{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nŚrednia arytmetyczna siedmiu liczb: 1, 2, 3, 4, 5, 𝑥, 𝑦, jest równa 3.\nSuma 𝑥+ 𝑦 jest równa\nA. 4\nB. 5\nC. 6\nD. 7\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"C","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\nG9.4) wyznacza średnią arytmetyczną […]\nzestawu danych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZADANIA OTWARTE\nUwagi ogólne:\n1. Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki\nzadania.\n2. Jeżeli zdający poprawnie rozwiąże zadanie i otrzyma poprawny wynik, lecz w końcowym\nzapisie przekształca ten wynik i popełnia przy tym błąd, to może uzyskać maksymalną\nliczbę punktów.\n3. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe, które na żadnym etapie rozwiązania nie\nupraszczają i nie zmieniają danego zagadnienia, lecz stosuje poprawną metodę\ni konsekwentnie do popełnionych błędów rachunkowych rozwiązuje zadanie, to może\notrzymać co najwyżej (𝑛-1) punktów (gdzie 𝑛 jest maksymalną możliwą do uzyskania\nliczbą punktów za dane zadanie).","solution":"Odpowiedź: $V = 64\\pi$\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nKlucz — co to \"kąt rozwarcia stożka\"?\n\nKąt rozwarcia stożka to kąt przy wierzchołku w przekroju osiowym — czyli kąt między dwiema przeciwległymi tworzącymi widziany od wierzchołka.\n\nJeśli kąt rozwarcia to $2\\alpha$, to połowa tego kąta to kąt między tworzącą a osią stożka (czyli wysokością):\n\n$$\\alpha = \\frac{\\text{kąt rozwarcia}}{2} = \\frac{120°}{2} = 60°$$\n\nZ trójkąta prostokątnego utworzonego przez:\n\n- oś stożka (wysokość $h$) — pionowa\n- promień podstawy ($r$) — poziomy\n- tworzącą ($l = 8$) — przeciwprostokątna\n\nmamy:\n\n$$\\sin \\alpha = \\frac{r}{l}, \\qquad \\cos \\alpha = \\frac{h}{l}$$\n\nOblicz promień podstawy. $\\alpha = 60°$, $l = 8$.\n\n$$r = l \\sin \\alpha = 8 \\sin 60° = 8 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 4\\sqrt{3}$$\n\nOblicz wysokość.\n\n$$h = l \\cos \\alpha = 8 \\cos 60° = 8 \\cdot \\frac{1}{2} = 4$$\n\nSprawdź Pitagorasem. $r^2 + h^2 = 48 + 16 = 64 = 8^2 = l^2$ ✓\n\nZastosuj wzór na objętość stożka:\n\n$$V = \\frac{1}{3} \\pi r^2 h = \\frac{1}{3} \\pi \\cdot 48 \\cdot 4 = \\frac{192 \\pi}{3} = 64\\pi$$\n\nPunktacja CKE (typowa dla zadań na 3 pkt z obliczeniami)\n\n- 1 pkt — wyznaczenie kąta między tworzącą a osią (lub między tworzącą a podstawą) oraz/lub jednego z parametrów ($r$ lub $h$).\n- 2 pkt — wyznaczenie obu $r$ i $h$.\n- 3 pkt — pełna metoda + wynik $V = 64\\pi$.\n\nKlucz uniwersalny — stożek\n\nKażde zadanie o stożku ma trzy podstawowe wielkości:\n\n- $l$ — tworząca\n- $r$ — promień podstawy\n- $h$ — wysokość\n\nZwiązek Pitagorasem: $l^2 = r^2 + h^2$. Wystarczy znać dwie, żeby obliczyć trzecią.\n\nKąt rozwarcia $2\\alpha$ daje dodatkową relację: $\\sin \\alpha = r/l$, $\\cos \\alpha = h/l$. Jeśli wiesz tylko $l$ i kąt, dostajesz wszystko.\n\nWzory: $V = \\tfrac{1}{3}\\pi r^2 h$, pole boczne $P_b = \\pi r l$, pole całkowite $P = \\pi r (r + l)$.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to pomyłka co to jest \"kąt rozwarcia\". To kąt MIĘDZY DWIEMA TWORZĄCYMI w przekroju osiowym (płaszczyzna przez wierzchołek prostopadła do podstawy). Połowa tego kąta to kąt między tworzącą a osią stożka.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria, stożek, objętość","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 25. (0-1)<br>Średnia arytmetyczna siedmiu liczb: 1, 2, 3, 4, 5, 𝑥, 𝑦, jest równa 3.<br>Suma 𝑥+ 𝑦 jest równa<br>A. 4<br>B. 5<br>C. 6<br>D. 7</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>EMAP-P0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 25. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.<br>Zdający:<br>G9.4) wyznacza średnią arytmetyczną […]<br>zestawu danych.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>C<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>ZADANIA OTWARTE<br>Uwagi ogólne:</p>\n<ol><li>Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki</li></ol>\n<p>zadania.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający poprawnie rozwiąże zadanie i otrzyma poprawny wynik, lecz w końcowym</li></ol>\n<p>zapisie przekształca ten wynik i popełnia przy tym błąd, to może uzyskać maksymalną<br>liczbę punktów.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe, które na żadnym etapie rozwiązania nie</li></ol>\n<p>upraszczają i nie zmieniają danego zagadnienia, lecz stosuje poprawną metodę<br>i konsekwentnie do popełnionych błędów rachunkowych rozwiązuje zadanie, to może<br>otrzymać co najwyżej (𝑛-1) punktów (gdzie 𝑛 jest maksymalną możliwą do uzyskania<br>liczbą punktów za dane zadanie).</p>","solutions":[{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: $V = 64\\pi$</p>\n<p>Strona arkusza CKE z tym zadaniem</p>\n<p>Klucz — co to &quot;kąt rozwarcia stożka&quot;?</p>\n<p>Kąt rozwarcia stożka to kąt przy wierzchołku w przekroju osiowym — czyli kąt między dwiema przeciwległymi tworzącymi widziany od wierzchołka.</p>\n<p>Jeśli kąt rozwarcia to $2\\alpha$, to połowa tego kąta to kąt między tworzącą a osią stożka (czyli wysokością):</p>\n<p>$$\\alpha = \\frac{\\text{kąt rozwarcia}}{2} = \\frac{120°}{2} = 60°$$</p>\n<p>Z trójkąta prostokątnego utworzonego przez:</p>\n<ul><li>oś stożka (wysokość $h$) — pionowa</li><li>promień podstawy ($r$) — poziomy</li><li>tworzącą ($l = 8$) — przeciwprostokątna</li></ul>\n<p>mamy:</p>\n<p>$$\\sin \\alpha = \\frac{r}{l}, \\qquad \\cos \\alpha = \\frac{h}{l}$$</p>\n<p>Oblicz promień podstawy. $\\alpha = 60°$, $l = 8$.</p>\n<p>$$r = l \\sin \\alpha = 8 \\sin 60° = 8 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 4\\sqrt{3}$$</p>\n<p>Oblicz wysokość.</p>\n<p>$$h = l \\cos \\alpha = 8 \\cos 60° = 8 \\cdot \\frac{1}{2} = 4$$</p>\n<p>Sprawdź Pitagorasem. $r^2 + h^2 = 48 + 16 = 64 = 8^2 = l^2$ ✓</p>\n<p>Zastosuj wzór na objętość stożka:</p>\n<p>$$V = \\frac{1}{3} \\pi r^2 h = \\frac{1}{3} \\pi \\cdot 48 \\cdot 4 = \\frac{192 \\pi}{3} = 64\\pi$$</p>\n<p>Punktacja CKE (typowa dla zadań na 3 pkt z obliczeniami)</p>\n<ul><li>1 pkt — wyznaczenie kąta między tworzącą a osią (lub między tworzącą a podstawą) oraz/lub jednego z parametrów ($r$ lub $h$).</li><li>2 pkt — wyznaczenie obu $r$ i $h$.</li><li>3 pkt — pełna metoda + wynik $V = 64\\pi$.</li></ul>\n<p>Klucz uniwersalny — stożek</p>\n<p>Każde zadanie o stożku ma trzy podstawowe wielkości:</p>\n<ul><li>$l$ — tworząca</li><li>$r$ — promień podstawy</li><li>$h$ — wysokość</li></ul>\n<p>Związek Pitagorasem: $l^2 = r^2 + h^2$. Wystarczy znać dwie, żeby obliczyć trzecią.</p>\n<p>Kąt rozwarcia $2\\alpha$ daje dodatkową relację: $\\sin \\alpha = r/l$, $\\cos \\alpha = h/l$. Jeśli wiesz tylko $l$ i kąt, dostajesz wszystko.</p>\n<p>Wzory: $V = \\tfrac{1}{3}\\pi r^2 h$, pole boczne $P_b = \\pi r l$, pole całkowite $P = \\pi r (r + l)$.</p>\n<p>Typowy błąd: Najczęstszy błąd to pomyłka co to jest &quot;kąt rozwarcia&quot;. To kąt MIĘDZY DWIEMA TWORZĄCYMI w przekroju osiowym (płaszczyzna przez wierzchołek prostopadła do podstawy). Połowa tego kąta to kąt między tworzącą a osią stożka.</p>"}]}