{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nFunkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = (3 -𝑚)𝑥-4.\nFunkcja 𝑓 nie ma miejsca zerowego dla 𝑚 równego\nA. (-3)\nB. 0\nC. 3\nD. 4","answer":"C","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n4.6) wyznacza wzór funkcji liniowej na\npodstawie informacji o funkcji lub o jej\nwykresie;\n4.7) interpretuje współczynniki występujące\nwe wzorze funkcji liniowej.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"Odpowiedź: $x \\in \\left(\\dfrac{1}{3},\\ \\dfrac{3}{2}\\right)$\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nStrategia\n\nTrójmian kwadratowy → przenieś wszystko na lewo, oblicz $\\Delta$, znajdź miejsca zerowe, naszkicuj wykres, odczytaj przedziały dla danego znaku nierówności.\n\nDoprowadź do postaci $ax^2 + bx + c < 0$. Rozwiń lewą stronę i przenieś wszystko na lewo:\n\n$$3(2x^2 + 1) < 11x$$\n\n$$6x^2 + 3 < 11x$$\n\n$$6x^2 - 11x + 3 < 0$$\n\nOblicz wyróżnik trójmianu $6x^2 - 11x + 3$:\n\n$$\\Delta = (-11)^2 - 4 \\cdot 6 \\cdot 3 = 121 - 72 = 49$$\n\n$$\\sqrt{\\Delta} = 7$$\n\nZnajdź miejsca zerowe.\n\n$$x_1 = \\frac{-(-11) - 7}{2 \\cdot 6} = \\frac{11 - 7}{12} = \\frac{4}{12} = \\frac{1}{3}$$\n\n$$x_2 = \\frac{-(-11) + 7}{2 \\cdot 6} = \\frac{11 + 7}{12} = \\frac{18}{12} = \\frac{3}{2}$$\n\nWybierz przedział dla nierówności $< 0$. Współczynnik przy $x^2$ to dodatni ($6 > 0$), więc parabola otwiera się do góry. Trójmian jest ujemny między miejscami zerowymi:\n\n$$x \\in \\left(\\frac{1}{3},\\ \\frac{3}{2}\\right)$$\n\nKońce otwarte, bo nierówność jest ostra ($<$, nie $\\leq$).\n\nPunktacja CKE\n\n- 1 pkt — obliczenie pierwiastków trójmianu $6x^2 - 11x + 3$: $x_1 = \\tfrac{1}{3}$, $x_2 = \\tfrac{3}{2}$.\n- 2 pkt — pełne rozwiązanie + zbiór $x \\in (\\tfrac{1}{3}, \\tfrac{3}{2})$.\n\nTypowy błąd: CKE wprost: jeśli zapiszesz zbiór rozwiązań w nieprawidłowej kolejności końców przedziału (np. $(\\tfrac{3}{2}, \\tfrac{1}{3})$) — dostajesz 2 pkt mimo wszystko (uwzględnienie trudności specyficznych). Ale jeśli pomylisz znak nierówności (np. $\\geq 0$ zamiast $< 0$) — 0 punktów.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"nierówności kwadratowe","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 10. (0-1)<br>Funkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = (3 -𝑚)𝑥-4.<br>Funkcja 𝑓 nie ma miejsca zerowego dla 𝑚 równego<br>A. (-3)<br>B. 0<br>C. 3<br>D. 4</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 10. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.<br>Zdający:<br>4.6) wyznacza wzór funkcji liniowej na<br>podstawie informacji o funkcji lub o jej<br>wykresie;<br>4.7) interpretuje współczynniki występujące<br>we wzorze funkcji liniowej.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>C</p>","solutions":[{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: $x \\in \\left(\\dfrac{1}{3},\\ \\dfrac{3}{2}\\right)$</p>\n<p>Strona arkusza CKE z tym zadaniem</p>\n<p>Strategia</p>\n<p>Trójmian kwadratowy → przenieś wszystko na lewo, oblicz $\\Delta$, znajdź miejsca zerowe, naszkicuj wykres, odczytaj przedziały dla danego znaku nierówności.</p>\n<p>Doprowadź do postaci $ax^2 + bx + c &lt; 0$. Rozwiń lewą stronę i przenieś wszystko na lewo:</p>\n<p>$$3(2x^2 + 1) &lt; 11x$$</p>\n<p>$$6x^2 + 3 &lt; 11x$$</p>\n<p>$$6x^2 - 11x + 3 &lt; 0$$</p>\n<p>Oblicz wyróżnik trójmianu $6x^2 - 11x + 3$:</p>\n<p>$$\\Delta = (-11)^2 - 4 \\cdot 6 \\cdot 3 = 121 - 72 = 49$$</p>\n<p>$$\\sqrt{\\Delta} = 7$$</p>\n<p>Znajdź miejsca zerowe.</p>\n<p>$$x_1 = \\frac{-(-11) - 7}{2 \\cdot 6} = \\frac{11 - 7}{12} = \\frac{4}{12} = \\frac{1}{3}$$</p>\n<p>$$x_2 = \\frac{-(-11) + 7}{2 \\cdot 6} = \\frac{11 + 7}{12} = \\frac{18}{12} = \\frac{3}{2}$$</p>\n<p>Wybierz przedział dla nierówności $&lt; 0$. Współczynnik przy $x^2$ to dodatni ($6 &gt; 0$), więc parabola otwiera się do góry. Trójmian jest ujemny między miejscami zerowymi:</p>\n<p>$$x \\in \\left(\\frac{1}{3},\\ \\frac{3}{2}\\right)$$</p>\n<p>Końce otwarte, bo nierówność jest ostra ($&lt;$, nie $\\leq$).</p>\n<p>Punktacja CKE</p>\n<ul><li>1 pkt — obliczenie pierwiastków trójmianu $6x^2 - 11x + 3$: $x_1 = \\tfrac{1}{3}$, $x_2 = \\tfrac{3}{2}$.</li><li>2 pkt — pełne rozwiązanie + zbiór $x \\in (\\tfrac{1}{3}, \\tfrac{3}{2})$.</li></ul>\n<p>Typowy błąd: CKE wprost: jeśli zapiszesz zbiór rozwiązań w nieprawidłowej kolejności końców przedziału (np. $(\\tfrac{3}{2}, \\tfrac{1}{3})$) — dostajesz 2 pkt mimo wszystko (uwzględnienie trudności specyficznych). Ale jeśli pomylisz znak nierówności (np. $\\geq 0$ zamiast $&lt; 0$) — 0 punktów.</p>"}]}