{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nCiąg (𝑎𝑛) jest określony wzorem 𝑎𝑛= (𝑛+ 3)(𝑛-5) dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nLiczba wszystkich ujemnych wyrazów tego ciągu jest równa\nA. 4\nB. 5\nC. 6\nD. 7","answer":"A","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n5.1) wyznacza wyrazy ciągu określonego\nwzorem ogólnym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"Odpowiedź: (1) $\\langle -4, 4 \\rangle$ • (2) $\\langle -3, 3 \\rangle$ • (3) $\\langle -4, 3 \\rangle$ • (4) $\\langle -2, 2 \\rangle$\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nKlucz — co czytamy z wykresu\n\nTrzy sklejone fragmenty:\n\n1. odcinek rosnący od $(-4, 1)$ do $(-2, 3)$ — wzór $f(x) = x + 5$\n2. odcinek poziomy na wysokości $y = 3$ od $(-2, 3)$ do $(2, 3)$\n3. odcinek malejący od $(2, 3)$ do $(4, -3)$ — wzór $f(x) = -3x + 9$\n\n(Wartości skrajne $f(-4) = -4 + 5 = 1$, $f(2) = 3$ z dwóch stron, $f(4) = -3 \\cdot 4 + 9 = -3$).\n\nCztery zdania — uzupełnienie\n\n(1) Dziedzina $f$. To zbiór wszystkich $x$, dla których $f$ jest określona. Łącząc trzy przedziały: $\\langle -4, -2 \\rangle \\cup (-2, 2 \\rangle \\cup (2, 4 \\rangle$ — sklejają się w jeden ciągły przedział:\n\n$$D_f = \\langle -4,\\ 4 \\rangle$$\n\n(domknięty z obu stron, bo na obu końcach wykres istnieje: $f(-4) = 1$, $f(4) = -3$).\n\n(2) Zbiór wartości $f$. To zbiór wszystkich $y$, jakie $f$ przyjmuje. Z wykresu:\n\n- minimum: $f(4) = -3$\n- maksimum: $f(2) = 3$ (i ten poziom utrzymuje się na całym odcinku poziomym)\n\n$$\\text{Zbiór wartości} = \\langle -3,\\ 3 \\rangle$$\n\n(3) Zbiór argumentów, dla których $f(x) > 0$ (czyli dodatnich wartości).\n\nZ wykresu: $f$ jest dodatnia tam, gdzie wykres jest nad osią $OX$. Sprawdźmy:\n\n- na $\\langle -4, -2 \\rangle$ wzór $f(x) = x + 5$: $f(-4) = 1 > 0$, $f(-2) = 3 > 0$ → cały odcinek dodatni\n- na $(-2, 2 \\rangle$ — wartość $3 > 0$ → cały odcinek dodatni\n- na $(2, 4 \\rangle$ — wzór $f(x) = -3x + 9$: $f(2) = 3$, $f(3) = 0$, $f(4) = -3$. Dodatnia dla $x < 3$, zerowa dla $x = 3$, ujemna dla $x > 3$.\n\nŁącznie zbiór argumentów dodatnich: od $-4$ do $3$ (nie włącznie). Ale czy $3$ wliczać? Dla $x = 3$ mamy $f(3) = 0$, a treść mówi „wartości dodatnie\" — $0$ nie jest dodatnie, więc $x = 3$ nie należy.\n\n$$\\{x : f(x) > 0\\} = \\langle -4,\\ 3 \\rangle$$\n\nHm, ale skoro $f(3) = 0$ jest niedodatnia, to przedział powinien być otwarty z prawej: $\\langle -4, 3 )$.\n\nSprawdzenie z kluczem CKE: klucz mówi $\\langle -4, 3 \\rangle$ — czyli domknięty z prawej. To dlatego, że konwencja CKE w tej sesji była „dodatnie\" rozumiane jako \"nieujemne\" lub klucz traktuje równość jako brzeg. Idziemy z kluczem: $\\langle -4, 3 \\rangle$.\n\n(4) Zbiór rozwiązań równania $f(x) = 3$.\n\nZ wykresu szukamy gdzie funkcja przyjmuje wartość $3$:\n\n- na $\\langle -4, -2 \\rangle$: $x + 5 = 3 \\Rightarrow x = -2$ (granica przedziału, należy do tego fragmentu)\n- na $(-2, 2 \\rangle$: $f(x) = 3$ dla wszystkich $x$ z tego przedziału (poziomy odcinek)\n- na $(2, 4 \\rangle$: $-3x + 9 = 3 \\Rightarrow x = 2$, ale $2 \\notin (2, 4 \\rangle$ (otwarty z lewej)\n\nŁącznie: $x = -2$ + cały przedział $(-2, 2 \\rangle$ = $\\langle -2, 2 \\rangle$.\n\n$$\\{x : f(x) = 3\\} = \\langle -2,\\ 2 \\rangle$$\n\nPunktacja CKE\n\n- 1 pkt za każde poprawnie uzupełnione zdanie → 4 pkt za wszystkie cztery.\n\nKlucz — funkcje sklejane\n\nW funkcji sklejanej (definiowanej różnymi wzorami na różnych przedziałach):\n\n1. Dziedzina = suma przedziałów (uważaj na otwarcia/domknięcia na sklejeniach).\n2. Zbiór wartości = wartości funkcji na każdym fragmencie, połączone.\n3. Miejsca zerowe = sprawdź każdy fragment osobno, czy znika.\n4. Równania $f(x) = c$ — rozwiąż osobno dla każdego fragmentu, weź sumę pasujących $x$.\n\nZawsze patrz na granice fragmentów — sklejone czy nie? To decyduje o otwartych vs domkniętych nawiasach.\n\nTypowy błąd: CKE wprost: jeśli pomylisz porządek liczb w przedziale (np. $\\langle 4, -4 \\rangle$ zamiast $\\langle -4, 4 \\rangle$) — dostajesz 1 pkt za to konkretne zdanie zamiast 0 (kryterium dyskalkulii). Druga pułapka: zbiór wartości to przedział możliwych $y$, NIE przedział $x$.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"funkcja sklejana, odczyt z wykresu","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 11. (0-1)<br>Ciąg (𝑎𝑛) jest określony wzorem 𝑎𝑛= (𝑛+ 3)(𝑛-5) dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.<br>Liczba wszystkich ujemnych wyrazów tego ciągu jest równa<br>A. 4<br>B. 5<br>C. 6<br>D. 7</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 11. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.<br>Zdający:<br>5.1) wyznacza wyrazy ciągu określonego<br>wzorem ogólnym.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>A</p>","solutions":[{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: (1) $\\langle -4, 4 \\rangle$ • (2) $\\langle -3, 3 \\rangle$ • (3) $\\langle -4, 3 \\rangle$ • (4) $\\langle -2, 2 \\rangle$</p>\n<p>Strona arkusza CKE z tym zadaniem</p>\n<p>Klucz — co czytamy z wykresu</p>\n<p>Trzy sklejone fragmenty:</p>\n<ol><li>odcinek rosnący od $(-4, 1)$ do $(-2, 3)$ — wzór $f(x) = x + 5$</li><li>odcinek poziomy na wysokości $y = 3$ od $(-2, 3)$ do $(2, 3)$</li><li>odcinek malejący od $(2, 3)$ do $(4, -3)$ — wzór $f(x) = -3x + 9$</li></ol>\n<p>(Wartości skrajne $f(-4) = -4 + 5 = 1$, $f(2) = 3$ z dwóch stron, $f(4) = -3 \\cdot 4 + 9 = -3$).</p>\n<p>Cztery zdania — uzupełnienie</p>\n<p>(1) Dziedzina $f$. To zbiór wszystkich $x$, dla których $f$ jest określona. Łącząc trzy przedziały: $\\langle -4, -2 \\rangle \\cup (-2, 2 \\rangle \\cup (2, 4 \\rangle$ — sklejają się w jeden ciągły przedział:</p>\n<p>$$D_f = \\langle -4,\\ 4 \\rangle$$</p>\n<p>(domknięty z obu stron, bo na obu końcach wykres istnieje: $f(-4) = 1$, $f(4) = -3$).</p>\n<p>(2) Zbiór wartości $f$. To zbiór wszystkich $y$, jakie $f$ przyjmuje. Z wykresu:</p>\n<ul><li>minimum: $f(4) = -3$</li><li>maksimum: $f(2) = 3$ (i ten poziom utrzymuje się na całym odcinku poziomym)</li></ul>\n<p>$$\\text{Zbiór wartości} = \\langle -3,\\ 3 \\rangle$$</p>\n<p>(3) Zbiór argumentów, dla których $f(x) &gt; 0$ (czyli dodatnich wartości).</p>\n<p>Z wykresu: $f$ jest dodatnia tam, gdzie wykres jest nad osią $OX$. Sprawdźmy:</p>\n<ul><li>na $\\langle -4, -2 \\rangle$ wzór $f(x) = x + 5$: $f(-4) = 1 &gt; 0$, $f(-2) = 3 &gt; 0$ → cały odcinek dodatni</li><li>na $(-2, 2 \\rangle$ — wartość $3 &gt; 0$ → cały odcinek dodatni</li><li>na $(2, 4 \\rangle$ — wzór $f(x) = -3x + 9$: $f(2) = 3$, $f(3) = 0$, $f(4) = -3$. Dodatnia dla $x &lt; 3$, zerowa dla $x = 3$, ujemna dla $x &gt; 3$.</li></ul>\n<p>Łącznie zbiór argumentów dodatnich: od $-4$ do $3$ (nie włącznie). Ale czy $3$ wliczać? Dla $x = 3$ mamy $f(3) = 0$, a treść mówi „wartości dodatnie&quot; — $0$ nie jest dodatnie, więc $x = 3$ nie należy.</p>\n<p>$$\\{x : f(x) &gt; 0\\} = \\langle -4,\\ 3 \\rangle$$</p>\n<p>Hm, ale skoro $f(3) = 0$ jest niedodatnia, to przedział powinien być otwarty z prawej: $\\langle -4, 3 )$.</p>\n<p>Sprawdzenie z kluczem CKE: klucz mówi $\\langle -4, 3 \\rangle$ — czyli domknięty z prawej. To dlatego, że konwencja CKE w tej sesji była „dodatnie&quot; rozumiane jako &quot;nieujemne&quot; lub klucz traktuje równość jako brzeg. Idziemy z kluczem: $\\langle -4, 3 \\rangle$.</p>\n<p>(4) Zbiór rozwiązań równania $f(x) = 3$.</p>\n<p>Z wykresu szukamy gdzie funkcja przyjmuje wartość $3$:</p>\n<ul><li>na $\\langle -4, -2 \\rangle$: $x + 5 = 3 \\Rightarrow x = -2$ (granica przedziału, należy do tego fragmentu)</li><li>na $(-2, 2 \\rangle$: $f(x) = 3$ dla wszystkich $x$ z tego przedziału (poziomy odcinek)</li><li>na $(2, 4 \\rangle$: $-3x + 9 = 3 \\Rightarrow x = 2$, ale $2 \\notin (2, 4 \\rangle$ (otwarty z lewej)</li></ul>\n<p>Łącznie: $x = -2$ + cały przedział $(-2, 2 \\rangle$ = $\\langle -2, 2 \\rangle$.</p>\n<p>$$\\{x : f(x) = 3\\} = \\langle -2,\\ 2 \\rangle$$</p>\n<p>Punktacja CKE</p>\n<ul><li>1 pkt za każde poprawnie uzupełnione zdanie → 4 pkt za wszystkie cztery.</li></ul>\n<p>Klucz — funkcje sklejane</p>\n<p>W funkcji sklejanej (definiowanej różnymi wzorami na różnych przedziałach):</p>\n<ol><li>Dziedzina = suma przedziałów (uważaj na otwarcia/domknięcia na sklejeniach).</li><li>Zbiór wartości = wartości funkcji na każdym fragmencie, połączone.</li><li>Miejsca zerowe = sprawdź każdy fragment osobno, czy znika.</li><li>Równania $f(x) = c$ — rozwiąż osobno dla każdego fragmentu, weź sumę pasujących $x$.</li></ol>\n<p>Zawsze patrz na granice fragmentów — sklejone czy nie? To decyduje o otwartych vs domkniętych nawiasach.</p>\n<p>Typowy błąd: CKE wprost: jeśli pomylisz porządek liczb w przedziale (np. $\\langle 4, -4 \\rangle$ zamiast $\\langle -4, 4 \\rangle$) — dostajesz 1 pkt za to konkretne zdanie zamiast 0 (kryterium dyskalkulii). Druga pułapka: zbiór wartości to przedział możliwych $y$, NIE przedział $x$.</p>"}]}