{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nW trójkącie równoramiennym 𝐴𝐵𝐶 dane są: |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶| = 4 i |𝐴𝐵| = 3.\nNa boku 𝐵𝐶, między punktami 𝐵 i 𝐶, wybrano taki punkt 𝐷, że trójkąty 𝐴𝐵𝐶 i 𝐵𝐷𝐴 są\npodobne (zobacz rysunek).\nOdcinek 𝐵𝐷 ma długość\nA. 2\nB. 2,25\nC. 2,5\nD. 3\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝑂\n50°\n𝐴\n𝐵\n𝐷\n𝐶\n3\n4\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"B","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\n7.3) rozpoznaje trójkąty podobne\ni wykorzystuje […] cechy podobieństwa\ntrójkątów.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"Odpowiedź: C — $\\cos \\alpha = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nStrategia\n\nSprowadź wszystko do $\\sin$ i $\\cos$ (używając $\\tan \\alpha = \\tfrac{\\sin \\alpha}{\\cos \\alpha}$), potem skróć $\\sin \\alpha$ (wolno, bo $\\alpha$ ostry → $\\sin \\alpha > 0$).\n\nZastosuj tożsamość $\\tan \\alpha = \\dfrac{\\sin \\alpha}{\\cos \\alpha}$:\n\n$$\\sqrt{3} \\cdot \\frac{\\sin \\alpha}{\\cos \\alpha} = 2 \\sin \\alpha$$\n\nSkróć $\\sin \\alpha$ (kąt ostry → $\\sin \\alpha \\neq 0$):\n\n$$\\frac{\\sqrt{3}}{\\cos \\alpha} = 2$$\n\nRozwiąż na $\\cos \\alpha$.\n\n$$\\cos \\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$$\n\nIdentyfikacja kąta\n\n$\\cos \\alpha = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}$ to kąt $\\alpha = 30°$ (jeden z trzech „znanych\" kątów: $30°, 45°, 60°$).\n\nSprawdzenie warunku oryginalnego dla $\\alpha = 30°$:\n\n- $\\sqrt{3} \\tan 30° = \\sqrt{3} \\cdot \\tfrac{\\sqrt{3}}{3} = \\tfrac{3}{3} = 1$\n- $2 \\sin 30° = 2 \\cdot \\tfrac{1}{2} = 1$\n\n$1 = 1$ ✓ — warunek spełniony.\n\nKlucz — trzy znane kąty\n\n$\\alpha$ | $\\sin \\alpha$ | $\\cos \\alpha$ | $\\tan \\alpha$\n$30°$ | $\\tfrac{1}{2}$ | $\\tfrac{\\sqrt{3}}{2}$ | $\\tfrac{\\sqrt{3}}{3} = \\tfrac{1}{\\sqrt{3}}$\n$45°$ | $\\tfrac{\\sqrt{2}}{2}$ | $\\tfrac{\\sqrt{2}}{2}$ | $1$\n$60°$ | $\\tfrac{\\sqrt{3}}{2}$ | $\\tfrac{1}{2}$ | $\\sqrt{3}$\n\nWszystkie pojawiają się w „Wybranych wzorach matematycznych\" CKE, ale warto je mieć w głowie — pozwala rozpoznać kąt po jednej wartości i sprawdzić w 5 sekund pozostałe.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to dzielenie obu stron przez $\\sin \\alpha$ BEZ założenia, że $\\sin \\alpha \\neq 0$. Owszem, dla kąta ostrego $\\sin \\alpha \\neq 0$ (z definicji $0 < \\alpha < 90°$, więc $\\sin \\alpha > 0$), ale formalnie założenie należy zaznaczyć.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria, równanie z sin/cos","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 17. (0-1)<br>W trójkącie równoramiennym 𝐴𝐵𝐶 dane są: |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶| = 4 i |𝐴𝐵| = 3.<br>Na boku 𝐵𝐶, między punktami 𝐵 i 𝐶, wybrano taki punkt 𝐷, że trójkąty 𝐴𝐵𝐶 i 𝐵𝐷𝐴 są<br>podobne (zobacz rysunek).<br>Odcinek 𝐵𝐷 ma długość<br>A. 2<br>B. 2,25<br>C. 2,5<br>D. 3<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶<br>𝑂<br>50°<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐷<br>𝐶<br>3<br>4</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>EMAP-P0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 17. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>V. Rozumowanie i argumentacja.<br>Zdający:<br>7.3) rozpoznaje trójkąty podobne<br>i wykorzystuje […] cechy podobieństwa<br>trójkątów.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>B</p>","solutions":[{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: C — $\\cos \\alpha = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$</p>\n<p>Strona arkusza CKE z tym zadaniem</p>\n<p>Strategia</p>\n<p>Sprowadź wszystko do $\\sin$ i $\\cos$ (używając $\\tan \\alpha = \\tfrac{\\sin \\alpha}{\\cos \\alpha}$), potem skróć $\\sin \\alpha$ (wolno, bo $\\alpha$ ostry → $\\sin \\alpha &gt; 0$).</p>\n<p>Zastosuj tożsamość $\\tan \\alpha = \\dfrac{\\sin \\alpha}{\\cos \\alpha}$:</p>\n<p>$$\\sqrt{3} \\cdot \\frac{\\sin \\alpha}{\\cos \\alpha} = 2 \\sin \\alpha$$</p>\n<p>Skróć $\\sin \\alpha$ (kąt ostry → $\\sin \\alpha \\neq 0$):</p>\n<p>$$\\frac{\\sqrt{3}}{\\cos \\alpha} = 2$$</p>\n<p>Rozwiąż na $\\cos \\alpha$.</p>\n<p>$$\\cos \\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$$</p>\n<p>Identyfikacja kąta</p>\n<p>$\\cos \\alpha = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}$ to kąt $\\alpha = 30°$ (jeden z trzech „znanych&quot; kątów: $30°, 45°, 60°$).</p>\n<p>Sprawdzenie warunku oryginalnego dla $\\alpha = 30°$:</p>\n<ul><li>$\\sqrt{3} \\tan 30° = \\sqrt{3} \\cdot \\tfrac{\\sqrt{3}}{3} = \\tfrac{3}{3} = 1$</li><li>$2 \\sin 30° = 2 \\cdot \\tfrac{1}{2} = 1$</li></ul>\n<p>$1 = 1$ ✓ — warunek spełniony.</p>\n<p>Klucz — trzy znane kąty</p>\n<p>$\\alpha$ | $\\sin \\alpha$ | $\\cos \\alpha$ | $\\tan \\alpha$<br>$30°$ | $\\tfrac{1}{2}$ | $\\tfrac{\\sqrt{3}}{2}$ | $\\tfrac{\\sqrt{3}}{3} = \\tfrac{1}{\\sqrt{3}}$<br>$45°$ | $\\tfrac{\\sqrt{2}}{2}$ | $\\tfrac{\\sqrt{2}}{2}$ | $1$<br>$60°$ | $\\tfrac{\\sqrt{3}}{2}$ | $\\tfrac{1}{2}$ | $\\sqrt{3}$</p>\n<p>Wszystkie pojawiają się w „Wybranych wzorach matematycznych&quot; CKE, ale warto je mieć w głowie — pozwala rozpoznać kąt po jednej wartości i sprawdzić w 5 sekund pozostałe.</p>\n<p>Typowy błąd: Najczęstszy błąd to dzielenie obu stron przez $\\sin \\alpha$ BEZ założenia, że $\\sin \\alpha \\neq 0$. Owszem, dla kąta ostrego $\\sin \\alpha \\neq 0$ (z definicji $0 &lt; \\alpha &lt; 90°$, więc $\\sin \\alpha &gt; 0$), ale formalnie założenie należy zaznaczyć.</p>"}]}