sin 𝑥) = 0\n√3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 ∨ √3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0\nRozwiązujemy równanie √3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 w zbiorze ℝ:\n√3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 /: 2\n√3\n2 cos 𝑥-1\n2 sin 𝑥= 0\ncos (𝜋\n6 + 𝑥) = 0\n𝑥+ 𝜋\n6 = 𝜋\n2 + 𝜋𝑘\n𝑥= 𝜋\n3 + 𝜋𝑘\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nStąd rozwiązaniami równania √3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 w przedziale [-𝜋 , 𝜋] są liczby:\n(-2𝜋\n3 ) oraz 𝜋\n3 .\nRozwiązujemy równanie √3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0 w zbiorze ℝ:\n√3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0 /: 2√3\n1\n2 cos 𝑥+ √3\n2 sin 𝑥= 0\nsin (𝜋\n6 + 𝑥) = 0\n𝑥+ 𝜋\n6 = 𝜋𝑘\n𝑥= -𝜋\n6 + 𝜋𝑘\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nStąd rozwiązaniami równania √3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0 w przedziale [-𝜋 , 𝜋] są liczby:\n(-𝜋\n6) oraz 5𝜋\n6 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nOstatecznie rozwiązaniami równania 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale\n[-𝜋 , 𝜋] są liczby: (-2𝜋\n3 ), (-𝜋\n6), 𝜋\n3 oraz 5𝜋\n6 .","solution":"Odpowiedź: $x \\in \\left\\{ -\\dfrac{2\\pi}{3},\\ -\\dfrac{\\pi}{6},\\ \\dfrac{\\pi}{3},\\ \\dfrac{5\\pi}{6} \\right\\}$\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nStrategia\n\nCel: doprowadzić równanie do jednego argumentu (tu: $2x$). Wzory pomocnicze:\n\n- $\\cos^2 x - \\sin^2 x = \\cos(2x)$ (cosinus podwojonego kąta)\n- $\\sin(2x) = 2 \\sin x \\cos x$ (sinus podwojonego)\n\nZgrupuj wyrazy z $\\sin^2$ i $\\cos^2$.\n\n$$3 \\cos^2 x - 3 \\sin^2 x + \\sqrt{3} \\sin(2x) = 0$$\n\n$$3 (\\cos^2 x - \\sin^2 x) + \\sqrt{3} \\sin(2x) = 0$$\n\nZastosuj wzór $\\cos^2 x - \\sin^2 x = \\cos(2x)$.\n\n$$3 \\cos(2x) + \\sqrt{3} \\sin(2x) = 0$$\n\nTeraz wszystko jest w argumencie $2x$ — dużo łatwiej.\n\nPodziel obie strony przez $\\cos(2x)$ (z założeniem $\\cos(2x) \\neq 0$):\n\n$$3 + \\sqrt{3} \\tan(2x) = 0$$\n\n$$\\tan(2x) = -\\frac{3}{\\sqrt{3}} = -\\sqrt{3}$$\n\nSprawdź założenie $\\cos(2x) \\neq 0$. Gdyby $\\cos(2x) = 0$, to z oryginalnego równania $\\sqrt{3} \\sin(2x) = 0$, czyli $\\sin(2x) = 0$. Ale $\\cos^2(2x) + \\sin^2(2x) = 1$ — nie mogą być oba zerowe jednocześnie. Sprzeczność, więc $\\cos(2x) \\neq 0$ ✓ (dzielenie dozwolone).\n\nRozwiąż $\\tan(2x) = -\\sqrt{3}$. Wartość $\\tan \\theta = -\\sqrt{3}$ ma rozwiązania $\\theta = -\\dfrac{\\pi}{3} + k\\pi$, $k \\in \\mathbb{Z}$.\n\n$$2x = -\\frac{\\pi}{3} + k\\pi \\quad\\Rightarrow\\quad x = -\\frac{\\pi}{6} + \\frac{k \\pi}{2}$$\n\nWybierz $x$ z przedziału $[-\\pi, \\pi]$. Sprawdzam kolejne $k$:\n\n- $k = -1$: $x = -\\tfrac{\\pi}{6} - \\tfrac{\\pi}{2} = -\\tfrac{4\\pi}{6} = -\\tfrac{2\\pi}{3}$ ✓\n- $k = 0$: $x = -\\tfrac{\\pi}{6}$ ✓\n- $k = 1$: $x = -\\tfrac{\\pi}{6} + \\tfrac{\\pi}{2} = \\tfrac{2\\pi}{6} = \\tfrac{\\pi}{3}$ ✓\n- $k = 2$: $x = -\\tfrac{\\pi}{6} + \\pi = \\tfrac{5\\pi}{6}$ ✓\n- $k = -2$: $x = -\\tfrac{\\pi}{6} - \\pi = -\\tfrac{7\\pi}{6} < -\\pi$ — poza przedziałem ✗\n- $k = 3$: $x = -\\tfrac{\\pi}{6} + \\tfrac{3\\pi}{2} = \\tfrac{8\\pi}{6} = \\tfrac{4\\pi}{3} > \\pi$ — poza ✗\n\nCztery rozwiązania.\n\nSprawdzenie liczbowe\n\nDla $x = \\tfrac{\\pi}{3}$: $2x = \\tfrac{2\\pi}{3}$, $\\cos(2x) = -\\tfrac{1}{2}$, $\\sin(2x) = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}$.\n\n$$3 \\cos(2x) + \\sqrt{3} \\sin(2x) = 3 \\cdot (-\\tfrac{1}{2}) + \\sqrt{3} \\cdot \\tfrac{\\sqrt{3}}{2} = -\\tfrac{3}{2} + \\tfrac{3}{2} = 0 \\quad✓$$\n\nDla $x = -\\tfrac{\\pi}{6}$: $2x = -\\tfrac{\\pi}{3}$, $\\cos(2x) = \\tfrac{1}{2}$, $\\sin(2x) = -\\tfrac{\\sqrt{3}}{2}$.\n\n$$3 \\cdot \\tfrac{1}{2} + \\sqrt{3} \\cdot (-\\tfrac{\\sqrt{3}}{2}) = \\tfrac{3}{2} - \\tfrac{3}{2} = 0 \\quad✓$$\n\nPunktacja CKE\n\n- 1 pkt — przekształcenie do postaci $3\\cos(2x) + \\sqrt{3} \\sin(2x) = 0$.\n- 2 pkt — sprowadzenie do równania trygonometrycznego elementarnego (np. $\\tan(2x) = -\\sqrt{3}$).\n- 3 pkt — zapisanie ogólnego wzoru rozwiązań w $\\mathbb{R}$ ($x = -\\tfrac{\\pi}{6} + \\tfrac{k\\pi}{2}$).\n- 4 pkt — wybranie co najmniej trzech rozwiązań z $[-\\pi, \\pi]$.\n- 5 pkt — wszystkie cztery rozwiązania.\n\nKlucz uniwersalny\n\nSchemat dla „równanie trygonometryczne z $\\sin^2$, $\\cos^2$, $\\sin(2x)$, $\\cos(2x)$\":\n\n1. Rozpoznaj wzory podwojonego kąta: $\\cos^2 x - \\sin^2 x = \\cos(2x)$, $2\\sin x \\cos x = \\sin(2x)$.\n2. Sprowadź wszystkie wyrazy do argumentu $2x$.\n3. Otrzymujesz równanie liniowe w $\\sin(2x), \\cos(2x)$ — podziel przez jedno z nich (z założeniem) lub użyj wzoru z $R$.\n4. Otrzymujesz $\\tan(2x) = c$ — rozwiąż na $2x$, potem na $x$.\n5. Wybierz rozwiązania z przedziału.\n\nTypowy błąd: Najszybsza droga to dostrzeżenie, że $3\\cos^2 x - 3\\sin^2 x = 3(\\cos^2 x - \\sin^2 x) = 3\\cos(2x)$. Bez tego dostajesz dłuższe rozwiązanie. Druga pułapka: pomylenie znaków przy szukaniu rozwiązań $\\tan(2x) = -\\sqrt{3}$.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/sol-9.svg","topics":"równanie trygonometryczne, wzór na cosinus podwojonego kąta, trygonometria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 9. (0-5)<br>Rozwiąż równanie<br>𝟑𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙+ √𝟑𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙) -𝟑𝐬𝐢𝐧𝟐𝒙= 𝟎<br>w przedziale [-𝝅, 𝝅]. Zapisz obliczenia.<br>9.<br>0-1-<br>2-3-<br>4-5</p>\n<p>MMAP-R0_100</p>\n<p>MMAP-R0_100<br>Rozwiąż równanie 3cos²x + √3sin(2x) - 3sin²x = 0 w przedziale &lt;-π,π&gt;. Zapisz obliczenia.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 9. (0-5)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Stosowanie i tworzenie strategii przy</li></ol>\n<p>rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach<br>nietypowych.<br>Zdający:<br>VII.R6) rozwiązuje równania<br>trygonometryczne.<br>Zasady oceniania (dla sposobów I-III)<br>5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (-2𝜋<br>3 ), (-𝜋<br>6), 𝜋<br>3 , 5𝜋<br>6 .<br>4 pkt - zapisanie założenia cos 𝑥≠0 oraz rozwiązanie alternatywy równań tg 𝑥= √3 lub<br>tg 𝑥= -<br>√3<br>3 w przedziale [-𝜋 , 𝜋]: (-2𝜋<br>3 ), (-𝜋<br>6), 𝜋<br>3 , 5𝜋<br>6 (dla sposobów I oraz III)<br>ALBO</p>\n<ul><li>rozwiązanie jednego z równań alternatywy tg 𝑥= √3 lub tg 𝑥= -</li></ul>\n<p>√3<br>3 , gdzie<br>𝑥≠𝜋<br>2 + 𝜋𝑘 i 𝑘∈ℤ, w przedziale [-𝜋 , 𝜋], np.<br>(-2𝜋<br>3 ) i 𝜋<br>3 (rozwiązania równania tg 𝑥= √3 w przedziale [-𝜋, 𝜋]),<br>(-𝜋</p>\n<ol><li>oraz 5𝜋</li></ol>\n<p>6 (rozwiązania równania tg 𝑥= -<br>√3<br>3 w przedziale [-𝜋, 𝜋]),<br>oraz uzasadnienie, że liczby postaci 𝜋<br>2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ, nie spełniają równania<br>3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0 (dla sposobów I oraz III),<br>ALBO</p>\n<ul><li>rozwiązanie alternatywy równań tg 𝑥= √3 lub tg 𝑥= -</li></ul>\n<p>√3<br>3 w zbiorze ℝ:<br>𝑥= 𝜋<br>3 + 𝜋𝑘 oraz 𝑥= -𝜋<br>6 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ, oraz uzasadnienie, że liczby postaci<br>𝜋<br>2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ, nie spełniają równania<br>3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0 (dla sposobów I oraz III),<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie założenia cos(2𝑥) ≠0 oraz rozwiązanie równania tg(2𝑥) = -√3</li></ul>\n<p>w przedziale [-𝜋, 𝜋]: (-2𝜋<br>3 ), (-𝜋<br>6), 𝜋<br>3 , 5𝜋<br>6 (dla sposobu II),<br>ALBO</p>\n<ul><li>rozwiązanie równania tg(2𝑥) = -√3 w zbiorze ℝ: 𝑥= -𝜋</li></ul>\n<p>6 + 𝜋𝑘<br>2 , gdzie 𝑘∈ℤ,<br>oraz uzasadnienie, że liczby postaci 𝜋<br>4 + 𝜋𝑘<br>2 , gdzie 𝑘∈ℤ, nie spełniają równania<br>3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0 (dla sposobu II).<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>3 pkt - zapisanie założenia cos 𝑥≠0 oraz rozwiązanie alternatywy równań tg 𝑥= √3 lub<br>tg 𝑥= -<br>√3<br>3 w zbiorze ℝ:<br>𝑥= 𝜋<br>3 + 𝜋𝑘 oraz 𝑥= -𝜋<br>6 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ (dla sposobów I oraz III)<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie równania do postaci alternatywy równań tg 𝑥= √3 lub tg 𝑥= -</li></ul>\n<p>√3<br>3<br>oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w przedziale [-𝜋, 𝜋], np.<br>(-2𝜋<br>3 ) i 𝜋<br>3 (rozwiązania równania tg 𝑥= √3 w przedziale [-𝜋, 𝜋]),<br>(-𝜋</p>\n<ol><li>i 5𝜋</li></ol>\n<p>6 (rozwiązania równania tg 𝑥= -<br>√3<br>3 w przedziale [-𝜋, 𝜋]),<br>(dla sposobów I oraz III),<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie równania do postaci alternatywy równań tg 𝑥= √3 lub tg 𝑥= -</li></ul>\n<p>√3<br>3<br>oraz uzasadnienie, że liczby postaci 𝜋<br>2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ, nie spełniają równania<br>3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0 (dla sposobów I oraz III)<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie założenia cos(2𝑥) ≠0 oraz rozwiązanie równania tg(2𝑥) = -√3</li></ul>\n<p>w zbiorze ℝ: 𝑥= -𝜋<br>6 + 𝜋𝑘<br>2 , gdzie 𝑘∈ℤ (dla sposobu II),<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie równania do postaci tg(2𝑥) = -√3 oraz uzasadnienie, że liczby</li></ul>\n<p>postaci 𝜋<br>4 + 𝜋𝑘<br>2 , gdzie 𝑘∈ℤ, nie spełniają równania 3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0<br>(dla sposobu II).<br>2 pkt - przekształcenie równania do alternatywy równań tg 𝑥= √3 lub tg 𝑥= -<br>√3<br>3 (dla<br>sposobów I oraz III)<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie równania do postaci -3 tg2 𝑥+ 2√3 tg 𝑥+ 3 = 0 oraz</li></ul>\n<p>uzasadnienie, że liczby postaci 𝜋<br>2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ, nie spełniają równania<br>3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0 (dla sposobu I),<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie równania do postaci tg(2𝑥) = -√3 (dla sposobu II).</li></ul>\n<p>1 pkt - przekształcenie równania do postaci -3 tg2 𝑥+ 2√3 tg 𝑥+ 3 = 0 (dla sposobu I)<br>ALBO</p>\n<ul><li>zastosowanie wzoru na cosinus podwojonego kąta i zapisanie równania</li></ul>\n<p>3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0 (dla sposobu II),<br>ALBO</p>\n<ul><li>zastosowanie wzoru na sinus podwojonego kąta oraz wzorów skróconego mnożenia</li></ul>\n<p>i przekształcenie równania do postaci<br>(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥-2 sin 𝑥)(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥+ 2 sin 𝑥) = 0 (dla sposobu III),<br>ALBO</p>\n<ul><li>uzasadnienie, że liczby postaci 𝜋</li></ul>\n<p>2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ, nie spełniają równania<br>3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0 (dla sposobów I oraz III).<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Zasady oceniania (dla sposobów IV-V)<br>5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (-2𝜋<br>3 ), (-𝜋<br>6), 𝜋<br>3 , 5𝜋<br>6 .<br>4 pkt - rozwiązanie równania sin (𝜋<br>3 + 2𝑥) = 0 w zbiorze ℝ: 𝑥= -𝜋<br>6 + 𝜋𝑘<br>2 , gdzie 𝑘∈ℤ<br>(dla sposobu IV),<br>ALBO</p>\n<ul><li>rozwiązanie równania cos (𝜋</li></ul>\n<p>6 -2𝑥) = 0 w zbiorze ℝ: 𝑥= -𝜋<br>6 -𝜋𝑘<br>2 , gdzie 𝑘∈ℤ<br>(dla sposobu IV),<br>ALBO</p>\n<ul><li>rozwiązanie obydwu równań alternatywy cos (𝜋</li></ul>\n<p>6 + 𝑥) = 0 lub sin (𝜋<br>6 + 𝑥) = 0<br>w zbiorze ℝ:<br>𝑥= 𝜋<br>3 + 𝜋𝑘 oraz 𝑥= -𝜋<br>6 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ (dla sposobu V),<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie równania do postaci alternatywy równań cos (𝜋</li></ul>\n<p>6 + 𝑥) = 0 lub<br>√3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0 oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy<br>w przedziale [-𝜋, 𝜋], np.<br>(-2𝜋<br>3 ) i 𝜋<br>3 (rozwiązania równania cos (𝜋<br>6 + 𝑥) = 0 w przedziale [-𝜋, 𝜋]),<br>(-𝜋</p>\n<ol><li>oraz 5𝜋</li></ol>\n<p>6 (rozwiązania równania √3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0 w przedziale<br>[-𝜋, 𝜋]),<br>(dla sposobu V),<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie równania do postaci alternatywy równań √3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 lub</li></ul>\n<p>sin (𝜋<br>6 + 𝑥) = 0 oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w przedziale<br>[-𝜋, 𝜋], np.<br>(-2𝜋<br>3 ) i 𝜋<br>3 (rozwiązania równania √3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 w przedziale [-𝜋, 𝜋]),<br>(-𝜋</p>\n<ol><li>oraz 5𝜋</li></ol>\n<p>6 (rozwiązania równania sin (𝜋<br>6 + 𝑥) = 0 w przedziale [-𝜋, 𝜋]),<br>(dla sposobu V).<br>3 pkt - przekształcenie równania do postaci sin (𝜋<br>3 + 2𝑥) = 0 (dla sposobu IV)<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie równania do postaci cos (𝜋</li></ul>\n<p>6 -2𝑥) = 0 (dla sposobu IV),<br>ALBO<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>\n<ul><li>przekształcenie równania do postaci alternatywy równań cos (𝜋</li></ul>\n<p>6 + 𝑥) = 0 lub<br>√3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0 oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy<br>w zbiorze ℝ, np.<br>𝑥= 𝜋<br>3 + 𝜋𝑘 (rozwiązania równania cos (𝜋<br>6 + 𝑥) = 0 w zbiorze ℝ),<br>𝑥= -𝜋<br>6 + 𝜋𝑘 (rozwiązania równania √3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0 w zbiorze ℝ),<br>gdzie 𝑘∈ℤ (dla sposobu V),</p>\n<ul><li>przekształcenie równania do postaci alternatywy równań √3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 lub</li></ul>\n<p>sin (𝜋<br>6 + 𝑥) = 0 oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w zbiorze ℝ,<br>np.<br>𝑥= 𝜋<br>3 + 𝜋𝑘 (rozwiązania równania √3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 w zbiorze ℝ),<br>𝑥= -𝜋<br>6 + 𝜋𝑘 (rozwiązania równania sin (𝜋<br>6 + 𝑥) = 0 w zbiorze ℝ), gdzie 𝑘∈ℤ<br>(dla sposobu V).<br>2 pkt - przekształcenie równania do postaci<br>√3<br>2 cos(2𝑥) + 1<br>2 sin(2𝑥) = 0 (dla sposobu IV)<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie równania do postaci alternatywy równań</li></ul>\n<p>cos (𝜋<br>6 + 𝑥) = 0 lub √3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0 (dla sposobu V),<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie równania do postaci alternatywy równań</li></ul>\n<p>√3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 lub sin (𝜋<br>6 + 𝑥) = 0 (dla sposobu V).<br>1 pkt - zastosowanie wzoru na cosinus podwojonego kąta i zapisanie równania<br>3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0 (dla sposobu IV)<br>ALBO</p>\n<ul><li>zastosowanie wzoru na sinus podwojonego kąta oraz wzorów skróconego mnożenia</li></ul>\n<p>i przekształcenie równania do postaci<br>(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥-2 sin 𝑥)(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥+ 2 sin 𝑥) = 0 (dla sposobu V),<br>ALBO</p>\n<ul><li>zastosowanie wzoru na sinus podwojonego kąta i obliczenie wyróżnika Δ trójmianu</li></ul>\n<p>kwadratowego 3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥 zmiennej np. cos 𝑥:<br>Δ = (4√3 sin 𝑥)<br>2.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:</li></ol>\n<p>a) niepoprawne zastosowanie wzoru na sumę/różnicę cosinusów/sinusów,<br>b) niepoprawne zastosowanie wzoru na iloczyn cosinusów/sinusów,<br>c) błędne zastosowanie nieparzystości/parzystości funkcji trygonometrycznej,<br>ale zdający otrzyma elementarne równania trygonometryczne postaci sin(𝑎𝑥+ 𝑏) = 𝑐,<br>cos(𝑎𝑥+ 𝑏) = 𝑐, gdzie 𝑎≠0, 𝑎2 ≠1, 𝑏≠0, 𝑐∈[-1, 1], i rozwiązanie doprowadzi<br>konsekwentnie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie,<br>o ile nie nabył prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający błędnie stosuje metodę analizy starożytnych, np. podnosi obie strony</li></ol>\n<p>równania 3 cos(2𝑥) = -√3 sin(2𝑥) do kwadratu i nie sprawdza rachunkiem, czy<br>wszystkie otrzymane liczby są rozwiązaniami, to za całe rozwiązanie może otrzymać co<br>najwyżej 3 punkty; natomiast jeżeli odrzuci co najmniej jedno rozwiązanie „obce” (ale nie<br>odrzuci wszystkich rozwiązań „obcych”), to może otrzymać co najwyżej 4 punkty za całe<br>rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający dzieli obie strony równania przez wyrażenie 𝑎(𝑥) zawierające niewiadomą</li></ol>\n<p>𝑥 i nie zapisze założenia 𝑎(𝑥) ≠0, ani też nie rozważa przypadku 𝑎(𝑥) = 0, to może<br>otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I (poprzez sinus podwojonego kąta i tangens)<br>Stosujemy wzory na sinus podwojonego kąta i przekształcamy równanie<br>3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 do postaci<br>3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0<br>Należy rozważyć dwa przypadki.<br>Przypadek 1. (gdy 𝑥≠𝜋<br>2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ).<br>Dzielimy obie strony równania 3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0 przez cos2 𝑥<br>i otrzymujemy<br>3 + 2√3 sin 𝑥<br>cos 𝑥<br>-3sin2𝑥<br>cos2 𝑥= 0<br>3 + 2√3 tg 𝑥-3 tg2 𝑥= 0<br>-3 tg2 𝑥+ 2√3 tg 𝑥+ 3 = 0<br>Δ = (2√3)<br>2 -4 ⋅(-3) ⋅3 = 48<br>tg 𝑥= √3 ∨ tg 𝑥= -√3<br>3<br>Rozwiązaniami równania tg 𝑥= √3 w zbiorze ℝ są wszystkie liczby postaci 𝜋<br>3 + 𝜋𝑘,<br>gdzie 𝑘∈ℤ. Zatem rozwiązaniami tego równania w przedziale [-𝜋 , 𝜋] są liczby<br>(-2𝜋<br>3 ) i 𝜋<br>3 .<br>Rozwiązaniami równania tg 𝑥= -<br>√3<br>3 w zbiorze ℝ są wszystkie liczby postaci -𝜋<br>6 + 𝜋𝑘,<br>gdzie 𝑘∈ℤ. Zatem rozwiązaniami tego równania w przedziale [-𝜋 , 𝜋] są liczby (-𝜋<br>6)<br>oraz 5𝜋<br>6 .<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Przypadek 2. (gdy 𝑥= 𝜋<br>2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ).<br>Ponieważ cos (𝜋<br>2 + 𝜋𝑘) = 0 dla każdego 𝑘∈ℤ oraz sin2 (𝜋<br>2 + 𝜋𝑘) = 1 dla każdego<br>𝑘∈ℤ, więc równanie 3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0 przyjmuje postać<br>3 ⋅02 + 2√3 ⋅sin (𝜋<br>2 + 𝜋𝑘) ⋅0 -3 ⋅1 = 0<br>czyli -3 = 0. To oznacza, że wśród liczb postaci 𝜋<br>2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ, nie ma rozwiązań<br>równania 3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0.<br>Ostatecznie rozwiązaniami równania 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale<br>[-𝜋 , 𝜋] są liczby: (-2𝜋<br>3 ), (-𝜋<br>6), 𝜋<br>3 oraz 5𝜋<br>6 .<br>Sposób II (poprzez cosinus podwojonego kąta i tangens)<br>Stosujemy wzory na cosinus podwojonego kąta i przekształcamy równanie<br>3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 do postaci<br>3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0<br>Należy rozważyć dwa przypadki.<br>Przypadek 1. (gdy 2𝑥≠𝜋<br>2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ).<br>Dzielimy obie strony równania 3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0 przez cos(2𝑥) i otrzymujemy<br>3 + √3 ⋅sin(2𝑥)<br>cos(2𝑥) = 0<br>tg(2𝑥) = -√3<br>2𝑥= -𝜋<br>3 + 𝜋𝑘<br>𝑥= -𝜋<br>6 + 𝜋𝑘<br>2<br>gdzie 𝑘∈ℤ. Stąd otrzymujemy cztery rozwiązania w przedziale [-𝜋 , 𝜋]: (-2𝜋<br>3 ), (-𝜋<br>6), 𝜋<br>3<br>oraz 5𝜋<br>6 .<br>Przypadek 2. (gdy 2𝑥= 𝜋<br>2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ).<br>Ponieważ cos (𝜋<br>2 + 𝜋𝑘) = 0 dla każdego 𝑘∈ℤ, więc równanie<br>3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0 przyjmuje postać<br>3 ⋅0 + √3 ⋅sin (𝜋<br>2 + 𝜋𝑘) = 0<br>i stąd sin (𝜋<br>2 + 𝜋𝑘) = 0, gdzie 𝑘∈ℤ. Korzystając z jedynki trygonometrycznej,<br>otrzymujemy<br>sin2 (𝜋<br>2 + 𝜋𝑘) + cos2 (𝜋<br>2 + 𝜋𝑘) = 1<br>02 + 02 = 1<br>czyli 0 = 1. To oznacza, że wśród liczb postaci 𝜋<br>4 + 𝜋𝑘<br>2 , gdzie 𝑘∈ℤ, nie ma rozwiązań<br>równania 3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0.<br>Ostatecznie rozwiązaniami równania 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale<br>[-𝜋 , 𝜋] są liczby: (-2𝜋<br>3 ), (-𝜋<br>6), 𝜋<br>3 oraz 5𝜋<br>6 .<br>Sposób III<br>Przekształcamy równanie 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 równoważnie, stosując wzór<br>na sinus podwojonego kąta i wzory skróconego mnożenia:<br>3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0<br>3 cos2 𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2 𝑥= 0<br>(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥)<br>2 -4 sin2 𝑥= 0<br>(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥-2 sin 𝑥)(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥+ 2 sin 𝑥) = 0<br>√3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 ∨ √3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0<br>sin 𝑥= √3 cos 𝑥 ∨ sin 𝑥= -√3<br>3 cos 𝑥<br>Przypadek 1. (gdy 𝑥≠𝜋<br>2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ).<br>Dzielimy strony równań alternatywy przez cos 𝑥 i otrzymujemy<br>tg 𝑥= √3 ∨ tg 𝑥= -√3<br>3<br>Rozwiązaniami równania tg 𝑥= √3 w zbiorze ℝ są wszystkie liczby postaci 𝜋<br>3 + 𝜋𝑘,<br>gdzie 𝑘∈ℤ. Zatem rozwiązaniami tego równania w przedziale [-𝜋 , 𝜋] są liczby<br>(-2𝜋<br>3 ) i 𝜋<br>3 .<br>Rozwiązaniami równania tg 𝑥= -<br>√3<br>3 w zbiorze ℝ są wszystkie liczby postaci -𝜋<br>6 + 𝜋𝑘,<br>gdzie 𝑘∈ℤ. Zatem rozwiązaniami alternatywy równań tg 𝑥= √3 lub tg 𝑥= -<br>√3<br>3<br>w przedziale [-𝜋 , 𝜋] są liczby (-𝜋</p>\n<ol><li>oraz 5𝜋</li></ol>\n<p>6 .<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Przypadek 2. (gdy 𝑥= 𝜋<br>2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ).<br>Ponieważ cos (𝜋<br>2 + 𝜋𝑘) = 0, więc równania alternatywy sin 𝑥= √3 cos 𝑥 lub<br>sin 𝑥= -<br>√3<br>3 cos 𝑥 przyjmują postać<br>sin (𝜋<br>2 + 𝜋𝑘) = √3 ⋅0 oraz sin (𝜋<br>2 + 𝜋𝑘) = -√3<br>3 ⋅0<br>i stąd sin (𝜋<br>2 + 𝜋𝑘) = 0, gdzie 𝑘∈ℤ. Korzystając z jedynki trygonometrycznej,<br>otrzymujemy<br>sin2 (𝜋<br>2 + 𝜋𝑘) + cos2 (𝜋<br>2 + 𝜋𝑘) = 1<br>02 + 02 = 1<br>czyli 0 = 1. To oznacza, że wśród liczb postaci 𝜋<br>2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ, nie ma rozwiązań<br>równania sin 𝑥= √3 cos 𝑥 i nie ma rozwiązań równania sin 𝑥= -<br>√3<br>3 cos 𝑥.<br>Ostatecznie rozwiązaniami równania 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale<br>[-𝜋 , 𝜋] są liczby: (-2𝜋<br>3 ), (-𝜋<br>6), 𝜋<br>3 oraz 5𝜋<br>6 .<br>Sposób IV (poprzez cosinus podwojonego kąta i sinus sumy)<br>Przekształcamy równanie 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 równoważnie, stosując wzór<br>na cosinus podwojonego kąta i sinus sumy kątów:<br>3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0<br>3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0 /: 2√3<br>√3<br>2 cos(2𝑥) + 1<br>2 sin(2𝑥) = 0<br>sin (𝜋<br>3 + 2𝑥) = 0<br>2𝑥+ 𝜋<br>3 = 𝜋𝑘<br>𝑥= -𝜋<br>6 + 𝜋𝑘<br>2<br>gdzie 𝑘∈ℤ.<br>Rozwiązaniami równania 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale [-𝜋 , 𝜋] są<br>liczby: (-2𝜋<br>3 ), (-𝜋<br>6), 𝜋<br>3 oraz 5𝜋<br>6 .<br>Sposób V<br>Przekształcamy równanie 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 równoważnie, stosując wzór<br>na sinus podwojonego kąta i wzory skróconego mnożenia:<br>3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0<br>3 cos2 𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2 𝑥= 0<br>(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥)<br>2 -4 sin2 𝑥= 0<br>(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥-2 sin 𝑥)(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥+ 2 sin 𝑥) = 0<br>√3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 ∨ √3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0<br>Rozwiązujemy równanie √3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 w zbiorze ℝ:<br>√3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 /: 2<br>√3<br>2 cos 𝑥-1<br>2 sin 𝑥= 0<br>cos (𝜋<br>6 + 𝑥) = 0<br>𝑥+ 𝜋<br>6 = 𝜋<br>2 + 𝜋𝑘<br>𝑥= 𝜋<br>3 + 𝜋𝑘<br>gdzie 𝑘∈ℤ.<br>Stąd rozwiązaniami równania √3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 w przedziale [-𝜋 , 𝜋] są liczby:<br>(-2𝜋<br>3 ) oraz 𝜋<br>3 .<br>Rozwiązujemy równanie √3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0 w zbiorze ℝ:<br>√3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0 /: 2√3<br>1<br>2 cos 𝑥+ √3<br>2 sin 𝑥= 0<br>sin (𝜋<br>6 + 𝑥) = 0<br>𝑥+ 𝜋<br>6 = 𝜋𝑘<br>𝑥= -𝜋<br>6 + 𝜋𝑘<br>gdzie 𝑘∈ℤ.<br>Stąd rozwiązaniami równania √3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0 w przedziale [-𝜋 , 𝜋] są liczby:<br>(-𝜋</p>\n<ol><li>oraz 5𝜋</li></ol>\n<p>6 .<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Ostatecznie rozwiązaniami równania 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale<br>[-𝜋 , 𝜋] są liczby: (-2𝜋<br>3 ), (-𝜋<br>6), 𝜋<br>3 oraz 5𝜋<br>6 .</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/sol-9.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: $x \\in \\left\\{ -\\dfrac{2\\pi}{3},\\ -\\dfrac{\\pi}{6},\\ \\dfrac{\\pi}{3},\\ \\dfrac{5\\pi}{6} \\right\\}$</p>\n<p>Strona arkusza CKE z tym zadaniem</p>\n<p>Strategia</p>\n<p>Cel: doprowadzić równanie do jednego argumentu (tu: $2x$). Wzory pomocnicze:</p>\n<ul><li>$\\cos^2 x - \\sin^2 x = \\cos(2x)$ (cosinus podwojonego kąta)</li><li>$\\sin(2x) = 2 \\sin x \\cos x$ (sinus podwojonego)</li></ul>\n<p>Zgrupuj wyrazy z $\\sin^2$ i $\\cos^2$.</p>\n<p>$$3 \\cos^2 x - 3 \\sin^2 x + \\sqrt{3} \\sin(2x) = 0$$</p>\n<p>$$3 (\\cos^2 x - \\sin^2 x) + \\sqrt{3} \\sin(2x) = 0$$</p>\n<p>Zastosuj wzór $\\cos^2 x - \\sin^2 x = \\cos(2x)$.</p>\n<p>$$3 \\cos(2x) + \\sqrt{3} \\sin(2x) = 0$$</p>\n<p>Teraz wszystko jest w argumencie $2x$ — dużo łatwiej.</p>\n<p>Podziel obie strony przez $\\cos(2x)$ (z założeniem $\\cos(2x) \\neq 0$):</p>\n<p>$$3 + \\sqrt{3} \\tan(2x) = 0$$</p>\n<p>$$\\tan(2x) = -\\frac{3}{\\sqrt{3}} = -\\sqrt{3}$$</p>\n<p>Sprawdź założenie $\\cos(2x) \\neq 0$. Gdyby $\\cos(2x) = 0$, to z oryginalnego równania $\\sqrt{3} \\sin(2x) = 0$, czyli $\\sin(2x) = 0$. Ale $\\cos^2(2x) + \\sin^2(2x) = 1$ — nie mogą być oba zerowe jednocześnie. Sprzeczność, więc $\\cos(2x) \\neq 0$ ✓ (dzielenie dozwolone).</p>\n<p>Rozwiąż $\\tan(2x) = -\\sqrt{3}$. Wartość $\\tan \\theta = -\\sqrt{3}$ ma rozwiązania $\\theta = -\\dfrac{\\pi}{3} + k\\pi$, $k \\in \\mathbb{Z}$.</p>\n<p>$$2x = -\\frac{\\pi}{3} + k\\pi \\quad\\Rightarrow\\quad x = -\\frac{\\pi}{6} + \\frac{k \\pi}{2}$$</p>\n<p>Wybierz $x$ z przedziału $[-\\pi, \\pi]$. Sprawdzam kolejne $k$:</p>\n<ul><li>$k = -1$: $x = -\\tfrac{\\pi}{6} - \\tfrac{\\pi}{2} = -\\tfrac{4\\pi}{6} = -\\tfrac{2\\pi}{3}$ ✓</li><li>$k = 0$: $x = -\\tfrac{\\pi}{6}$ ✓</li><li>$k = 1$: $x = -\\tfrac{\\pi}{6} + \\tfrac{\\pi}{2} = \\tfrac{2\\pi}{6} = \\tfrac{\\pi}{3}$ ✓</li><li>$k = 2$: $x = -\\tfrac{\\pi}{6} + \\pi = \\tfrac{5\\pi}{6}$ ✓</li><li>$k = -2$: $x = -\\tfrac{\\pi}{6} - \\pi = -\\tfrac{7\\pi}{6} &lt; -\\pi$ — poza przedziałem ✗</li><li>$k = 3$: $x = -\\tfrac{\\pi}{6} + \\tfrac{3\\pi}{2} = \\tfrac{8\\pi}{6} = \\tfrac{4\\pi}{3} &gt; \\pi$ — poza ✗</li></ul>\n<p>Cztery rozwiązania.</p>\n<p>Sprawdzenie liczbowe</p>\n<p>Dla $x = \\tfrac{\\pi}{3}$: $2x = \\tfrac{2\\pi}{3}$, $\\cos(2x) = -\\tfrac{1}{2}$, $\\sin(2x) = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}$.</p>\n<p>$$3 \\cos(2x) + \\sqrt{3} \\sin(2x) = 3 \\cdot (-\\tfrac{1}{2}) + \\sqrt{3} \\cdot \\tfrac{\\sqrt{3}}{2} = -\\tfrac{3}{2} + \\tfrac{3}{2} = 0 \\quad✓$$</p>\n<p>Dla $x = -\\tfrac{\\pi}{6}$: $2x = -\\tfrac{\\pi}{3}$, $\\cos(2x) = \\tfrac{1}{2}$, $\\sin(2x) = -\\tfrac{\\sqrt{3}}{2}$.</p>\n<p>$$3 \\cdot \\tfrac{1}{2} + \\sqrt{3} \\cdot (-\\tfrac{\\sqrt{3}}{2}) = \\tfrac{3}{2} - \\tfrac{3}{2} = 0 \\quad✓$$</p>\n<p>Punktacja CKE</p>\n<ul><li>1 pkt — przekształcenie do postaci $3\\cos(2x) + \\sqrt{3} \\sin(2x) = 0$.</li><li>2 pkt — sprowadzenie do równania trygonometrycznego elementarnego (np. $\\tan(2x) = -\\sqrt{3}$).</li><li>3 pkt — zapisanie ogólnego wzoru rozwiązań w $\\mathbb{R}$ ($x = -\\tfrac{\\pi}{6} + \\tfrac{k\\pi}{2}$).</li><li>4 pkt — wybranie co najmniej trzech rozwiązań z $[-\\pi, \\pi]$.</li><li>5 pkt — wszystkie cztery rozwiązania.</li></ul>\n<p>Klucz uniwersalny</p>\n<p>Schemat dla „równanie trygonometryczne z $\\sin^2$, $\\cos^2$, $\\sin(2x)$, $\\cos(2x)$&quot;:</p>\n<ol><li>Rozpoznaj wzory podwojonego kąta: $\\cos^2 x - \\sin^2 x = \\cos(2x)$, $2\\sin x \\cos x = \\sin(2x)$.</li><li>Sprowadź wszystkie wyrazy do argumentu $2x$.</li><li>Otrzymujesz równanie liniowe w $\\sin(2x), \\cos(2x)$ — podziel przez jedno z nich (z założeniem) lub użyj wzoru z $R$.</li><li>Otrzymujesz $\\tan(2x) = c$ — rozwiąż na $2x$, potem na $x$.</li><li>Wybierz rozwiązania z przedziału.</li></ol>\n<p>Typowy błąd: Najszybsza droga to dostrzeżenie, że $3\\cos^2 x - 3\\sin^2 x = 3(\\cos^2 x - \\sin^2 x) = 3\\cos(2x)$. Bez tego dostajesz dłuższe rozwiązanie. Druga pułapka: pomylenie znaków przy szukaniu rozwiązań $\\tan(2x) = -\\sqrt{3}$.</p>"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\left\\{-\\dfrac{2\\pi}{3},\\ -\\dfrac{\\pi}{6},\\ \\dfrac{\\pi}{3},\\ \\dfrac{5\\pi}{6}\\right\\}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - sprowadzenie do tangensa podwójnego kąta</h4>\n<p><strong>Krok 1: Zauważamy wzory na funkcje podwojonego kąta</strong></p>\n<p>W wyrażeniu mamy trzy składniki. Patrząc na pierwsze i trzecie:<br>\\[<br>3\\cos^2 x - 3\\sin^2 x = 3(\\cos^2 x - \\sin^2 x) = 3\\cos(2x)<br>\\]<br>Drugi składnik to gotowy wzór: \\(\\sin(2x) = 2\\sin x \\cos x\\), więc \\(\\sqrt{3}\\sin(2x)\\) zostawiamy.</p>\n<p><strong>Krok 2: Przepisujemy równanie</strong></p>\n<p>\\[<br>3\\cos(2x) + \\sqrt{3}\\sin(2x) = 0<br>\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Dzielimy przez \\(\\cos(2x)\\)</strong></p>\n<p>Sprawdzamy, czy \\(\\cos(2x) = 0\\) może być rozwiązaniem. Jeśli \\(\\cos(2x) = 0\\), to \\(\\sin(2x) \\neq 0\\) (bo \\(\\sin^2 + \\cos^2 = 1\\)), więc wtedy \\(\\sqrt{3}\\sin(2x) \\neq 0\\) - <strong>nie jest rozwiązaniem</strong>. Możemy bezpiecznie dzielić:</p>\n<p>\\[<br>\\frac{3\\cos(2x)}{\\cos(2x)} + \\frac{\\sqrt{3}\\sin(2x)}{\\cos(2x)} = 0<br>\\]<br>\\[<br>3 + \\sqrt{3}\\operatorname{tg}(2x) = 0<br>\\]<br>\\[<br>\\operatorname{tg}(2x) = -\\frac{3}{\\sqrt{3}} = -\\sqrt{3}<br>\\]</p>\n<p><strong>Krok 4: Rozwiązujemy równanie tangensowe</strong></p>\n<p>Wiemy, że \\(\\operatorname{tg}\\dfrac{\\pi}{3} = \\sqrt{3}\\), a tangens jest ujemny, więc:<br>\\[<br>2x = -\\frac{\\pi}{3} + k\\pi, \\quad k \\in \\mathbb{Z}<br>\\]<br>\\[<br>x = -\\frac{\\pi}{6} + \\frac{k\\pi}{2}, \\quad k \\in \\mathbb{Z}<br>\\]</p>\n<p><strong>Krok 5: Wyznaczamy rozwiązania w przedziale \\([-\\pi, \\pi]\\)</strong></p>\n<p>| \\(k\\) | \\(x = -\\dfrac{\\pi}{6} + \\dfrac{k\\pi}{2}\\) | Czy \\(x \\in [-\\pi, \\pi]\\)? |<br>| \\(-2\\) | \\(-\\dfrac{\\pi}{6} - \\pi = -\\dfrac{7\\pi}{6} \\approx -3{,}67\\) | ✗ (poza przedziałem) |<br>| \\(-1\\) | \\(-\\dfrac{\\pi}{6} - \\dfrac{\\pi}{2} = -\\dfrac{2\\pi}{3}\\) | ✓ |<br>| \\(0\\) | \\(-\\dfrac{\\pi}{6}\\) | ✓ |<br>| \\(1\\) | \\(-\\dfrac{\\pi}{6} + \\dfrac{\\pi}{2} = \\dfrac{\\pi}{3}\\) | ✓ |<br>| \\(2\\) | \\(-\\dfrac{\\pi}{6} + \\pi = \\dfrac{5\\pi}{6}\\) | ✓ |<br>| \\(3\\) | \\(-\\dfrac{\\pi}{6} + \\dfrac{3\\pi}{2} = \\dfrac{4\\pi}{3} \\approx 4{,}19\\) | ✗ (poza przedziałem) |</p>\n<p><strong>Wynik:</strong><br>\\[<br>\\boxed{x \\in \\left\\{-\\frac{2\\pi}{3},\\ -\\frac{\\pi}{6},\\ \\frac{\\pi}{3},\\ \\frac{5\\pi}{6}\\right\\}}<br>\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - zamiana na sinus sumy (postać harmoniczna)</h4>\n<p>Po sprowadzeniu do \\(3\\cos(2x) + \\sqrt{3}\\sin(2x) = 0\\) możemy zapisać lewą stronę w postaci \\(R\\sin(2x + \\varphi)\\).</p>\n<p><strong>Krok 1: Szukamy \\(R\\) i \\(\\varphi\\)</strong></p>\n<p>\\[<br>R\\sin(2x + \\varphi) = R\\sin(2x)\\cos\\varphi + R\\cos(2x)\\sin\\varphi<br>\\]</p>\n<p>Porównujemy:<br>\\[<br>R\\cos\\varphi = \\sqrt{3}, \\quad R\\sin\\varphi = 3<br>\\]<br>\\[<br>R = \\sqrt{(\\sqrt{3})^2 + 3^2} = \\sqrt{3 + 9} = \\sqrt{12} = 2\\sqrt{3}<br>\\]<br>\\[<br>\\operatorname{tg}\\varphi = \\frac{3}{\\sqrt{3}} = \\sqrt{3} \\implies \\varphi = \\frac{\\pi}{3}<br>\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Przepisujemy równanie</strong></p>\n<p>\\[<br>2\\sqrt{3}\\,\\sin\\!\\left(2x + \\frac{\\pi}{3}\\right) = 0<br>\\]<br>\\[<br>\\sin\\!\\left(2x + \\frac{\\pi}{3}\\right) = 0<br>\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Rozwiązujemy</strong></p>\n<p>\\[<br>2x + \\frac{\\pi}{3} = k\\pi \\implies 2x = -\\frac{\\pi}{3} + k\\pi \\implies x = -\\frac{\\pi}{6} + \\frac{k\\pi}{2}<br>\\]</p>\n<p>Identyczny wzór ogólny - te same cztery rozwiązania w przedziale \\([-\\pi, \\pi]\\). ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)</strong> - funkcje podwojonego kąta:<br>\\[<br>\\cos(2x) = \\cos^2 x - \\sin^2 x, \\qquad \\sin(2x) = 2\\sin x\\cos x<br>\\]<br>Użyliśmy w Kroku 1 obu sposobów do przekształcenia lewej strony równania.</p>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)</strong> - wartości funkcji dla wybranych kątów:<br>\\[<br>\\operatorname{tg}\\frac{\\pi}{3} = \\sqrt{3}<br>\\]<br>Pozwoliło nam od razu odczytać, że \\(\\operatorname{tg}(2x) = -\\sqrt{3}\\) odpowiada kątowi \\(-\\dfrac{\\pi}{3}\\).</p>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)</strong> - okresowość tangensa:<br>\\[<br>\\operatorname{tg}(\\alpha + k\\cdot 180°) = \\operatorname{tg}\\alpha<br>\\]<br>czyli \\(\\operatorname{tg}(2x) = -\\sqrt{3} \\implies 2x = -\\dfrac{\\pi}{3} + k\\pi\\).</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd to brak uproszczenia \\(3\\cos^2 x - 3\\sin^2 x\\) do \\(3\\cos(2x)\\). Uczniowie próbują rozwiązywać równanie z \\(\\sin^2 x\\) i \\(\\cos^2 x\\) osobno, co bardzo komplikuje rachunki.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy dzieleniu przez \\(\\cos(2x)\\) <strong>trzeba sprawdzić</strong>, czy \\(\\cos(2x) = 0\\) nie jest rozwiązaniem. Jeśli pominiesz ten krok, na egzaminie możesz stracić punkt za brak uzasadnienia.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzór ogólny daje \\(x = -\\dfrac{\\pi}{6} + \\dfrac{k\\pi}{2}\\) - skok co \\(\\dfrac{\\pi}{2}\\), <strong>nie</strong> co \\(\\pi\\)! Wynika to z tego, że rozwiązujemy równanie dla argumentu \\(2x\\), a potem dzielimy przez 2. Łatwo zapomnieć o tym podzieleniu i stracić połowę rozwiązań.</blockquote>\n<h5>Sposób I (przez \\(\\sin(2x)=2\\sin x\\cos x\\) i tangens)</h5>\n<p>Korzystamy ze wzoru \\(\\sin(2x)=2\\sin x\\cos x\\):<br>\\[3\\cos^{2}x+2\\sqrt{3}\\sin x\\cos x-3\\sin^{2}x=0\\]</p>\n<p><strong>Przypadek 1:</strong> \\(\\cos x\\neq 0\\), tj. \\(x\\neq \\tfrac{\\pi}{2}+k\\pi\\). Dzielimy przez \\(\\cos^{2}x\\):<br>\\[3+2\\sqrt{3}\\cdot\\tfrac{\\sin x}{\\cos x}-3\\cdot\\tfrac{\\sin^{2}x}{\\cos^{2}x}=0\\]<br>\\[3+2\\sqrt{3}\\,\\text{tg}\\,x-3\\,\\text{tg}^{2}x=0\\]<br>\\[-3\\,\\text{tg}^{2}x+2\\sqrt{3}\\,\\text{tg}\\,x+3=0\\quad /\\cdot(-1)\\]<br>\\[3\\,\\text{tg}^{2}x-2\\sqrt{3}\\,\\text{tg}\\,x-3=0\\]<br>\\[\\Delta=(2\\sqrt{3})^{2}+4\\cdot 3\\cdot 3=12+36=48,\\quad \\sqrt{\\Delta}=4\\sqrt{3}\\]<br>\\[\\text{tg}\\,x=\\tfrac{2\\sqrt{3}-4\\sqrt{3}}{6}=-\\tfrac{\\sqrt{3}}{3}\\quad\\lor\\quad \\text{tg}\\,x=\\tfrac{2\\sqrt{3}+4\\sqrt{3}}{6}=\\sqrt{3}\\]</p>\n<p><strong>Rozwiązania w \\([-\\pi,\\pi]\\):</strong></p>\n<ul><li>\\(\\text{tg}\\,x=\\sqrt{3}\\): \\(x=\\tfrac{\\pi}{3}+k\\pi\\), stąd \\(x\\in\\left\\{-\\tfrac{2\\pi}{3},\\tfrac{\\pi}{3}\\right\\}\\).</li><li>\\(\\text{tg}\\,x=-\\tfrac{\\sqrt{3}}{3}\\): \\(x=-\\tfrac{\\pi}{6}+k\\pi\\), stąd \\(x\\in\\left\\{-\\tfrac{\\pi}{6},\\tfrac{5\\pi}{6}\\right\\}\\).</li></ul>\n<p><strong>Przypadek 2:</strong> \\(x=\\tfrac{\\pi}{2}+k\\pi\\). Wtedy \\(\\cos x=0,\\sin^{2}x=1\\), lewa strona \\(=0+0-3=-3\\neq 0\\). Brak rozwiązań.</p>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> \\(x\\in\\left\\{-\\tfrac{2\\pi}{3},-\\tfrac{\\pi}{6},\\tfrac{\\pi}{3},\\tfrac{5\\pi}{6}\\right\\}\\).</p>\n<h5>Sposób II (przez wzór na \\(\\cos(2x)\\) i \\(\\text{tg}(2x)\\))</h5>\n<p>Korzystamy z \\(\\cos(2x)=\\cos^{2}x-\\sin^{2}x\\), więc \\(3\\cos^{2}x-3\\sin^{2}x=3\\cos(2x)\\). Równanie:<br>\\[3\\cos(2x)+\\sqrt{3}\\sin(2x)=0\\]</p>\n<p><strong>Przypadek 1:</strong> \\(\\cos(2x)\\neq 0\\), dzielimy przez \\(\\cos(2x)\\):<br>\\[3+\\sqrt{3}\\,\\text{tg}(2x)=0\\Rightarrow \\text{tg}(2x)=-\\sqrt{3}\\Rightarrow 2x=-\\tfrac{\\pi}{3}+k\\pi\\Rightarrow x=-\\tfrac{\\pi}{6}+\\tfrac{k\\pi}{2}\\]<br>Dla \\(k\\in\\{-1,0,1,2\\}\\): \\(x=-\\tfrac{2\\pi}{3},-\\tfrac{\\pi}{6},\\tfrac{\\pi}{3},\\tfrac{5\\pi}{6}\\).</p>\n<p><strong>Przypadek 2:</strong> \\(2x=\\tfrac{\\pi}{2}+k\\pi\\) sprawdzamy: \\(\\cos(2x)=0\\), \\(\\sin(2x)=\\pm 1\\), lewa strona \\(=0\\pm\\sqrt{3}\\neq 0\\). Brak rozwiązań.</p>\n<h5>Sposób III (cosinus sumy / sinus sumy - skrótowo)</h5>\n<p>Dzielimy \\(3\\cos(2x)+\\sqrt{3}\\sin(2x)=0\\) przez \\(2\\sqrt{3}\\):<br>\\[\\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\cos(2x)+\\tfrac{1}{2}\\sin(2x)=0\\Rightarrow \\sin\\left(\\tfrac{\\pi}{3}+2x\\right)=0\\]<br>\\[\\tfrac{\\pi}{3}+2x=k\\pi\\Rightarrow x=-\\tfrac{\\pi}{6}+\\tfrac{k\\pi}{2}\\]<br>Te same 4 rozwiązania.</p>\n<h5>Karta wzorów CKE</h5>\n<ul><li>\\(\\sin(2x)=2\\sin x\\cos x\\), \\(\\cos(2x)=\\cos^{2}x-\\sin^{2}x\\) (str. 7).</li><li>\\(\\sin\\alpha\\cos\\beta+\\cos\\alpha\\sin\\beta=\\sin(\\alpha+\\beta)\\) (str. 7).</li><li>\\(\\sin^{2}x+\\cos^{2}x=1\\) (jedynka trygonometryczna, str. 7).</li></ul>\n<h5>Uwagi o punktacji</h5>\n<ul><li><strong>5 pkt</strong> - wszystkie cztery rozwiązania.</li><li><strong>4 pkt</strong> - rozwiązanie \\(\\text{tg}\\,x=\\sqrt{3}\\) lub \\(\\text{tg}\\,x=-\\tfrac{\\sqrt{3}}{3}\\) w przedziale plus uzasadnienie pominięcia \\(\\cos x=0\\).</li><li><strong>3 pkt</strong> - zapisanie założenia i rozwiązanie tangensa w \\(\\mathbb{R}\\).</li><li><strong>2 pkt</strong> - przekształcenie do równania z tangensem.</li><li><strong>1 pkt</strong> - zastosowanie wzoru \\(\\sin(2x)=2\\sin x\\cos x\\).</li><li><strong>Uwaga:</strong> Jeśli zdający dzieli obie strony przez \\(a(x)\\) bez założenia \\(a(x)\\neq 0\\) - max. <strong>3 pkt</strong>.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Zauważ, że \\(3\\cos^{2}x-3\\sin^{2}x=3\\cos(2x)\\) - wtedy wszystko sprowadza się do \\(\\sqrt{3}\\sin(2x)+3\\cos(2x)=0\\), czyli \\(\\text{tg}(2x)=-\\sqrt{3}\\). Dalej jedna równość - 4 rozwiązania w pół kroku.</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$-\\dfrac{2\\pi}{3}, -\\dfrac{\\pi}{6}, \\dfrac{\\pi}{3}, \\dfrac{5\\pi}{6}$</p>"}]}