{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-2)\nZarząd firmy wydzielił z budżetu kwotę 1 200 000 złotych łącznie na projekty badawcze dla\ndwóch zespołów: A i B. W pierwszym półroczu realizacji tych projektów oba zespoły\nwykorzystały łącznie 146 700 złotych - zespół A wykorzystał 13% przyznanych mu\nśrodków, a zespół B wykorzystał 11% przyznanych mu środków.\nOblicz kwotę przyznaną zespołowi A na realizację projektu badawczego.\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\nG7.7) za pomocą równań lub układów\nrównań opisuje i rozwiązuje zadania\nosadzone w kontekście praktycznym.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 735 000 zł.\n1 pkt - zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć kwoty przyznane poszczególnym\nzespołom, np.\n𝑥+ 𝑦= 1 200 000 oraz 0,13𝑥+ 0,11𝑦= 146 700,\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego obliczyć kwotę przyznaną\nzespołowi A, np.:\n2% ⋅𝑥= 14 700,\n0,13𝑥+ 0,11 ⋅(1 200 000 -𝑥) = 146 700,\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego obliczyć kwotę przyznaną\nzespołowi B, np.\n0,13 ⋅(1 200 000 -𝑦) + 0,11𝑦= 146 700.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający sprawdza warunki zadania dla wybranych par liczb 𝑥 oraz 𝑦 i wskaże\nwłaściwą odpowiedź, ale nie uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie zadania, to otrzymuje\n1 punkt za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający w rozwiązaniu używa wartości przybliżonych i otrzymuje wynik różny od\n735 000, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nOznaczmy:\n𝑥 - kwota przyznana zespołowi A,\n𝑦 - kwota przyznana zespołowi B.\nPo uwzględnieniu warunków zadania otrzymujemy:\n𝑥+ 𝑦= 1 200 000 oraz 0,13𝑥+ 0,11𝑦= 146 700\nZ pierwszego z tych równań wyznaczamy 𝑦= 1 200 000 -𝑥 i podstawiamy w miejsce 𝑦\ndo drugiego z równań, otrzymując\n0,13𝑥+ 0,11 ⋅(1 200 000 -𝑥) = 146 700\n0,13𝑥+ 132 000 -0,11𝑥= 146 700\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n0,02𝑥= 14 700\n𝑥= 735 000\nZespół A otrzymał 735 000 zł.","solution":"Odpowiedź: D — $\\dfrac{2}{36} = \\dfrac{1}{18}$\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nKlucz — model klasyczny\n\nDwie rzucone kostki → para wyników $(a, b)$, gdzie $a, b \\in \\{1, 2, \\ldots, 6\\}$. Wszystkich par jest $6 \\times 6 = 36$ (każda jednakowo prawdopodobna).\n\nPytamy o liczbę par sprzyjających zdarzeniu $A$: suma = 11.\n\nWypisz wszystkie pary $(a, b)$ z $a + b = 11$.\n\nSprawdzam dla każdego $a$ od 1 do 6, czy $b = 11 - a$ należy do $\\{1, \\ldots, 6\\}$:\n\n- $a = 5$, $b = 6$ ✓\n- $a = 6$, $b = 5$ ✓\n- $a = 1$ do $4$: $b = 10, 9, 8, 7$ — wszystkie powyżej 6, nie pasują\n\nPary sprzyjające: $(5, 6)$, $(6, 5)$. Razem: 2 pary.\n\nOblicz prawdopodobieństwo.\n\n$$P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{2}{36} = \\frac{1}{18}$$\n\nKlucz — tabela sum dla dwóch kostek\n\nDla dwóch kostek symetrycznych liczba par sprzyjających sumie $s$:\n\n$s$ | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12\npar | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1\n\nSumy są symetryczne względem 7 (najbardziej prawdopodobnej). Liczba par dla sumy $s$ = liczba par dla sumy $14 - s$.\n\nTu suma $11 = 14 - 3$, więc liczba par dla $11$ = liczba par dla $3$ = $2$. Mamy odpowiedź w 5 sekund.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to liczenie \"ile par daje sumę 11\" jako wszystkie pary z jakimkolwiek 11 (np. C — 11/36). Trzeba wypisać pary, gdzie suma DOKŁADNIE = 11.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobieństwo, kostka do gry","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 28. (0-2)<br>Zarząd firmy wydzielił z budżetu kwotę 1 200 000 złotych łącznie na projekty badawcze dla<br>dwóch zespołów: A i B. W pierwszym półroczu realizacji tych projektów oba zespoły<br>wykorzystały łącznie 146 700 złotych - zespół A wykorzystał 13% przyznanych mu<br>środków, a zespół B wykorzystał 11% przyznanych mu środków.<br>Oblicz kwotę przyznaną zespołowi A na realizację projektu badawczego.</p>\n<p>EMAP-P0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 28. (0-2)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Modelowanie matematyczne.<br>Zdający:<br>G7.7) za pomocą równań lub układów<br>równań opisuje i rozwiązuje zadania<br>osadzone w kontekście praktycznym.<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 735 000 zł.<br>1 pkt - zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć kwoty przyznane poszczególnym<br>zespołom, np.<br>𝑥+ 𝑦= 1 200 000 oraz 0,13𝑥+ 0,11𝑦= 146 700,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego obliczyć kwotę przyznaną</li></ul>\n<p>zespołowi A, np.:<br>2% ⋅𝑥= 14 700,<br>0,13𝑥+ 0,11 ⋅(1 200 000 -𝑥) = 146 700,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego obliczyć kwotę przyznaną</li></ul>\n<p>zespołowi B, np.<br>0,13 ⋅(1 200 000 -𝑦) + 0,11𝑦= 146 700.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający sprawdza warunki zadania dla wybranych par liczb 𝑥 oraz 𝑦 i wskaże</li></ol>\n<p>właściwą odpowiedź, ale nie uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie zadania, to otrzymuje<br>1 punkt za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający w rozwiązaniu używa wartości przybliżonych i otrzymuje wynik różny od</li></ol>\n<p>735 000, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Oznaczmy:<br>𝑥 - kwota przyznana zespołowi A,<br>𝑦 - kwota przyznana zespołowi B.<br>Po uwzględnieniu warunków zadania otrzymujemy:<br>𝑥+ 𝑦= 1 200 000 oraz 0,13𝑥+ 0,11𝑦= 146 700<br>Z pierwszego z tych równań wyznaczamy 𝑦= 1 200 000 -𝑥 i podstawiamy w miejsce 𝑦<br>do drugiego z równań, otrzymując<br>0,13𝑥+ 0,11 ⋅(1 200 000 -𝑥) = 146 700<br>0,13𝑥+ 132 000 -0,11𝑥= 146 700<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>0,02𝑥= 14 700<br>𝑥= 735 000<br>Zespół A otrzymał 735 000 zł.</p>","solutions":[{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: D — $\\dfrac{2}{36} = \\dfrac{1}{18}$</p>\n<p>Strona arkusza CKE z tym zadaniem</p>\n<p>Klucz — model klasyczny</p>\n<p>Dwie rzucone kostki → para wyników $(a, b)$, gdzie $a, b \\in \\{1, 2, \\ldots, 6\\}$. Wszystkich par jest $6 \\times 6 = 36$ (każda jednakowo prawdopodobna).</p>\n<p>Pytamy o liczbę par sprzyjających zdarzeniu $A$: suma = 11.</p>\n<p>Wypisz wszystkie pary $(a, b)$ z $a + b = 11$.</p>\n<p>Sprawdzam dla każdego $a$ od 1 do 6, czy $b = 11 - a$ należy do $\\{1, \\ldots, 6\\}$:</p>\n<ul><li>$a = 5$, $b = 6$ ✓</li><li>$a = 6$, $b = 5$ ✓</li><li>$a = 1$ do $4$: $b = 10, 9, 8, 7$ — wszystkie powyżej 6, nie pasują</li></ul>\n<p>Pary sprzyjające: $(5, 6)$, $(6, 5)$. Razem: 2 pary.</p>\n<p>Oblicz prawdopodobieństwo.</p>\n<p>$$P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{2}{36} = \\frac{1}{18}$$</p>\n<p>Klucz — tabela sum dla dwóch kostek</p>\n<p>Dla dwóch kostek symetrycznych liczba par sprzyjających sumie $s$:</p>\n<p>$s$ | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12<br>par | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1</p>\n<p>Sumy są symetryczne względem 7 (najbardziej prawdopodobnej). Liczba par dla sumy $s$ = liczba par dla sumy $14 - s$.</p>\n<p>Tu suma $11 = 14 - 3$, więc liczba par dla $11$ = liczba par dla $3$ = $2$. Mamy odpowiedź w 5 sekund.</p>\n<p>Typowy błąd: Najczęstszy błąd to liczenie &quot;ile par daje sumę 11&quot; jako wszystkie pary z jakimkolwiek 11 (np. C — 11/36). Trzeba wypisać pary, gdzie suma DOKŁADNIE = 11.</p>"}]}