{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nPunkty 𝐴, 𝐵 oraz 𝐶 leżą na okręgu o środku w punkcie 𝑂.\nMiara kąta 𝐵𝐶𝐴 jest równa 50° (zobacz rysunek).\nMiara kąta ostrego 𝐴𝐵𝑂 jest równa\nA. 20°\nB. 35°\nC. 40°\nD. 50°","answer":"C","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\n7.1) stosuje zależności między kątem\nśrodkowym i kątem wpisanym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"Odpowiedź: B — $a_4 = 1$\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nStrategia\n\nWzór na $n$-ty wyraz ciągu geometrycznego:\n\n$$a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}$$\n\ngdzie $q$ to iloraz — stosunek kolejnego wyrazu do poprzedniego.\n\nWyznacz iloraz $q$.\n\n$$q = \\frac{a_2}{a_1} = \\frac{9}{27} = \\frac{1}{3}$$\n\nOblicz $a_4 = a_1 \\cdot q^{4-1} = a_1 \\cdot q^3$.\n\n$$a_4 = 27 \\cdot \\left(\\frac{1}{3}\\right)^3 = 27 \\cdot \\frac{1}{27} = 1$$\n\nSprawdzenie wszystkich wyrazów\n\n$a_1 = 27$, $a_2 = 9$, $a_3 = 9 \\cdot \\tfrac{1}{3} = 3$, $a_4 = 3 \\cdot \\tfrac{1}{3} = 1$.\n\nCiąg: $27, 9, 3, 1, \\tfrac{1}{3}, \\tfrac{1}{9}, \\ldots$ — każdy wyraz to trzecia część poprzedniego.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to wzięcie $q = \\dfrac{a_1}{a_2} = 3$ zamiast $q = \\dfrac{a_2}{a_1} = \\dfrac{1}{3}$. Iloraz ciągu geometrycznego to \"następny ÷ poprzedni\", nie \"poprzedni ÷ następny\".","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":"ciąg geometryczny","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 16. (0-1)<br>Punkty 𝐴, 𝐵 oraz 𝐶 leżą na okręgu o środku w punkcie 𝑂.<br>Miara kąta 𝐵𝐶𝐴 jest równa 50° (zobacz rysunek).<br>Miara kąta ostrego 𝐴𝐵𝑂 jest równa<br>A. 20°<br>B. 35°<br>C. 40°<br>D. 50°</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 16. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>V. Rozumowanie i argumentacja.<br>Zdający:<br>7.1) stosuje zależności między kątem<br>środkowym i kątem wpisanym.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>C</p>","solutions":[{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: B — $a_4 = 1$</p>\n<p>Strona arkusza CKE z tym zadaniem</p>\n<p>Strategia</p>\n<p>Wzór na $n$-ty wyraz ciągu geometrycznego:</p>\n<p>$$a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}$$</p>\n<p>gdzie $q$ to iloraz — stosunek kolejnego wyrazu do poprzedniego.</p>\n<p>Wyznacz iloraz $q$.</p>\n<p>$$q = \\frac{a_2}{a_1} = \\frac{9}{27} = \\frac{1}{3}$$</p>\n<p>Oblicz $a_4 = a_1 \\cdot q^{4-1} = a_1 \\cdot q^3$.</p>\n<p>$$a_4 = 27 \\cdot \\left(\\frac{1}{3}\\right)^3 = 27 \\cdot \\frac{1}{27} = 1$$</p>\n<p>Sprawdzenie wszystkich wyrazów</p>\n<p>$a_1 = 27$, $a_2 = 9$, $a_3 = 9 \\cdot \\tfrac{1}{3} = 3$, $a_4 = 3 \\cdot \\tfrac{1}{3} = 1$.</p>\n<p>Ciąg: $27, 9, 3, 1, \\tfrac{1}{3}, \\tfrac{1}{9}, \\ldots$ — każdy wyraz to trzecia część poprzedniego.</p>\n<p>Typowy błąd: Najczęstszy błąd to wzięcie $q = \\dfrac{a_1}{a_2} = 3$ zamiast $q = \\dfrac{a_2}{a_1} = \\dfrac{1}{3}$. Iloraz ciągu geometrycznego to &quot;następny ÷ poprzedni&quot;, nie &quot;poprzedni ÷ następny&quot;.</p>"}]}