{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nDany jest ciąg geometryczny (𝑎𝑛) określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1, w którym\n𝑎1 = 27 oraz 𝑎2 = 9.\nCzwarty wyraz ciągu (𝑎𝑛) jest równy\nA. 1\n3\nB. 1\nC. 3\nD. 729","answer":"B","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n5.4) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\ngeometrycznego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"Odpowiedź: 12.1: $f(x) = -\\dfrac{1}{3}(x - 3)^2 + 6$ • 12.2: A — $x = 3$ • 12.3: $x_1 + x_2 = 6$\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nWykres — co wiemy?\n\n- Wierzchołek: $W = (3, 6)$\n- Punkt przecięcia z osią $OY$: $(0, 3)$\n- Parabola otwiera się w dół (z rysunku — wartość $6$ to maksimum, parabola spada na boki)\n\n12.1 — postać kanoniczna $f$ (2 pkt)\n\nPostać kanoniczna funkcji kwadratowej:\n\n$$f(x) = a(x - p)^2 + q$$\n\ngdzie $(p, q)$ to wierzchołek.\n\nPodstaw wierzchołek $(3, 6)$: $p = 3$, $q = 6$.\n\n$$f(x) = a(x - 3)^2 + 6$$\n\nWyznacz $a$ z punktu $(0, 3)$. Podstaw $x = 0$, $f(0) = 3$:\n\n$$3 = a(0 - 3)^2 + 6$$\n\n$$3 = 9a + 6$$\n\n$$9a = -3 \\quad\\Rightarrow\\quad a = -\\frac{1}{3}$$\n\nZapisz finalną postać.\n\n$$f(x) = -\\frac{1}{3} (x - 3)^2 + 6$$\n\n12.2 — oś symetrii (1 pkt)\n\nKlucz: oś symetrii paraboli to pionowa prosta przechodząca przez wierzchołek. Czyli $x = p$, gdzie $p$ to pierwsza współrzędna wierzchołka.\n\nTu wierzchołek ma $p = 3$, więc oś symetrii to:\n\n$$x = 3$$\n\n12.3 — suma miejsc zerowych $g$ (1 pkt)\n\nDane: $g(x) = f(x) - 3$. Miejsca zerowe $g$ to takie $x$, że $g(x) = 0$, czyli $f(x) - 3 = 0$, czyli $f(x) = 3$.\n\nSposób I — przez własność symetrii (eleganckie)\n\nWykres $f$ jest symetryczny względem osi $x = 3$. Każda wartość funkcji (poza maksymalną) jest przyjmowana w dwóch punktach symetrycznych względem $x = 3$:\n\n$$\\frac{x_1 + x_2}{2} = 3 \\quad\\Rightarrow\\quad x_1 + x_2 = 6$$\n\n(symetria dwóch punktów: średnia = oś symetrii).\n\nSposób II — algebraicznie (jeśli nie zauważysz)\n\nZ $f(x) = 3$:\n\n$$-\\frac{1}{3}(x - 3)^2 + 6 = 3$$\n\n$$-\\frac{1}{3}(x - 3)^2 = -3$$\n\n$$(x - 3)^2 = 9$$\n\n$$x - 3 = \\pm 3$$\n\n$$x_1 = 0 \\quad\\text{lub}\\quad x_2 = 6$$\n\nSuma: $x_1 + x_2 = 0 + 6 = 6$.\n\nKlucz — suma miejsc zerowych przez symetrię\n\nNajszybsza droga w zadaniach o paraboli: skoro miejsca zerowe są symetryczne względem osi symetrii, ich średnia to oś symetrii, czyli $\\tfrac{x_1 + x_2}{2} = p$, więc:\n\n$$x_1 + x_2 = 2p$$\n\ngdzie $p$ to pierwsza współrzędna wierzchołka. Działa zawsze dla paraboli, bez wyznaczania samych $x_1, x_2$.\n\nTu $p = 3$, więc $x_1 + x_2 = 6$. Pięć sekund.\n\nPunktacja CKE\n\n- 12.1 (2 pkt): 1 pkt za zapisanie $f(x) = a(x-3)^2 + 6$ z prawidłowym wierzchołkiem; 2 pkt za pełny wzór z $a = -\\tfrac{1}{3}$.\n- 12.2 (1 pkt): oś $x = 3$.\n- 12.3 (1 pkt): $x_1 + x_2 = 6$.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd w 12.1: nieprawidłowy znak postaci kanonicznej. Wierzchołek $(p, q)$ daje wzór $f(x) = a(x-p)^2 + q$ — w nawiasie ODEJMUJEMY $p$. W 12.3: nie trzeba wyznaczać $x_1, x_2$ osobno — wystarczy zauważyć, że $g(x) = 0$ to $f(x) = 3$, czyli punkty symetryczne wzgl. osi $x = 3$, więc $x_1 + x_2 = 2 \\cdot 3 = 6$.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":"funkcja kwadratowa, postać kanoniczna, oś symetrii","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 12. (0-1)<br>Dany jest ciąg geometryczny (𝑎𝑛) określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1, w którym<br>𝑎1 = 27 oraz 𝑎2 = 9.<br>Czwarty wyraz ciągu (𝑎𝑛) jest równy<br>A. 1<br>3<br>B. 1<br>C. 3<br>D. 729</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 12. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.<br>Zdający:<br>5.4) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu<br>geometrycznego.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>B</p>","solutions":[{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: 12.1: $f(x) = -\\dfrac{1}{3}(x - 3)^2 + 6$ • 12.2: A — $x = 3$ • 12.3: $x_1 + x_2 = 6$</p>\n<p>Strona arkusza CKE z tym zadaniem</p>\n<p>Wykres — co wiemy?</p>\n<ul><li>Wierzchołek: $W = (3, 6)$</li><li>Punkt przecięcia z osią $OY$: $(0, 3)$</li><li>Parabola otwiera się w dół (z rysunku — wartość $6$ to maksimum, parabola spada na boki)</li></ul>\n<p>12.1 — postać kanoniczna $f$ (2 pkt)</p>\n<p>Postać kanoniczna funkcji kwadratowej:</p>\n<p>$$f(x) = a(x - p)^2 + q$$</p>\n<p>gdzie $(p, q)$ to wierzchołek.</p>\n<p>Podstaw wierzchołek $(3, 6)$: $p = 3$, $q = 6$.</p>\n<p>$$f(x) = a(x - 3)^2 + 6$$</p>\n<p>Wyznacz $a$ z punktu $(0, 3)$. Podstaw $x = 0$, $f(0) = 3$:</p>\n<p>$$3 = a(0 - 3)^2 + 6$$</p>\n<p>$$3 = 9a + 6$$</p>\n<p>$$9a = -3 \\quad\\Rightarrow\\quad a = -\\frac{1}{3}$$</p>\n<p>Zapisz finalną postać.</p>\n<p>$$f(x) = -\\frac{1}{3} (x - 3)^2 + 6$$</p>\n<p>12.2 — oś symetrii (1 pkt)</p>\n<p>Klucz: oś symetrii paraboli to pionowa prosta przechodząca przez wierzchołek. Czyli $x = p$, gdzie $p$ to pierwsza współrzędna wierzchołka.</p>\n<p>Tu wierzchołek ma $p = 3$, więc oś symetrii to:</p>\n<p>$$x = 3$$</p>\n<p>12.3 — suma miejsc zerowych $g$ (1 pkt)</p>\n<p>Dane: $g(x) = f(x) - 3$. Miejsca zerowe $g$ to takie $x$, że $g(x) = 0$, czyli $f(x) - 3 = 0$, czyli $f(x) = 3$.</p>\n<p>Sposób I — przez własność symetrii (eleganckie)</p>\n<p>Wykres $f$ jest symetryczny względem osi $x = 3$. Każda wartość funkcji (poza maksymalną) jest przyjmowana w dwóch punktach symetrycznych względem $x = 3$:</p>\n<p>$$\\frac{x_1 + x_2}{2} = 3 \\quad\\Rightarrow\\quad x_1 + x_2 = 6$$</p>\n<p>(symetria dwóch punktów: średnia = oś symetrii).</p>\n<p>Sposób II — algebraicznie (jeśli nie zauważysz)</p>\n<p>Z $f(x) = 3$:</p>\n<p>$$-\\frac{1}{3}(x - 3)^2 + 6 = 3$$</p>\n<p>$$-\\frac{1}{3}(x - 3)^2 = -3$$</p>\n<p>$$(x - 3)^2 = 9$$</p>\n<p>$$x - 3 = \\pm 3$$</p>\n<p>$$x_1 = 0 \\quad\\text{lub}\\quad x_2 = 6$$</p>\n<p>Suma: $x_1 + x_2 = 0 + 6 = 6$.</p>\n<p>Klucz — suma miejsc zerowych przez symetrię</p>\n<p>Najszybsza droga w zadaniach o paraboli: skoro miejsca zerowe są symetryczne względem osi symetrii, ich średnia to oś symetrii, czyli $\\tfrac{x_1 + x_2}{2} = p$, więc:</p>\n<p>$$x_1 + x_2 = 2p$$</p>\n<p>gdzie $p$ to pierwsza współrzędna wierzchołka. Działa zawsze dla paraboli, bez wyznaczania samych $x_1, x_2$.</p>\n<p>Tu $p = 3$, więc $x_1 + x_2 = 6$. Pięć sekund.</p>\n<p>Punktacja CKE</p>\n<ul><li>12.1 (2 pkt): 1 pkt za zapisanie $f(x) = a(x-3)^2 + 6$ z prawidłowym wierzchołkiem; 2 pkt za pełny wzór z $a = -\\tfrac{1}{3}$.</li><li>12.2 (1 pkt): oś $x = 3$.</li><li>12.3 (1 pkt): $x_1 + x_2 = 6$.</li></ul>\n<p>Typowy błąd: Najczęstszy błąd w 12.1: nieprawidłowy znak postaci kanonicznej. Wierzchołek $(p, q)$ daje wzór $f(x) = a(x-p)^2 + q$ — w nawiasie ODEJMUJEMY $p$. W 12.3: nie trzeba wyznaczać $x_1, x_2$ osobno — wystarczy zauważyć, że $g(x) = 0$ to $f(x) = 3$, czyli punkty symetryczne wzgl. osi $x = 3$, więc $x_1 + x_2 = 2 \\cdot 3 = 6$.</p>"}]}