Zadanie 27. (0-2)
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠0 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦
prawdziwa jest nierówność
5𝑥2 + 2𝑦2 > 2𝑥𝑦
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
26.
27.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt
EMAP-P0_100
","answer_text_html":"Zadanie 27. (0-2)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
V. Rozumowanie i argumentacja.
Zdający:
2.1) używa wzorów skróconego mnożenia
na (𝑎± 𝑏)2 oraz 𝑎2 -𝑏2.
Zasady oceniania
2 pkt - przekształcenie nierówności 5𝑥2 + 2𝑦2 > 2𝑥𝑦 do postaci 4𝑥2 + (𝑥-𝑦)2 + 𝑦2 > 0
oraz powołanie się na założenie i stwierdzenie, że 4𝑥2 jest liczbą dodatnią i suma
4𝑥2 + (𝑥-𝑦)2 + 𝑦2 jest liczbą dodatnią
oraz powołanie się na założenie i stwierdzenie, że przynajmniej jeden ze składników
(2𝑥-𝑦)2 lub (𝑥+ 𝑦)2 jest liczbą dodatnią i suma (2𝑥-𝑦)2 + (𝑥+ 𝑦)2 jest
liczbą dodatnią,
ALBO
uzasadnienie, że jest on niedodatni, oraz uzasadnienie prawdziwości nierówności
5𝑥2 + 2𝑦2 > 2𝑥𝑦 dla 𝑦= 0,
ALBO
uzasadnienie, że ten wyróżnik jest ujemny dla każdego 𝑥≠0.
1 pkt - przekształcenie nierówności 5𝑥2 + 2𝑦2 > 2𝑥𝑦 do postaci 4𝑥2 + (𝑥-𝑦)2 + 𝑦2 > 0
ALBO
ALBO
\nΔ = -36𝑦2,
ALBO
Δ = -36𝑥2.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga:
Jeśli zdający sprawdza prawdziwość nierówności tylko dla wybranych wartości 𝑥 i 𝑦, to
otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Przekształcamy nierówność 5𝑥2 + 2𝑦2 > 2𝑥𝑦 w sposób równoważny:
5𝑥2 -2𝑥𝑦+ 2𝑦2 > 0
4𝑥2 + 𝑥2 -2𝑥𝑦+ 𝑦2 + 𝑦2 > 0
4𝑥2 + (𝑥-𝑦)2 + 𝑦2 > 0
Z założenia wiadomo, że 𝑥≠0, więc 4𝑥2 jest liczbą dodatnią. Liczby (𝑥-𝑦)2 oraz 𝑦2
są nieujemne, zatem suma 4𝑥2 + (𝑥-𝑦)2 + 𝑦2 jest liczbą dodatnią.
To należało wykazać.
Sposób II
Przekształcamy nierówność 5𝑥2 + 2𝑦2 > 2𝑥𝑦 w sposób równoważny:
5𝑥2 -2𝑥𝑦+ 2𝑦2 > 0
4𝑥2 + 𝑥2 -4𝑥𝑦+ 2𝑥𝑦+ 𝑦2 + 𝑦2 > 0
4𝑥2 -4𝑥𝑦+ 𝑦2 + 𝑥2 + 2𝑥𝑦+ 𝑦2 > 0
(2𝑥-𝑦)2 + (𝑥+ 𝑦)2 > 0
Z założenia wiadomo, że 𝑥≠0, więc przynajmniej jeden ze składników (2𝑥-𝑦)2 lub
(𝑥+ 𝑦)2 jest liczbą dodatnią, zatem suma (2𝑥-𝑦)2 + (𝑥+ 𝑦)2 jest liczbą dodatnią.
To należało wykazać.
Sposób III (trójmian kwadratowy zmiennej 𝑥 z parametrem 𝑦)
Przekształcamy równoważnie nierówność 5𝑥2 + 2𝑦2 > 2𝑥𝑦 i otrzymujemy:
5𝑥2 -2𝑦𝑥+ 2𝑦2 > 0
Wyrażenie 5𝑥2 -2𝑦𝑥+ 2𝑦2 traktujemy jako trójmian kwadratowy zmiennej 𝑥.
Obliczamy wyróżnik Δ trójmianu:
Δ = (-2𝑦)2 -4 ⋅5 ⋅2𝑦2
Δ = 4𝑦2 -40𝑦2
Δ = -36𝑦2
Gdy 𝑦≠0, to Δ < 0 i funkcja kwadratowa 𝑓(𝑥) = 5𝑥2 -2𝑦𝑥+ 2𝑦2 zmiennej 𝑥 nie ma
miejsc zerowych, a ponieważ współczynnik przy drugiej potędze zmiennej jest dodatni, więc
wykres funkcji 𝑓 leży powyżej osi odciętych. Zatem funkcja przyjmuje tylko wartości
dodatnie.
Gdy 𝑦= 0, to Δ = 0 i funkcja 𝑓 ma dokładnie jedno miejsce zerowe: 𝑥= 0. Ponieważ
współczynnik przy drugiej potędze zmiennej jest dodatni, więc żaden fragment wykresu
funkcji 𝑓 nie leży poniżej osi odciętych. Zatem funkcja 𝑓 przyjmuje wartości dodatnie dla
każdego 𝑥≠0.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Oznacza to, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠0 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦
nierówność 5𝑥2 -2𝑦𝑥+ 2𝑦2 > 0 jest prawdziwa.
Zatem nierówność 5𝑥2 + 2𝑦2 > 2𝑥𝑦 również jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej
𝑥≠0 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦. To należało wykazać.
Sposób IV (trójmian kwadratowy zmiennej 𝑦 z parametrem 𝑥)
Przekształcamy równoważnie nierówność 5𝑥2 + 2𝑦2 > 2𝑥𝑦 i otrzymujemy:
2𝑦2 -2𝑥𝑦+ 5𝑥2 > 0
Wyrażenie 2𝑦2 -2𝑥𝑦+ 5𝑥2 traktujemy jako trójmian kwadratowy zmiennej 𝑦.
Obliczamy wyróżnik Δ trójmianu:
Δ = (-2𝑥)2 -4 ⋅2 ⋅5𝑥2
Δ = 4𝑥2 -40𝑥2
Δ = -36𝑥2
Gdy 𝑥≠0, to Δ < 0 i funkcja kwadratowa 𝑓(𝑦) = 2𝑦2 -2𝑥𝑦+ 5𝑥2 zmiennej 𝑦 nie ma
miejsc zerowych, a ponieważ współczynnik przy drugiej potędze zmiennej jest dodatni, więc
wykres funkcji 𝑓 leży powyżej osi odciętych. Zatem funkcja przyjmuje tylko wartości
dodatnie.
Oznacza to, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠0 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦
nierówność 2𝑦2 -2𝑥𝑦+ 5𝑥2 > 0 jest prawdziwa.
Zatem nierówność 5𝑥2 + 2𝑦2 > 2𝑥𝑦 również jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej
𝑥≠0 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦. To należało wykazać.
Odpowiedź: A — $45$
\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem
\nKlucz — analiza warunków
\nTrzy warunki na liczbę:
\nZ (1) i (2) wynika, że setki i jedności nie mogą być zerem. Skoro dokładnie jedno zero ma być — musi być na dziesiątkach.
\nUstalamy pozycję cyfry 0: na dziesiątkach. To jeden sposób (bez wyboru).
\nSetki: dowolna cyfra z $\\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\\}$ — 9 możliwości.
\nJedności: dowolna cyfra nieparzysta z $\\{1, 3, 5, 7, 9\\}$ — 5 możliwości.
\nWymnóż (reguła mnożenia):
\n$$9 \\cdot 1 \\cdot 5 = 45$$
\nKlucz — schemat zliczania liczb naturalnych
\nProcedura dla zadań „liczby naturalne z warunkami":
\nTu wszystko zdziało się jasno: jedna pozycja zerowa (z warunku), dwie pozycje z możliwościami (9 i 5). Mnożenie $9 \\cdot 5 = 45$.
\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to niezauważenie, że jednoczesne warunki "trzycyfrowa", "nieparzysta", "dokładnie jedna cyfra 0" całkowicie WYZNACZAJĄ, gdzie 0 musi być (na dziesiątkach). Setki ≠ 0 (treść "trzycyfrowa"), jedności ≠ 0 (treść "nieparzysta") → 0 musi być na dziesiątkach.
"}]}