{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nKąt 𝛼 jest ostry i spełnia warunek √3 tg 𝛼= 2 sin 𝛼.\nCosinus kąta 𝛼 jest równy\nA. 1\n2\nB.\n√2\n2\nC.\n√3\n2\nD.\n√3\n3\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nInformacja do zadań 14.-15.\nDany jest trójkąt prostokątny 𝐴𝐵𝐶, w którym bok 𝐵𝐶 jest przeciwprostokątną,\npunkt 𝐷 jest środkiem przyprostokątnej 𝐴𝐵 oraz |𝐴𝐵| = 6 i |𝐶𝐷| = 5.\nOznaczmy kąt 𝐴𝐷𝐶 przez 𝛼, natomiast kąt 𝐴𝐵𝐶 - przez 𝛽 (zobacz rysunek).","answer":"C","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n6.4) stosuje proste zależności między\nfunkcjami trygonometrycznymi […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"Odpowiedź: C — $m = 3$\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nKlucz teoretyczny — kiedy funkcja liniowa nie ma miejsca zerowego?\n\nFunkcja liniowa $f(x) = ax + b$ ma miejsce zerowe (rozwiązanie $f(x) = 0$, czyli $x = -\\tfrac{b}{a}$) wtedy i tylko wtedy, gdy $a \\neq 0$.\n\nGdy $a = 0$:\n\n- jeśli $b = 0$: $f(x) = 0$ dla każdego $x$ → funkcja stała = 0, wszystkie $x$ są zerowe\n- jeśli $b \\neq 0$: $f(x) = b$ dla każdego $x$, ale $f(x) = 0$ nie ma rozwiązania → brak miejsca zerowego\n\nZastosowanie do zadania\n\nW naszej funkcji $f(x) = (3 - m) x - 4$:\n\n- współczynnik kierunkowy: $a = 3 - m$\n- wyraz wolny: $b = -4$\n\nWyraz wolny to $-4$ — nie jest zerem (niezależnie od $m$). Więc warunek „brak miejsca zerowego\" sprowadza się do warunku $a = 0$:\n\n$$3 - m = 0 \\quad\\Rightarrow\\quad m = 3$$\n\nSprawdzenie: dla $m = 3$ mamy $f(x) = 0 \\cdot x - 4 = -4$ — funkcja stała o wartości $-4$. Czy ma miejsce zerowe? $-4 = 0$ to fałsz, więc NIE. ✓\n\nInne odpowiedzi sprawdzamy szybko:\n\n- $m = -3$: $f(x) = 6x - 4$, miejsce zerowe $x = \\tfrac{2}{3}$ — JEST\n- $m = 0$: $f(x) = 3x - 4$, miejsce zerowe $x = \\tfrac{4}{3}$ — JEST\n- $m = 4$: $f(x) = -x - 4$, miejsce zerowe $x = -4$ — JEST\n\nTylko dla $m = 3$ funkcja nie ma miejsca zerowego.\n\nKlucz uniwersalny\n\nAby funkcja liniowa nie miała miejsca zerowego, muszą być spełnione dwa warunki jednocześnie:\n\n1. Współczynnik kierunkowy $a = 0$ (funkcja jest stała)\n2. Wyraz wolny $b \\neq 0$ (stała wartość jest niezerowa)\n\nWystarczy, że któryś z nich nie zachodzi, i miejsce zerowe istnieje. Tutaj $b = -4 \\neq 0$ jest „za darmo\" — wystarczy znaleźć $m$, dla którego $a = 0$.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to nieuwzględnienie wyrazu wolnego. Funkcja liniowa NIE MA miejsca zerowego, gdy współczynnik kierunkowy = 0 i wyraz wolny ≠ 0 (wtedy mamy funkcję stałą o niezerowej wartości). Jeśli oba zero — wszystkie x są miejscami zerowymi (też nie \"miejsce zerowe\" w sensie pytania).","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":"funkcja liniowa, miejsce zerowe","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 13. (0-1)<br>Kąt 𝛼 jest ostry i spełnia warunek √3 tg 𝛼= 2 sin 𝛼.<br>Cosinus kąta 𝛼 jest równy<br>A. 1<br>2<br>B.<br>√2<br>2<br>C.<br>√3<br>2<br>D.<br>√3<br>3</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>Informacja do zadań 14.-15.<br>Dany jest trójkąt prostokątny 𝐴𝐵𝐶, w którym bok 𝐵𝐶 jest przeciwprostokątną,<br>punkt 𝐷 jest środkiem przyprostokątnej 𝐴𝐵 oraz |𝐴𝐵| = 6 i |𝐶𝐷| = 5.<br>Oznaczmy kąt 𝐴𝐷𝐶 przez 𝛼, natomiast kąt 𝐴𝐵𝐶 - przez 𝛽 (zobacz rysunek).</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 13. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.<br>Zdający:<br>6.4) stosuje proste zależności między<br>funkcjami trygonometrycznymi […].<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>C</p>","solutions":[{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: C — $m = 3$</p>\n<p>Strona arkusza CKE z tym zadaniem</p>\n<p>Klucz teoretyczny — kiedy funkcja liniowa nie ma miejsca zerowego?</p>\n<p>Funkcja liniowa $f(x) = ax + b$ ma miejsce zerowe (rozwiązanie $f(x) = 0$, czyli $x = -\\tfrac{b}{a}$) wtedy i tylko wtedy, gdy $a \\neq 0$.</p>\n<p>Gdy $a = 0$:</p>\n<ul><li>jeśli $b = 0$: $f(x) = 0$ dla każdego $x$ → funkcja stała = 0, wszystkie $x$ są zerowe</li><li>jeśli $b \\neq 0$: $f(x) = b$ dla każdego $x$, ale $f(x) = 0$ nie ma rozwiązania → brak miejsca zerowego</li></ul>\n<p>Zastosowanie do zadania</p>\n<p>W naszej funkcji $f(x) = (3 - m) x - 4$:</p>\n<ul><li>współczynnik kierunkowy: $a = 3 - m$</li><li>wyraz wolny: $b = -4$</li></ul>\n<p>Wyraz wolny to $-4$ — nie jest zerem (niezależnie od $m$). Więc warunek „brak miejsca zerowego&quot; sprowadza się do warunku $a = 0$:</p>\n<p>$$3 - m = 0 \\quad\\Rightarrow\\quad m = 3$$</p>\n<p>Sprawdzenie: dla $m = 3$ mamy $f(x) = 0 \\cdot x - 4 = -4$ — funkcja stała o wartości $-4$. Czy ma miejsce zerowe? $-4 = 0$ to fałsz, więc NIE. ✓</p>\n<p>Inne odpowiedzi sprawdzamy szybko:</p>\n<ul><li>$m = -3$: $f(x) = 6x - 4$, miejsce zerowe $x = \\tfrac{2}{3}$ — JEST</li><li>$m = 0$: $f(x) = 3x - 4$, miejsce zerowe $x = \\tfrac{4}{3}$ — JEST</li><li>$m = 4$: $f(x) = -x - 4$, miejsce zerowe $x = -4$ — JEST</li></ul>\n<p>Tylko dla $m = 3$ funkcja nie ma miejsca zerowego.</p>\n<p>Klucz uniwersalny</p>\n<p>Aby funkcja liniowa nie miała miejsca zerowego, muszą być spełnione dwa warunki jednocześnie:</p>\n<ol><li>Współczynnik kierunkowy $a = 0$ (funkcja jest stała)</li><li>Wyraz wolny $b \\neq 0$ (stała wartość jest niezerowa)</li></ol>\n<p>Wystarczy, że któryś z nich nie zachodzi, i miejsce zerowe istnieje. Tutaj $b = -4 \\neq 0$ jest „za darmo&quot; — wystarczy znaleźć $m$, dla którego $a = 0$.</p>\n<p>Typowy błąd: Najczęstszy błąd to nieuwzględnienie wyrazu wolnego. Funkcja liniowa NIE MA miejsca zerowego, gdy współczynnik kierunkowy = 0 i wyraz wolny ≠ 0 (wtedy mamy funkcję stałą o niezerowej wartości). Jeśli oba zero — wszystkie x są miejscami zerowymi (też nie &quot;miejsce zerowe&quot; w sensie pytania).</p>"}]}