{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nDany jest trójkąt 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐵| = 11, |𝐵𝐶| = 12 oraz |∡𝐴𝐵𝐶| = 60° (zobacz\nrysunek).\nPole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe\nA. 33\nB. 33√3\nC. 66\nD. 66√3","answer":"B","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n7.4) korzysta z własności funkcji\ntrygonometrycznych w łatwych obliczeniach\ngeometrycznych, w tym ze wzoru na pole\ntrójkąta ostrokątnego o danych dwóch\nbokach i kącie między nimi.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"Odpowiedź: 18.1: D — $\\tan \\alpha = \\dfrac{4}{3}$ • 18.2: A — $\\sin \\beta = \\dfrac{2}{\\sqrt{13}}$\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nKonfiguracja\n\nTrójkąt prostokątny $ABC$:\n\n- kąt prosty przy wierzchołku $A$\n- $BC$ — przeciwprostokątna (naprzeciw kąta prostego)\n- $AB = 6$ — jedna z przyprostokątnych\n- $AC$ — druga przyprostokątna (do obliczenia)\n- $D$ — środek odcinka $AB$ (bo $CD$ to środkowa z $C$ do $AB$), więc $AD = DB = 3$\n- $CD = 5$ — długość środkowej\n\n18.1 — $\\tan \\alpha$, gdzie $\\alpha = \\angle ADC$ (1 pkt)\n\nPatrzymy na trójkąt $ACD$:\n\n- kąt prosty przy $A$ (bo $A$ to wierzchołek kąta prostego $\\triangle ABC$)\n- $AD = 3$ (połowa $AB$)\n- $CD = 5$ (przeciwprostokątna trójkąta $ACD$)\n\nZ twierdzenia Pitagorasa w $\\triangle ACD$ znajdź $AC$:\n\n$$AC^2 + AD^2 = CD^2$$\n\n$$AC^2 + 9 = 25 \\quad\\Rightarrow\\quad AC^2 = 16 \\quad\\Rightarrow\\quad AC = 4$$\n\nTangens kąta $\\alpha$ przy wierzchołku $D$ w $\\triangle ACD$. W trójkącie prostokątnym:\n\n$$\\tan \\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciw}}{\\text{przyprostokątna przyległa}} = \\frac{AC}{AD} = \\frac{4}{3}$$\n\n18.2 — $\\sin \\beta$, gdzie $\\beta = \\angle ABC$ (1 pkt)\n\nTeraz patrzymy na cały trójkąt $ABC$:\n\n- kąt prosty przy $A$\n- $AB = 6$, $AC = 4$ (wyznaczone wyżej)\n- $BC$ = przeciwprostokątna do obliczenia\n\nOblicz $BC$ z twierdzenia Pitagorasa w $\\triangle ABC$:\n\n$$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 36 + 16 = 52$$\n\n$$BC = \\sqrt{52} = 2\\sqrt{13}$$\n\nSinus kąta $\\beta$ przy wierzchołku $B$. Naprzeciw $\\beta$ leży bok $AC$ (przyprostokątna „daleka\" od wierzchołka $B$):\n\n$$\\sin \\beta = \\frac{\\text{naprzeciw}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{AC}{BC} = \\frac{4}{2\\sqrt{13}} = \\frac{2}{\\sqrt{13}}$$\n\nKlucz — środkowa trójkąta prostokątnego\n\nSpecjalna własność: w trójkącie prostokątnym środkowa z wierzchołka kąta prostego ma długość $\\tfrac{1}{2}$ przeciwprostokątnej.\n\n(Bo wierzchołek kąta prostego leży na okręgu o średnicy = przeciwprostokątna, ze środkiem w środku przeciwprostokątnej. Promień to $\\tfrac{1}{2}$ przeciwprostokątnej.)\n\nTutaj jednak środkowa idzie z innego wierzchołka (z $C$ do środka $AB$), więc ta własność nie ma zastosowania. Trzeba zwykłego Pitagorasa.\n\nTypowy błąd: Klucz 18.1: zrozumieć, że \"środkowa CD\" idzie z C do środka AB (a nie odwrotnie). D leży na AB, AD = 3. Klucz 18.2: nie pomylić, który bok jest naprzeciwko kąta β — przeciwprostokątna BC zawiera B, więc naprzeciwko β leży kąt prosty, a przyprostokątna naprzeciw β to AC.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria w trójkącie prostokątnym, środkowa","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 18. (0-1)<br>Dany jest trójkąt 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐵| = 11, |𝐵𝐶| = 12 oraz |∡𝐴𝐵𝐶| = 60° (zobacz<br>rysunek).<br>Pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe<br>A. 33<br>B. 33√3<br>C. 66<br>D. 66√3</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 18. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.<br>Zdający:<br>7.4) korzysta z własności funkcji<br>trygonometrycznych w łatwych obliczeniach<br>geometrycznych, w tym ze wzoru na pole<br>trójkąta ostrokątnego o danych dwóch<br>bokach i kącie między nimi.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>B</p>","solutions":[{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: 18.1: D — $\\tan \\alpha = \\dfrac{4}{3}$ • 18.2: A — $\\sin \\beta = \\dfrac{2}{\\sqrt{13}}$</p>\n<p>Strona arkusza CKE z tym zadaniem</p>\n<p>Konfiguracja</p>\n<p>Trójkąt prostokątny $ABC$:</p>\n<ul><li>kąt prosty przy wierzchołku $A$</li><li>$BC$ — przeciwprostokątna (naprzeciw kąta prostego)</li><li>$AB = 6$ — jedna z przyprostokątnych</li><li>$AC$ — druga przyprostokątna (do obliczenia)</li><li>$D$ — środek odcinka $AB$ (bo $CD$ to środkowa z $C$ do $AB$), więc $AD = DB = 3$</li><li>$CD = 5$ — długość środkowej</li></ul>\n<p>18.1 — $\\tan \\alpha$, gdzie $\\alpha = \\angle ADC$ (1 pkt)</p>\n<p>Patrzymy na trójkąt $ACD$:</p>\n<ul><li>kąt prosty przy $A$ (bo $A$ to wierzchołek kąta prostego $\\triangle ABC$)</li><li>$AD = 3$ (połowa $AB$)</li><li>$CD = 5$ (przeciwprostokątna trójkąta $ACD$)</li></ul>\n<p>Z twierdzenia Pitagorasa w $\\triangle ACD$ znajdź $AC$:</p>\n<p>$$AC^2 + AD^2 = CD^2$$</p>\n<p>$$AC^2 + 9 = 25 \\quad\\Rightarrow\\quad AC^2 = 16 \\quad\\Rightarrow\\quad AC = 4$$</p>\n<p>Tangens kąta $\\alpha$ przy wierzchołku $D$ w $\\triangle ACD$. W trójkącie prostokątnym:</p>\n<p>$$\\tan \\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciw}}{\\text{przyprostokątna przyległa}} = \\frac{AC}{AD} = \\frac{4}{3}$$</p>\n<p>18.2 — $\\sin \\beta$, gdzie $\\beta = \\angle ABC$ (1 pkt)</p>\n<p>Teraz patrzymy na cały trójkąt $ABC$:</p>\n<ul><li>kąt prosty przy $A$</li><li>$AB = 6$, $AC = 4$ (wyznaczone wyżej)</li><li>$BC$ = przeciwprostokątna do obliczenia</li></ul>\n<p>Oblicz $BC$ z twierdzenia Pitagorasa w $\\triangle ABC$:</p>\n<p>$$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 36 + 16 = 52$$</p>\n<p>$$BC = \\sqrt{52} = 2\\sqrt{13}$$</p>\n<p>Sinus kąta $\\beta$ przy wierzchołku $B$. Naprzeciw $\\beta$ leży bok $AC$ (przyprostokątna „daleka&quot; od wierzchołka $B$):</p>\n<p>$$\\sin \\beta = \\frac{\\text{naprzeciw}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{AC}{BC} = \\frac{4}{2\\sqrt{13}} = \\frac{2}{\\sqrt{13}}$$</p>\n<p>Klucz — środkowa trójkąta prostokątnego</p>\n<p>Specjalna własność: w trójkącie prostokątnym środkowa z wierzchołka kąta prostego ma długość $\\tfrac{1}{2}$ przeciwprostokątnej.</p>\n<p>(Bo wierzchołek kąta prostego leży na okręgu o średnicy = przeciwprostokątna, ze środkiem w środku przeciwprostokątnej. Promień to $\\tfrac{1}{2}$ przeciwprostokątnej.)</p>\n<p>Tutaj jednak środkowa idzie z innego wierzchołka (z $C$ do środka $AB$), więc ta własność nie ma zastosowania. Trzeba zwykłego Pitagorasa.</p>\n<p>Typowy błąd: Klucz 18.1: zrozumieć, że &quot;środkowa CD&quot; idzie z C do środka AB (a nie odwrotnie). D leży na AB, AD = 3. Klucz 18.2: nie pomylić, który bok jest naprzeciwko kąta β — przeciwprostokątna BC zawiera B, więc naprzeciwko β leży kąt prosty, a przyprostokątna naprzeciw β to AC.</p>"}]}