{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-2)\nRozwiąż nierówność\n3(2𝑥2 + 1) < 11𝑥\n\nEMAP-P0_100","answer":"A — $9\\sqrt{3}$","answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n3.5) rozwiązuje nierówności kwadratowe\nz jedną niewiadomą.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i zapisanie zbioru rozwiązań nierówności:\n𝑥∈(1\n3 , 3\n2)\nALBO\n- zastosowanie poprawnej metody i przedstawienie zbioru rozwiązań nierówności\nw postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziału, np.\n1 pkt - obliczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego 6𝑥2 -11𝑥+ 3:\n𝑥1 = 1\n3 oraz 𝑥2 = 3\n2\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający, obliczając pierwiastki trójmianu 6𝑥2 -11𝑥+ 3, popełni błędy (ale otrzyma\ndwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionych błędów zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego, w przypadku gdy błędnie\nobliczony przez zdającego wyróżnik Δ jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\n1\n3\n3\n2\n𝑥\n3. Jeżeli zdający rozpatruje inny niż podany w zadaniu trójmian kwadratowy, który nie wynika\nz błędu przekształcenia (np. 3(2𝑥2 + 1)), i w konsekwencji rozpatruje inną nierówność\n(np. 3(2𝑥2 + 1) < 0), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n4. Jeżeli zdający poda zbiór rozwiązań w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziału i jednocześnie zapisze niewłaściwy przedział jako zbiór rozwiązań\n(np. 𝑥∈[1\n3, 3\n2]), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający spełni kryterium za 1 punkt, a następnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nw postaci (3\n2 , 1\n3), to otrzymuje 2 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZapisujemy nierówność w postaci 6𝑥2 -11𝑥+ 3 < 0 i obliczamy miejsca zerowe funkcji\n𝑦= 6𝑥2 -11𝑥+ 3.\nObliczamy wyróżnik trójmianu 6𝑥2 -11𝑥+ 3:\nΔ = (-11)2 -4 ⋅6 ⋅3 = 49\nStąd\n𝑥1 = -(-11) -√49\n2 ⋅6\n= 1\n3\n𝑥2 = -(-11) + √49\n2 ⋅6\n= 3\n2\nSzkicujemy wykres funkcji 𝑦= 6𝑥2 -11𝑥+ 3.\nOdczytujemy argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne.\nZbiorem rozwiązań nierówności jest przedział (1\n3 , 3\n2).\n1\n3\n3\n2\n𝑥\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: A — $9\\sqrt{3}$\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nKlucz — sześcian i jego przekątne\n\nSześcian o boku $a$ ma:\n\n- Objętość: $V = a^3$\n- Przekątna ściany (na jednej ścianie, łączy przeciwległe wierzchołki kwadratu): $d_{\\text{ściana}} = a\\sqrt{2}$\n- Przekątna sześcianu (przez wnętrze, łączy przeciwległe wierzchołki bryły): $d_{\\text{sześcian}} = a\\sqrt{3}$\n\nWzór $a\\sqrt{3}$ pochodzi z dwukrotnego zastosowania Pitagorasa: najpierw na ścianie ($d_1 = a\\sqrt{2}$), potem do wysokości ($d^2 = d_1^2 + a^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2$).\n\nOblicz bok sześcianu z objętości:\n\n$$a^3 = 729 \\quad\\Rightarrow\\quad a = \\sqrt[3]{729} = 9$$\n\n(bo $9^3 = 729$).\n\nZastosuj wzór na przekątną sześcianu:\n\n$$d = a\\sqrt{3} = 9\\sqrt{3}$$\n\nKlucz pamięciowy\n\nBryła | Bok | Przekątna ściany | Przekątna bryły\nKwadrat (2D) | $a$ | — | $a\\sqrt{2}$\nSześcian (3D) | $a$ | $a\\sqrt{2}$ | $a\\sqrt{3}$\nProstopadłościan $a \\times b \\times c$ | — | — | $\\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$\n\nWzór $\\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ to uogólnienie, działa zawsze. Dla sześcianu $a = b = c$, więc $\\sqrt{3a^2} = a\\sqrt{3}$. Wzór znaleziony.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to pomylenie przekątnej sześcianu z przekątną ściany. Przekątna sześcianu (3D, łączy przeciwległe wierzchołki przez wnętrze) = $a\\sqrt{3}$. Przekątna ściany (2D, na jednej ścianie) = $a\\sqrt{2}$. Pytanie zwykle o tę 3D.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria, sześcian, przekątna","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":"maturaonline","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 26. (0-2)
Rozwiąż nierówność
3(2𝑥2 + 1) < 11𝑥

\n

EMAP-P0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 26. (0-2)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
II. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
Zdający:
3.5) rozwiązuje nierówności kwadratowe
z jedną niewiadomą.
Zasady oceniania
2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i zapisanie zbioru rozwiązań nierówności:
𝑥∈(1
3 , 3
2)
ALBO

\n\n

w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziału, np.
1 pkt - obliczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego 6𝑥2 -11𝑥+ 3:
𝑥1 = 1
3 oraz 𝑥2 = 3
2
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający, obliczając pierwiastki trójmianu 6𝑥2 -11𝑥+ 3, popełni błędy (ale otrzyma
\n

dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionych błędów zapisze zbiór rozwiązań
nierówności, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego, w przypadku gdy błędnie
\n

obliczony przez zdającego wyróżnik Δ jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe
rozwiązanie.
1
3
3
2
𝑥

\n
  1. Jeżeli zdający rozpatruje inny niż podany w zadaniu trójmian kwadratowy, który nie wynika
\n

z błędu przekształcenia (np. 3(2𝑥2 + 1)), i w konsekwencji rozpatruje inną nierówność
(np. 3(2𝑥2 + 1) < 0), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający poda zbiór rozwiązań w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi
\n

końcami przedziału i jednocześnie zapisze niewłaściwy przedział jako zbiór rozwiązań
(np. 𝑥∈[1
3, 3
2]), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
Jeśli zdający spełni kryterium za 1 punkt, a następnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności
w postaci (3
2 , 1
3), to otrzymuje 2 punkty.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Zapisujemy nierówność w postaci 6𝑥2 -11𝑥+ 3 < 0 i obliczamy miejsca zerowe funkcji
𝑦= 6𝑥2 -11𝑥+ 3.
Obliczamy wyróżnik trójmianu 6𝑥2 -11𝑥+ 3:
Δ = (-11)2 -4 ⋅6 ⋅3 = 49
Stąd
𝑥1 = -(-11) -√49
2 ⋅6
= 1
3
𝑥2 = -(-11) + √49
2 ⋅6
= 3
2
Szkicujemy wykres funkcji 𝑦= 6𝑥2 -11𝑥+ 3.
Odczytujemy argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne.
Zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział (1
3 , 3
2).
1
3
3
2
𝑥
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Odpowiedź: A — $9\\sqrt{3}$

\n

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

\n

Klucz — sześcian i jego przekątne

\n

Sześcian o boku $a$ ma:

\n\n

Wzór $a\\sqrt{3}$ pochodzi z dwukrotnego zastosowania Pitagorasa: najpierw na ścianie ($d_1 = a\\sqrt{2}$), potem do wysokości ($d^2 = d_1^2 + a^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2$).

\n

Oblicz bok sześcianu z objętości:

\n

$$a^3 = 729 \\quad\\Rightarrow\\quad a = \\sqrt[3]{729} = 9$$

\n

(bo $9^3 = 729$).

\n

Zastosuj wzór na przekątną sześcianu:

\n

$$d = a\\sqrt{3} = 9\\sqrt{3}$$

\n

Klucz pamięciowy

\n

Bryła | Bok | Przekątna ściany | Przekątna bryły
Kwadrat (2D) | $a$ | — | $a\\sqrt{2}$
Sześcian (3D) | $a$ | $a\\sqrt{2}$ | $a\\sqrt{3}$
Prostopadłościan $a \\times b \\times c$ | — | — | $\\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

\n

Wzór $\\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ to uogólnienie, działa zawsze. Dla sześcianu $a = b = c$, więc $\\sqrt{3a^2} = a\\sqrt{3}$. Wzór znaleziony.

\n

Typowy błąd: Najczęstszy błąd to pomylenie przekątnej sześcianu z przekątną ściany. Przekątna sześcianu (3D, łączy przeciwległe wierzchołki przez wnętrze) = $a\\sqrt{3}$. Przekątna ściany (2D, na jednej ścianie) = $a\\sqrt{2}$. Pytanie zwykle o tę 3D.

"}]}