{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1)\nTangens kąta 𝛼 jest równy\nA. 2\n3\nB. 3\n4\nC. 4\n5\nD. 4\n3","answer":"D","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n6.1) wykorzystuje definicje i wyznacza\nwartości funkcji […] tangens kątów\no miarach od 0° do 180°.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: 14.1: D — $a_3 = 11$ • 14.2: FF (nie arytmetyczny, nie geometryczny)\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\n14.1 — trzeci wyraz ciągu (1 pkt)\n\nWzór rekurencyjny mówi: znając poprzedni wyraz $a_n$, kolejny obliczasz jako $a_{n+1} = 2 a_n + 1$.\n\n$a_1 = 2$ (z definicji).\n\n$a_2 = 2 a_1 + 1 = 2 \\cdot 2 + 1 = 5$.\n\n$a_3 = 2 a_2 + 1 = 2 \\cdot 5 + 1 = 11$.\n\n14.2 — czy ciąg jest arytmetyczny / geometryczny? (1 pkt)\n\nSprawdźmy obie własności na wyrazach, które już obliczyliśmy: $a_1 = 2$, $a_2 = 5$, $a_3 = 11$.\n\nTest arytmetyczności: różnice kolejnych wyrazów muszą być stałe.\n\n$$a_2 - a_1 = 5 - 2 = 3$$\n\n$$a_3 - a_2 = 11 - 5 = 6$$\n\n$3 \\neq 6$ → ciąg NIE jest arytmetyczny.\n\nTest geometryczności: ilorazy kolejnych wyrazów muszą być stałe.\n\n$$\\frac{a_2}{a_1} = \\frac{5}{2} = 2{,}5$$\n\n$$\\frac{a_3}{a_2} = \\frac{11}{5} = 2{,}2$$\n\n$2{,}5 \\neq 2{,}2$ → ciąg NIE jest geometryczny.\n\nKlucz — ciągi rekurencyjne na maturze\n\nStandardowe pytania o ciąg rekurencyjny $a_{n+1} = f(a_n)$:\n\n1. Oblicz pierwsze kilka wyrazów — bezpośrednio z wzoru, krok po kroku.\n2. Sprawdź arytmetyczność — różnice kolejnych wyrazów. Wystarczą trzy wyrazy.\n3. Sprawdź geometryczność — ilorazy kolejnych wyrazów. Wystarczą trzy wyrazy.\n4. (R) Znajdź wzór ogólny — przez podstawianie i rozpoznawanie wzorca, lub przez „przekształcenie do ciągu jaki znamy\".\n\nW tym zadaniu wystarczyły kroki 1–3.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd w 14.1: pomylenie indeksów. Wzór $a_{n+1} = 2a_n + 1$ daje $a_2$ z $a_1$, $a_3$ z $a_2$, itd. Niektórzy podstawiają $n = 3$ i obliczają „$2 \\cdot a_3 + 1$\" jako odpowiedź — to byłby $a_4$, nie $a_3$.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":"ciągi rekurencyjne","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 14. (0-1)
Tangens kąta 𝛼 jest równy
A. 2
3
B. 3
4
C. 4
5
D. 4
3

","answer_text_html":"

Zadanie 14. (0-1)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
II. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
Zdający:
6.1) wykorzystuje definicje i wyznacza
wartości funkcji […] tangens kątów
o miarach od 0° do 180°.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
D
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Odpowiedź: 14.1: D — $a_3 = 11$ • 14.2: FF (nie arytmetyczny, nie geometryczny)

\n

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

\n

14.1 — trzeci wyraz ciągu (1 pkt)

\n

Wzór rekurencyjny mówi: znając poprzedni wyraz $a_n$, kolejny obliczasz jako $a_{n+1} = 2 a_n + 1$.

\n

$a_1 = 2$ (z definicji).

\n

$a_2 = 2 a_1 + 1 = 2 \\cdot 2 + 1 = 5$.

\n

$a_3 = 2 a_2 + 1 = 2 \\cdot 5 + 1 = 11$.

\n

14.2 — czy ciąg jest arytmetyczny / geometryczny? (1 pkt)

\n

Sprawdźmy obie własności na wyrazach, które już obliczyliśmy: $a_1 = 2$, $a_2 = 5$, $a_3 = 11$.

\n

Test arytmetyczności: różnice kolejnych wyrazów muszą być stałe.

\n

$$a_2 - a_1 = 5 - 2 = 3$$

\n

$$a_3 - a_2 = 11 - 5 = 6$$

\n

$3 \\neq 6$ → ciąg NIE jest arytmetyczny.

\n

Test geometryczności: ilorazy kolejnych wyrazów muszą być stałe.

\n

$$\\frac{a_2}{a_1} = \\frac{5}{2} = 2{,}5$$

\n

$$\\frac{a_3}{a_2} = \\frac{11}{5} = 2{,}2$$

\n

$2{,}5 \\neq 2{,}2$ → ciąg NIE jest geometryczny.

\n

Klucz — ciągi rekurencyjne na maturze

\n

Standardowe pytania o ciąg rekurencyjny $a_{n+1} = f(a_n)$:

\n
  1. Oblicz pierwsze kilka wyrazów — bezpośrednio z wzoru, krok po kroku.
  2. Sprawdź arytmetyczność — różnice kolejnych wyrazów. Wystarczą trzy wyrazy.
  3. Sprawdź geometryczność — ilorazy kolejnych wyrazów. Wystarczą trzy wyrazy.
  4. (R) Znajdź wzór ogólny — przez podstawianie i rozpoznawanie wzorca, lub przez „przekształcenie do ciągu jaki znamy".
\n

W tym zadaniu wystarczyły kroki 1–3.

\n

Typowy błąd: Najczęstszy błąd w 14.1: pomylenie indeksów. Wzór $a_{n+1} = 2a_n + 1$ daje $a_2$ z $a_1$, $a_3$ z $a_2$, itd. Niektórzy podstawiają $n = 3$ i obliczają „$2 \\cdot a_3 + 1$" jako odpowiedź — to byłby $a_4$, nie $a_3$.

"}]}