{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nW układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest kwadrat 𝐴𝐵𝐶𝐷, w którym 𝐴= (4, -1).\nPrzekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie 𝑆= (1, 3).\nPrzekątna kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 ma długość\nA. 5\nB. 7\nC. 10\nD. 14\n60°\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n11\n12\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"C","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\n8.6) oblicza odległość dwóch punktów.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: B — $|BD| = 2{,}25 = \\dfrac{9}{4}$\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nKlucz — co znaczy \"trójkąty podobne ABC ~ BDA\"?\n\nNotacja $\\triangle ABC \\sim \\triangle BDA$ oznacza, że odpowiadające sobie wierzchołki są w tej samej kolejności:\n\n$$A \\leftrightarrow B, \\quad B \\leftrightarrow D, \\quad C \\leftrightarrow A$$\n\nA więc odpowiadające sobie boki:\n\n- bok $AB$ (między A i B) ↔ bok $BD$ (między B i D)\n- bok $BC$ (między B i C) ↔ bok $DA$ (między D i A)\n- bok $AC$ (między A i C) ↔ bok $BA$ (między B i A)\n\nZ podobieństwa wynika, że stosunki boków odpowiadających są równe:\n\n$$\\frac{|AB|}{|BD|} = \\frac{|BC|}{|DA|} = \\frac{|AC|}{|BA|}$$\n\nPodstaw znane długości ($|AC| = 4$, $|AB| = 3$, $|BC| = 4$) do pierwszej i ostatniej proporcji:\n\n$$\\frac{|AB|}{|BD|} = \\frac{|AC|}{|BA|}$$\n\n$$\\frac{3}{|BD|} = \\frac{4}{3}$$\n\nRozwiąż na $|BD|$:\n\n$$|BD| = \\frac{3 \\cdot 3}{4} = \\frac{9}{4} = 2{,}25$$\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to przyjęcie złej kolejności wierzchołków w podobieństwie. ABC ~ BDA oznacza A↔B, B↔D, C↔A — z tego wynika konkretna proporcja boków. Pomylenie kolejności daje inne równanie i inny wynik.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria, podobieństwo trójkątów","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 20. (0-1)
W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest kwadrat 𝐴𝐵𝐶𝐷, w którym 𝐴= (4, -1).
Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie 𝑆= (1, 3).
Przekątna kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 ma długość
A. 5
B. 7
C. 10
D. 14
60°
𝐴
𝐵
𝐶
11
12

\n

EMAP-P0_100
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

EMAP-P0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 20. (0-1)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
V. Rozumowanie i argumentacja.
Zdający:
8.6) oblicza odległość dwóch punktów.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
C
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Odpowiedź: B — $|BD| = 2{,}25 = \\dfrac{9}{4}$

\n

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

\n

Klucz — co znaczy "trójkąty podobne ABC ~ BDA"?

\n

Notacja $\\triangle ABC \\sim \\triangle BDA$ oznacza, że odpowiadające sobie wierzchołki są w tej samej kolejności:

\n

$$A \\leftrightarrow B, \\quad B \\leftrightarrow D, \\quad C \\leftrightarrow A$$

\n

A więc odpowiadające sobie boki:

\n\n

Z podobieństwa wynika, że stosunki boków odpowiadających są równe:

\n

$$\\frac{|AB|}{|BD|} = \\frac{|BC|}{|DA|} = \\frac{|AC|}{|BA|}$$

\n

Podstaw znane długości ($|AC| = 4$, $|AB| = 3$, $|BC| = 4$) do pierwszej i ostatniej proporcji:

\n

$$\\frac{|AB|}{|BD|} = \\frac{|AC|}{|BA|}$$

\n

$$\\frac{3}{|BD|} = \\frac{4}{3}$$

\n

Rozwiąż na $|BD|$:

\n

$$|BD| = \\frac{3 \\cdot 3}{4} = \\frac{9}{4} = 2{,}25$$

\n

Typowy błąd: Najczęstszy błąd to przyjęcie złej kolejności wierzchołków w podobieństwie. ABC ~ BDA oznacza A↔B, B↔D, C↔A — z tego wynika konkretna proporcja boków. Pomylenie kolejności daje inne równanie i inny wynik.

"}]}