{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nWszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym\nwystępuje dokładnie jeden raz cyfra 0, jest\nA. 45\nB. 50\nC. 54\nD. 81","answer":"A","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n10.2) zlicza obiekty w prostych sytuacjach\nkombinatorycznych, niewymagających\nużycia wzorów kombinatorycznych, stosuje\nregułę mnożenia i regułę dodawania.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"Odpowiedź: B — $m = -2$\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nKlucz teoretyczny\n\nDwie proste $y = a_1 x + b_1$ i $y = a_2 x + b_2$ są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy:\n\n$$a_1 = a_2 \\quad\\text{oraz}\\quad b_1 \\neq b_2$$\n\n(równe współczynniki kierunkowe, różne wyrazy wolne — gdyby były równe, proste pokrywałyby się, nie były „równoległe\" w ścisłym sensie).\n\nZidentyfikuj współczynniki kierunkowe.\n\n- $k$: $a_1 = m - 2$\n- $l$: $a_2 = -4$\n\nZastosuj warunek równoległości $a_1 = a_2$:\n\n$$m - 2 = -4 \\quad\\Rightarrow\\quad m = -2$$\n\nSprawdź, czy wyrazy wolne są różne dla $m = -2$.\n\n- $k$: $b_1 = 5$\n- $l$: $b_2 = m + 3 = -2 + 3 = 1$\n\n$5 \\neq 1$ ✓ — proste są różne, więc rzeczywiście równoległe (a nie pokrywające się).\n\nSprawdzenie graficzne\n\nDla $m = -2$:\n\n- $k$: $y = -4x + 5$ (przecina $OY$ w $(0, 5)$, opadająca)\n- $l$: $y = -4x + 1$ (przecina $OY$ w $(0, 1)$, opadająca)\n\nObie mają to samo nachylenie ($-4$), różne wysokości startowe — geometrycznie to dwie proste równoległe, jedna 4 jednostki nad drugą. Idealnie pasuje.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to pomylenie warunku równoległości z warunkiem prostopadłości. Równoległe → współczynniki kierunkowe RÓWNE. Prostopadłe → iloczyn współczynników = -1.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":null,"topics":"geometria analityczna, proste równoległe","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 23. (0-1)<br>Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym<br>występuje dokładnie jeden raz cyfra 0, jest<br>A. 45<br>B. 50<br>C. 54<br>D. 81</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 23. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Modelowanie matematyczne.<br>Zdający:<br>10.2) zlicza obiekty w prostych sytuacjach<br>kombinatorycznych, niewymagających<br>użycia wzorów kombinatorycznych, stosuje<br>regułę mnożenia i regułę dodawania.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>A</p>","solutions":[{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: B — $m = -2$</p>\n<p>Strona arkusza CKE z tym zadaniem</p>\n<p>Klucz teoretyczny</p>\n<p>Dwie proste $y = a_1 x + b_1$ i $y = a_2 x + b_2$ są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy:</p>\n<p>$$a_1 = a_2 \\quad\\text{oraz}\\quad b_1 \\neq b_2$$</p>\n<p>(równe współczynniki kierunkowe, różne wyrazy wolne — gdyby były równe, proste pokrywałyby się, nie były „równoległe&quot; w ścisłym sensie).</p>\n<p>Zidentyfikuj współczynniki kierunkowe.</p>\n<ul><li>$k$: $a_1 = m - 2$</li><li>$l$: $a_2 = -4$</li></ul>\n<p>Zastosuj warunek równoległości $a_1 = a_2$:</p>\n<p>$$m - 2 = -4 \\quad\\Rightarrow\\quad m = -2$$</p>\n<p>Sprawdź, czy wyrazy wolne są różne dla $m = -2$.</p>\n<ul><li>$k$: $b_1 = 5$</li><li>$l$: $b_2 = m + 3 = -2 + 3 = 1$</li></ul>\n<p>$5 \\neq 1$ ✓ — proste są różne, więc rzeczywiście równoległe (a nie pokrywające się).</p>\n<p>Sprawdzenie graficzne</p>\n<p>Dla $m = -2$:</p>\n<ul><li>$k$: $y = -4x + 5$ (przecina $OY$ w $(0, 5)$, opadająca)</li><li>$l$: $y = -4x + 1$ (przecina $OY$ w $(0, 1)$, opadająca)</li></ul>\n<p>Obie mają to samo nachylenie ($-4$), różne wysokości startowe — geometrycznie to dwie proste równoległe, jedna 4 jednostki nad drugą. Idealnie pasuje.</p>\n<p>Typowy błąd: Najczęstszy błąd to pomylenie warunku równoległości z warunkiem prostopadłości. Równoległe → współczynniki kierunkowe RÓWNE. Prostopadłe → iloczyn współczynników = -1.</p>"}]}