{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nSinus kąta 𝛽 jest równy\nA. 2\n√13\nB. 3\n√13\nC.\n5\n2√13\nD. 4\n5\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n5\n6\n𝛼\n𝛽\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"A","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n6.1) wykorzystuje definicje i wyznacza\nwartości funkcji sinus […] kątów o miarach\nod 0° do 180°.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"Odpowiedź: $m = \\dfrac{5}{2}$ (ciąg $16,\\ 9{,}25,\\ 2{,}5$ — arytmetyczny, malejący)\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nKlucz teoretyczny\n\nTrzywyrazowy ciąg $(a, b, c)$ jest arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy:\n\n$$2 b = a + c$$\n\n(środkowy wyraz × 2 = suma sąsiednich). Równoważnie: $b - a = c - b$, czyli różnice kolejnych są równe.\n\nCiąg arytmetyczny jest malejący ⟺ różnica $r < 0$, czyli $b < a$.\n\nZastosuj warunek arytmetyczności.\n\n$$2(m^2 + 3) = (2m + 11) + (5 - m)$$\n\n$$2m^2 + 6 = m + 16$$\n\n$$2m^2 - m - 10 = 0$$\n\nRozwiąż równanie kwadratowe.\n\n$$\\Delta = (-1)^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot (-10) = 1 + 80 = 81$$\n\n$$\\sqrt{\\Delta} = 9$$\n\n$$m_1 = \\frac{1 - 9}{4} = -2, \\quad m_2 = \\frac{1 + 9}{4} = \\frac{10}{4} = \\frac{5}{2}$$\n\nSprawdź dla każdego $m$, czy ciąg jest MALEJĄCY.\n\nDla $m = -2$:\n\n- $2m + 11 = -4 + 11 = 7$\n- $m^2 + 3 = 4 + 3 = 7$\n- $5 - m = 5 + 2 = 7$\n\nCiąg: $(7, 7, 7)$ — arytmetyczny ($r = 0$), ale stały, nie malejący. Odrzucamy $m = -2$.\n\nDla $m = \\tfrac{5}{2}$:\n\n- $2 \\cdot \\tfrac{5}{2} + 11 = 5 + 11 = 16$\n- $(\\tfrac{5}{2})^2 + 3 = \\tfrac{25}{4} + 3 = \\tfrac{37}{4} = 9{,}25$\n- $5 - \\tfrac{5}{2} = \\tfrac{5}{2} = 2{,}5$\n\nCiąg: $(16,\\ 9{,}25,\\ 2{,}5)$ — różnica $r = 9{,}25 - 16 = -6{,}75 < 0$ → malejący ✓\n\nPunktacja CKE\n\n- 1 pkt — zapisanie równania arytmetyczności $2(m^2 + 3) = (2m+11) + (5-m)$ lub równoważnego.\n- 2 pkt — rozwiązanie równania kwadratowego: $m = -2$ lub $m = \\tfrac{5}{2}$.\n- 3 pkt — pełne rozwiązanie z odrzuceniem $m = -2$ (nie spełnia warunku malenia) i odpowiedzią $m = \\tfrac{5}{2}$.\n\nKlucz — zadania „ciąg z parametrem\"\n\nProcedura uniwersalna:\n\n1. Zapisz warunek wynikający z typu ciągu (arytmetyczny: $2b = a+c$; geometryczny: $b^2 = a \\cdot c$).\n2. Rozwiąż równanie na parametr — zwykle kwadratowe.\n3. Sprawdź każde rozwiązanie względem dodatkowych warunków z treści (rosnący / malejący / dodatni / itd.).\n4. Odrzuć rozwiązania, które nie spełniają wszystkich warunków.\n\nTutaj kluczowy był krok 3 — bez niego dostałbyś dwa wyniki zamiast jednego.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: znaleźć dwa rozwiązania równania na arytmetyczność i nie odrzucić tego, dla którego ciąg jest stały (a nie malejący). Treść mówi \"arytmetyczny **i malejący**\" — drugi warunek wymaga sprawdzenia.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":"ciągi arytmetyczne z parametrem","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 15. (0-1)<br>Sinus kąta 𝛽 jest równy<br>A. 2<br>√13<br>B. 3<br>√13<br>C.<br>5<br>2√13<br>D. 4<br>5<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶<br>𝐷<br>5<br>6<br>𝛼<br>𝛽</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>EMAP-P0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 15. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.<br>Zdający:<br>6.1) wykorzystuje definicje i wyznacza<br>wartości funkcji sinus […] kątów o miarach<br>od 0° do 180°.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>A</p>","solutions":[{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: $m = \\dfrac{5}{2}$ (ciąg $16,\\ 9{,}25,\\ 2{,}5$ — arytmetyczny, malejący)</p>\n<p>Strona arkusza CKE z tym zadaniem</p>\n<p>Klucz teoretyczny</p>\n<p>Trzywyrazowy ciąg $(a, b, c)$ jest arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy:</p>\n<p>$$2 b = a + c$$</p>\n<p>(środkowy wyraz × 2 = suma sąsiednich). Równoważnie: $b - a = c - b$, czyli różnice kolejnych są równe.</p>\n<p>Ciąg arytmetyczny jest malejący ⟺ różnica $r &lt; 0$, czyli $b &lt; a$.</p>\n<p>Zastosuj warunek arytmetyczności.</p>\n<p>$$2(m^2 + 3) = (2m + 11) + (5 - m)$$</p>\n<p>$$2m^2 + 6 = m + 16$$</p>\n<p>$$2m^2 - m - 10 = 0$$</p>\n<p>Rozwiąż równanie kwadratowe.</p>\n<p>$$\\Delta = (-1)^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot (-10) = 1 + 80 = 81$$</p>\n<p>$$\\sqrt{\\Delta} = 9$$</p>\n<p>$$m_1 = \\frac{1 - 9}{4} = -2, \\quad m_2 = \\frac{1 + 9}{4} = \\frac{10}{4} = \\frac{5}{2}$$</p>\n<p>Sprawdź dla każdego $m$, czy ciąg jest MALEJĄCY.</p>\n<p>Dla $m = -2$:</p>\n<ul><li>$2m + 11 = -4 + 11 = 7$</li><li>$m^2 + 3 = 4 + 3 = 7$</li><li>$5 - m = 5 + 2 = 7$</li></ul>\n<p>Ciąg: $(7, 7, 7)$ — arytmetyczny ($r = 0$), ale stały, nie malejący. Odrzucamy $m = -2$.</p>\n<p>Dla $m = \\tfrac{5}{2}$:</p>\n<ul><li>$2 \\cdot \\tfrac{5}{2} + 11 = 5 + 11 = 16$</li><li>$(\\tfrac{5}{2})^2 + 3 = \\tfrac{25}{4} + 3 = \\tfrac{37}{4} = 9{,}25$</li><li>$5 - \\tfrac{5}{2} = \\tfrac{5}{2} = 2{,}5$</li></ul>\n<p>Ciąg: $(16,\\ 9{,}25,\\ 2{,}5)$ — różnica $r = 9{,}25 - 16 = -6{,}75 &lt; 0$ → malejący ✓</p>\n<p>Punktacja CKE</p>\n<ul><li>1 pkt — zapisanie równania arytmetyczności $2(m^2 + 3) = (2m+11) + (5-m)$ lub równoważnego.</li><li>2 pkt — rozwiązanie równania kwadratowego: $m = -2$ lub $m = \\tfrac{5}{2}$.</li><li>3 pkt — pełne rozwiązanie z odrzuceniem $m = -2$ (nie spełnia warunku malenia) i odpowiedzią $m = \\tfrac{5}{2}$.</li></ul>\n<p>Klucz — zadania „ciąg z parametrem&quot;</p>\n<p>Procedura uniwersalna:</p>\n<ol><li>Zapisz warunek wynikający z typu ciągu (arytmetyczny: $2b = a+c$; geometryczny: $b^2 = a \\cdot c$).</li><li>Rozwiąż równanie na parametr — zwykle kwadratowe.</li><li>Sprawdź każde rozwiązanie względem dodatkowych warunków z treści (rosnący / malejący / dodatni / itd.).</li><li>Odrzuć rozwiązania, które nie spełniają wszystkich warunków.</li></ol>\n<p>Tutaj kluczowy był krok 3 — bez niego dostałbyś dwa wyniki zamiast jednego.</p>\n<p>Typowy błąd: Najczęstszy błąd: znaleźć dwa rozwiązania równania na arytmetyczność i nie odrzucić tego, dla którego ciąg jest stały (a nie malejący). Treść mówi &quot;arytmetyczny <strong>i malejący</strong>&quot; — drugi warunek wymaga sprawdzenia.</p>"}]}