{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nW układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) proste 𝑘 oraz 𝑙 są określone równaniami\n𝑘: 𝑦= (𝑚-2)𝑥+ 5\n𝑙: 𝑦= -4𝑥+ (𝑚+ 3)\nProste 𝑘 oraz 𝑙 są równoległe, gdy liczba 𝑚 jest równa\nA. (-4)\nB. (-2)\nC. 2\nD. 5","answer":"B","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n8.2) bada równoległość […] prostych na\npodstawie ich równań kierunkowych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"Odpowiedź: C — $40°$\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nKlucz — dwa fakty\n\n1. Twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym: kąt środkowy oparty na łuku jest dwa razy większy niż kąt wpisany oparty na tym samym łuku.\n2. Trójkąt utworzony z dwóch promieni (i cięciwy) jest równoramienny — kąty przy podstawie są równe.\n\nKąt wpisany $\\angle BCA = 50°$ jest oparty na łuku $AB$ (tym, który nie zawiera $C$).\n\nKąt środkowy $\\angle BOA$ oparty na tym samym łuku jest dwa razy większy:\n\n$$\\angle AOB = 2 \\cdot \\angle BCA = 2 \\cdot 50° = 100°$$\n\nTrójkąt $AOB$ jest równoramienny — bo $OA = OB$ (oba to promienie okręgu). Kąty przy podstawie $AB$ są równe:\n\n$$\\angle OAB = \\angle OBA$$\n\nSuma kątów trójkąta $AOB$ = $180°$:\n\n$$\\angle AOB + \\angle OAB + \\angle OBA = 180°$$\n\n$$100° + 2 \\cdot \\angle OBA = 180°$$\n\n$$2 \\cdot \\angle OBA = 80° \\quad\\Rightarrow\\quad \\angle OBA = 40°$$\n\nKąt $\\angle ABO$ to to samo co $\\angle OBA$ (te same dwa ramiona, ten sam wierzchołek $B$). Więc:\n\n$$\\angle ABO = 40°$$\n\nKlucz uniwersalny\n\nKażde zadanie „okrąg + kąty + środek\" sprowadza się do dwóch reguł:\n\n1. Kąt środkowy = 2 × kąt wpisany (oba oparte na tym samym łuku)\n2. Trójkąt z dwóch promieni jest równoramienny (kąty przy podstawie równe)\n\nTu zastosowaliśmy obie:\n\n- Z reguły 1: $\\angle AOB = 100°$\n- Z reguły 2: $\\angle OAB = \\angle OBA = (180° - 100°) / 2 = 40°$\n\nTo samo rozwiązanie co dla zad 22 z arkusza 2024 maj PP — identyczny schemat, tylko inne liczby.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to wybór D (50°) — pomylenie kąta ABO z kątem ACB. To DWA RÓŻNE kąty: ACB to kąt wpisany trójkąta ABC, a ABO to kąt w trójkącie AOB (gdzie O to środek okręgu).","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria, kąt środkowy i wpisany","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 19. (0-1)<br>W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) proste 𝑘 oraz 𝑙 są określone równaniami<br>𝑘: 𝑦= (𝑚-2)𝑥+ 5<br>𝑙: 𝑦= -4𝑥+ (𝑚+ 3)<br>Proste 𝑘 oraz 𝑙 są równoległe, gdy liczba 𝑚 jest równa<br>A. (-4)<br>B. (-2)<br>C. 2<br>D. 5</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 19. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.<br>Zdający:<br>8.2) bada równoległość […] prostych na<br>podstawie ich równań kierunkowych.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>B</p>","solutions":[{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: C — $40°$</p>\n<p>Strona arkusza CKE z tym zadaniem</p>\n<p>Klucz — dwa fakty</p>\n<ol><li>Twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym: kąt środkowy oparty na łuku jest dwa razy większy niż kąt wpisany oparty na tym samym łuku.</li><li>Trójkąt utworzony z dwóch promieni (i cięciwy) jest równoramienny — kąty przy podstawie są równe.</li></ol>\n<p>Kąt wpisany $\\angle BCA = 50°$ jest oparty na łuku $AB$ (tym, który nie zawiera $C$).</p>\n<p>Kąt środkowy $\\angle BOA$ oparty na tym samym łuku jest dwa razy większy:</p>\n<p>$$\\angle AOB = 2 \\cdot \\angle BCA = 2 \\cdot 50° = 100°$$</p>\n<p>Trójkąt $AOB$ jest równoramienny — bo $OA = OB$ (oba to promienie okręgu). Kąty przy podstawie $AB$ są równe:</p>\n<p>$$\\angle OAB = \\angle OBA$$</p>\n<p>Suma kątów trójkąta $AOB$ = $180°$:</p>\n<p>$$\\angle AOB + \\angle OAB + \\angle OBA = 180°$$</p>\n<p>$$100° + 2 \\cdot \\angle OBA = 180°$$</p>\n<p>$$2 \\cdot \\angle OBA = 80° \\quad\\Rightarrow\\quad \\angle OBA = 40°$$</p>\n<p>Kąt $\\angle ABO$ to to samo co $\\angle OBA$ (te same dwa ramiona, ten sam wierzchołek $B$). Więc:</p>\n<p>$$\\angle ABO = 40°$$</p>\n<p>Klucz uniwersalny</p>\n<p>Każde zadanie „okrąg + kąty + środek&quot; sprowadza się do dwóch reguł:</p>\n<ol><li>Kąt środkowy = 2 × kąt wpisany (oba oparte na tym samym łuku)</li><li>Trójkąt z dwóch promieni jest równoramienny (kąty przy podstawie równe)</li></ol>\n<p>Tu zastosowaliśmy obie:</p>\n<ul><li>Z reguły 1: $\\angle AOB = 100°$</li><li>Z reguły 2: $\\angle OAB = \\angle OBA = (180° - 100°) / 2 = 40°$</li></ul>\n<p>To samo rozwiązanie co dla zad 22 z arkusza 2024 maj PP — identyczny schemat, tylko inne liczby.</p>\n<p>Typowy błąd: Najczęstszy błąd to wybór D (50°) — pomylenie kąta ABO z kątem ACB. To DWA RÓŻNE kąty: ACB to kąt wpisany trójkąta ABC, a ABO to kąt w trójkącie AOB (gdzie O to środek okręgu).</p>"}]}