{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nLiczba (√32 -√2 )\n2 jest równa\nA. 16\nB. 18\nC. 30\nD. 34","answer":"B","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n1.3) posługuje się w obliczeniach\npierwiastkami dowolnego stopnia i stosuje\nprawa działań na pierwiastkach.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\n1 Rozporządzenie Ministra Edukacji Narodowej z dnia 27 sierpnia 2012 r. w sprawie podstawy programowej\nwychowania przedszkolnego oraz kształcenia ogólnego w poszczególnych typach szkół (Dz.U. z 2012 r. poz.\n977, z późn. zm., tj. Dz.U. z 2014 r. poz. 803, Dz.U. z 2016 r. poz. 895).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: B — 31\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nStrategia\n\nWyciągnij wspólny czynnik $5^{12}$ z licznika — wtedy skróci się z mianownikiem.\n\nWyciągnij $5^{12}$ z licznika. Zauważ:\n\n- $5^{13} = 5^{12} \\cdot 5$\n- $5^{14} = 5^{12} \\cdot 5^2 = 5^{12} \\cdot 25$\n\nStąd:\n\n$$5^{12} + 5^{13} + 5^{14} = 5^{12} \\cdot (1 + 5 + 25) = 5^{12} \\cdot 31$$\n\nPodstaw do ułamka i skróć:\n\n$$\\frac{5^{12} + 5^{13} + 5^{14}}{5^{12}} = \\frac{5^{12} \\cdot 31}{5^{12}} = 31$$\n\nKlucz uniwersalny\n\nGdy widzisz sumę potęg tej samej podstawy podzieloną przez potęgę — wyciąganie wspólnego czynnika daje liczbę całkowitą.\n\nWzór ogólny: $\\dfrac{a^n + a^{n+1} + a^{n+2} + \\ldots + a^{n+k}}{a^n} = 1 + a + a^2 + \\ldots + a^k$. Suma w nawiasie to zwykła suma geometryczna — łatwa do policzenia.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to zsumowanie wykładników w mianowniku osobno z każdym wyrazem licznika — $5^{12 - 12} + 5^{13 - 12} + 5^{14 - 12} = 5^0 + 5^1 + 5^2$, ale potem zsumowanie wykładników zamiast liczb (`0 + 1 + 2 = 3`) i wybór A lub błędnego wariantu.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":"potęgi, prawa działań","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 2. (0-1)<br>Liczba (√32 -√2 )<br>2 jest równa<br>A. 16<br>B. 18<br>C. 30<br>D. 34</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 2. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.<br>Zdający:<br>1.3) posługuje się w obliczeniach<br>pierwiastkami dowolnego stopnia i stosuje<br>prawa działań na pierwiastkach.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>B<br>1 Rozporządzenie Ministra Edukacji Narodowej z dnia 27 sierpnia 2012 r. w sprawie podstawy programowej<br>wychowania przedszkolnego oraz kształcenia ogólnego w poszczególnych typach szkół (Dz.U. z 2012 r. poz.<br>977, z późn. zm., tj. Dz.U. z 2014 r. poz. 803, Dz.U. z 2016 r. poz. 895).<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: B — 31</p>\n<p>Strona arkusza CKE z tym zadaniem</p>\n<p>Strategia</p>\n<p>Wyciągnij wspólny czynnik $5^{12}$ z licznika — wtedy skróci się z mianownikiem.</p>\n<p>Wyciągnij $5^{12}$ z licznika. Zauważ:</p>\n<ul><li>$5^{13} = 5^{12} \\cdot 5$</li><li>$5^{14} = 5^{12} \\cdot 5^2 = 5^{12} \\cdot 25$</li></ul>\n<p>Stąd:</p>\n<p>$$5^{12} + 5^{13} + 5^{14} = 5^{12} \\cdot (1 + 5 + 25) = 5^{12} \\cdot 31$$</p>\n<p>Podstaw do ułamka i skróć:</p>\n<p>$$\\frac{5^{12} + 5^{13} + 5^{14}}{5^{12}} = \\frac{5^{12} \\cdot 31}{5^{12}} = 31$$</p>\n<p>Klucz uniwersalny</p>\n<p>Gdy widzisz sumę potęg tej samej podstawy podzieloną przez potęgę — wyciąganie wspólnego czynnika daje liczbę całkowitą.</p>\n<p>Wzór ogólny: $\\dfrac{a^n + a^{n+1} + a^{n+2} + \\ldots + a^{n+k}}{a^n} = 1 + a + a^2 + \\ldots + a^k$. Suma w nawiasie to zwykła suma geometryczna — łatwa do policzenia.</p>\n<p>Typowy błąd: Najczęstszy błąd to zsumowanie wykładników w mianowniku osobno z każdym wyrazem licznika — $5^{12 - 12} + 5^{13 - 12} + 5^{14 - 12} = 5^0 + 5^1 + 5^2$, ale potem zsumowanie wykładników zamiast liczb (<code>0 + 1 + 2 = 3</code>) i wybór A lub błędnego wariantu.</p>"}]}