{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nObjętość sześcianu jest równa 729.\nDługość przekątnej tego sześcianu jest równa\nA. 9√3\nB. 9√2\nC. 3√3\nD. 3√2","answer":"A","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\nG11.2) oblicza […] objętość graniastosłupa\nprostego […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"Odpowiedź: (1) F (nie jest równoramienny) • (2) P (pole = 33√3) — czyli **F P**\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nKlucz — dwa wzory na trójkąt\n\nDla dowolnego trójkąta o bokach $a$, $b$ i kącie $\\gamma$ między nimi:\n\n- Twierdzenie cosinusów: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \\cos \\gamma$ (trzeci bok)\n- Pole: $P = \\dfrac{1}{2} ab \\sin \\gamma$\n\nTu mamy $a = |AB| = 11$, $b = |BC| = 12$, $\\gamma = \\angle ABC = 60°$ (kąt między tymi bokami). Trzeci bok to $|AC|$.\n\nStwierdzenie (1) — czy trójkąt równoramienny?\n\nOblicz $|AC|$ z twierdzenia cosinusów.\n\n$$|AC|^2 = 11^2 + 12^2 - 2 \\cdot 11 \\cdot 12 \\cdot \\cos 60°$$\n\n$$|AC|^2 = 121 + 144 - 264 \\cdot \\frac{1}{2} = 265 - 132 = 133$$\n\n$$|AC| = \\sqrt{133} \\approx 11{,}53$$\n\nSprawdź, czy są dwa równe boki. Boki: $11$, $12$, $\\sqrt{133}$.\n\n$\\sqrt{133} \\approx 11{,}53$ — nie równa się ani $11$, ani $12$. Trójkąt NIE jest równoramienny.\n\nStwierdzenie (1): FAŁSZ.\n\nStwierdzenie (2) — czy pole = $33\\sqrt{3}$?\n\nZastosuj wzór na pole z dwóch boków i kąta między nimi:\n\n$$P = \\frac{1}{2} \\cdot 11 \\cdot 12 \\cdot \\sin 60° = \\frac{1}{2} \\cdot 132 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}$$\n\n$$P = 66 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 33\\sqrt{3}$$\n\nStwierdzenie (2): PRAWDA.\n\nKlucz pamięciowy — $\\sin 60° = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}$\n\nWartość $\\sin 60° = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}$ jest najczęściej testowana w trójkątach 60°-ch. Pojawia się też w trójkątach równobocznych (każdy kąt 60°) i wielu zadaniach geometrycznych.\n\nRazem z $\\sin 30° = \\tfrac{1}{2}$ i $\\sin 45° = \\tfrac{\\sqrt{2}}{2}$ tworzy zestaw obowiązkowy do zapamiętania.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd w (1): zakładanie, że ABC jest równoramienny \"bo dwa boki blisko siebie wartością\" (11 i 12). Trzeba OBLICZYĆ trzeci bok i sprawdzić. W (2): pomylenie wzoru na pole — używać sinusa kąta MIĘDZY danymi bokami.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria, twierdzenie cosinusów, pole trójkąta","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 21. (0-1)<br>Objętość sześcianu jest równa 729.<br>Długość przekątnej tego sześcianu jest równa<br>A. 9√3<br>B. 9√2<br>C. 3√3<br>D. 3√2</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 21. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.<br>Zdający:<br>G11.2) oblicza […] objętość graniastosłupa<br>prostego […].<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>A</p>","solutions":[{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: (1) F (nie jest równoramienny) • (2) P (pole = 33√3) — czyli <strong>F P</strong></p>\n<p>Strona arkusza CKE z tym zadaniem</p>\n<p>Klucz — dwa wzory na trójkąt</p>\n<p>Dla dowolnego trójkąta o bokach $a$, $b$ i kącie $\\gamma$ między nimi:</p>\n<ul><li>Twierdzenie cosinusów: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \\cos \\gamma$ (trzeci bok)</li><li>Pole: $P = \\dfrac{1}{2} ab \\sin \\gamma$</li></ul>\n<p>Tu mamy $a = |AB| = 11$, $b = |BC| = 12$, $\\gamma = \\angle ABC = 60°$ (kąt między tymi bokami). Trzeci bok to $|AC|$.</p>\n<p>Stwierdzenie (1) — czy trójkąt równoramienny?</p>\n<p>Oblicz $|AC|$ z twierdzenia cosinusów.</p>\n<p>$$|AC|^2 = 11^2 + 12^2 - 2 \\cdot 11 \\cdot 12 \\cdot \\cos 60°$$</p>\n<p>$$|AC|^2 = 121 + 144 - 264 \\cdot \\frac{1}{2} = 265 - 132 = 133$$</p>\n<p>$$|AC| = \\sqrt{133} \\approx 11{,}53$$</p>\n<p>Sprawdź, czy są dwa równe boki. Boki: $11$, $12$, $\\sqrt{133}$.</p>\n<p>$\\sqrt{133} \\approx 11{,}53$ — nie równa się ani $11$, ani $12$. Trójkąt NIE jest równoramienny.</p>\n<p>Stwierdzenie (1): FAŁSZ.</p>\n<p>Stwierdzenie (2) — czy pole = $33\\sqrt{3}$?</p>\n<p>Zastosuj wzór na pole z dwóch boków i kąta między nimi:</p>\n<p>$$P = \\frac{1}{2} \\cdot 11 \\cdot 12 \\cdot \\sin 60° = \\frac{1}{2} \\cdot 132 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}$$</p>\n<p>$$P = 66 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 33\\sqrt{3}$$</p>\n<p>Stwierdzenie (2): PRAWDA.</p>\n<p>Klucz pamięciowy — $\\sin 60° = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}$</p>\n<p>Wartość $\\sin 60° = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}$ jest najczęściej testowana w trójkątach 60°-ch. Pojawia się też w trójkątach równobocznych (każdy kąt 60°) i wielu zadaniach geometrycznych.</p>\n<p>Razem z $\\sin 30° = \\tfrac{1}{2}$ i $\\sin 45° = \\tfrac{\\sqrt{2}}{2}$ tworzy zestaw obowiązkowy do zapamiętania.</p>\n<p>Typowy błąd: Najczęstszy błąd w (1): zakładanie, że ABC jest równoramienny &quot;bo dwa boki blisko siebie wartością&quot; (11 i 12). Trzeba OBLICZYĆ trzeci bok i sprawdzić. W (2): pomylenie wzoru na pole — używać sinusa kąta MIĘDZY danymi bokami.</p>"}]}