{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-2)\nWyznacz wszystkie wartości 𝑚, dla których trzywyrazowy ciąg\n(2𝑚+ 11, 𝑚2 + 3, 5 -𝑚)\njest arytmetyczny.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n28.\n29.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-P0_100","answer":"C — $x + y = 6$","answer_text":"Zadanie 29. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n5.3) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\narytmetycznego.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑚= -2, 𝑚= 5\n2\n1 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑚, np.:\n2𝑚 + 11 + 5 - 𝑚\n2\n= 𝑚2 + 3 lub (𝑚2 + 3) -(2𝑚+ 11) = (5 -𝑚) -(𝑚2 + 3).\nALBO\n- zapisanie układu równań z dwiema niewiadomymi pozwalającego obliczyć 𝑚 i 𝑟, np.\n𝑚2 + 3 = 2𝑚+ 11 + 𝑟 oraz 5 -𝑚= 2𝑚+ 11 + 2𝑟.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\n2. Jeżeli zdający nie uwzględnia istotnych nawiasów i rozwiązuje równanie postaci\n(𝑚2 + 3) -2𝑚+ 11 = (5 -𝑚) -𝑚2 + 3, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie,\no ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\n3. Jeżeli zdający zapisze bez stosownych obliczeń 𝑚= 5\n2 oraz 𝑚= -2 i nie uzasadni, że\nsą to jedyne rozwiązania, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. Natomiast jeśli poda\ntylko jedną z tych wartości, to otrzymuje 0 punktów.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nZ własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy:\n2𝑚+ 11 + 5 -𝑚\n2\n= 𝑚2 + 3\n𝑚+ 16 = 2𝑚2 + 6\n2𝑚2 -𝑚-10 = 0\nObliczamy wyróżnik trójmianu 2𝑚2 -𝑚-10:\nΔ = (-1)2 -4 ⋅2 ⋅(-10) = 81\nStąd\n𝑚1 = -(-1) -√81\n2 ⋅2\n= -2\n𝑚2 = -(-1) + √81\n2 ⋅2\n= 5\n2\nZatem ciąg (2𝑚+ 11, 𝑚2 + 3, 5 -𝑚) jest arytmetyczny dla 𝑚= -2 oraz dla 𝑚= 5\n2\nSposób II\nZ definicji/własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy:\n(𝑚2 + 3) -(2𝑚+ 11) = (5 -𝑚) -(𝑚2 + 3)\nStąd\n𝑚2 -2𝑚-8 = -𝑚2 -𝑚+ 2\n2𝑚2 -𝑚-10 = 0\n2𝑚2 + 4𝑚-5𝑚-10 = 0\n2𝑚2 + 4𝑚-5𝑚-10 = 0\n2𝑚(𝑚+ 2) -5(𝑚+ 2) = 0\n(𝑚+ 2)(2𝑚-5) = 0\n𝑚+ 2 = 0 lub 2𝑚-5 = 0\n𝑚= -2 lub 𝑚= 5\n2\nZatem ciąg (2𝑚+ 11, 𝑚2 + 3, 5 -𝑚) jest arytmetyczny dla 𝑚= -2 oraz dla 𝑚= 5\n2\nSposób III\nZe wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego otrzymujemy:\n{ 𝑚2 + 3 = 2𝑚+ 11 + 𝑟\n5 -𝑚= 2𝑚+ 11 + 2𝑟\ngdzie 𝑟 jest różnicą ciągu arytmetycznego. Stąd\n{ 2𝑚2 + 6 = 4𝑚+ 22 + 2𝑟\n5 -𝑚= 2𝑚+ 11 + 2𝑟\nOdejmujemy równania stronami i otrzymujemy:\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n2𝑚2 + 6 -5 + 𝑚= 4𝑚+ 22 + 2𝑟-2𝑚-11 -2𝑟\n2𝑚2 -𝑚-10 = 0\nObliczamy wyróżnik trójmianu 2𝑚2 -𝑚-10:\nΔ = (-1)2 -4 ⋅2 ⋅(-10) = 81\nStąd\n𝑚1 = -(-1) -√81\n2 ⋅2\n= -2\n𝑚2 = -(-1) + √81\n2 ⋅2\n= 5\n2\nZatem ciąg (2𝑚+ 11, 𝑚2 + 3, 5 -𝑚) jest arytmetyczny dla 𝑚= -2 oraz dla 𝑚= 5\n2","solution":"Odpowiedź: C — $x + y = 6$\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nKlucz — wzór na średnią arytmetyczną\n\n$$\\overline{x} = \\frac{\\text{suma elementów}}{\\text{liczba elementów}}$$\n\nStąd: suma = średnia × liczba elementów.\n\nOblicz sumę wszystkich siedmiu liczb ze średniej.\n\n$$\\text{suma} = 3 \\cdot 7 = 21$$\n\nOblicz sumę pięciu znanych liczb.\n\n$$1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$$\n\nWyznacz $x + y$ jako resztę:\n\n$$x + y = 21 - 15 = 6$$\n\nKlucz pamięciowy\n\nKażde zadanie „średnia + suma\" ma dwa kroki:\n\n1. Suma całości = średnia × liczba elementów\n2. Brakująca część = suma całości − suma znanych\n\nDwa działania, w 10 sekund.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: zsumowanie \"1+2+3+4+5 = 15\" i pisanie \"x+y = 7·3 - 15 = 21 - 15 = 6\", ale czasem ktoś wpisuje 5·3 = 15 zamiast 7·3 = 21 (myli liczbę elementów).","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":null,"topics":"statystyka, średnia arytmetyczna","page_from":23,"source":"ocr","answer_source":"maturaonline","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 29. (0-2)
Wyznacz wszystkie wartości 𝑚, dla których trzywyrazowy ciąg
(2𝑚+ 11, 𝑚2 + 3, 5 -𝑚)
jest arytmetyczny.
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
28.
29.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt

\n

EMAP-P0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 29. (0-2)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Modelowanie matematyczne.
Zdający:
5.3) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu
arytmetycznego.
Zasady oceniania
2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑚= -2, 𝑚= 5
2
1 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑚, np.:
2𝑚 + 11 + 5 - 𝑚
2
= 𝑚2 + 3 lub (𝑚2 + 3) -(2𝑚+ 11) = (5 -𝑚) -(𝑚2 + 3).
ALBO

\n\n

𝑚2 + 3 = 2𝑚+ 11 + 𝑟 oraz 5 -𝑚= 2𝑚+ 11 + 2𝑟.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe
\n

rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający nie uwzględnia istotnych nawiasów i rozwiązuje równanie postaci
\n

(𝑚2 + 3) -2𝑚+ 11 = (5 -𝑚) -𝑚2 + 3, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie,
o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający zapisze bez stosownych obliczeń 𝑚= 5
\n

2 oraz 𝑚= -2 i nie uzasadni, że
są to jedyne rozwiązania, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. Natomiast jeśli poda
tylko jedną z tych wartości, to otrzymuje 0 punktów.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Z własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy:
2𝑚+ 11 + 5 -𝑚
2
= 𝑚2 + 3
𝑚+ 16 = 2𝑚2 + 6
2𝑚2 -𝑚-10 = 0
Obliczamy wyróżnik trójmianu 2𝑚2 -𝑚-10:
Δ = (-1)2 -4 ⋅2 ⋅(-10) = 81
Stąd
𝑚1 = -(-1) -√81
2 ⋅2
= -2
𝑚2 = -(-1) + √81
2 ⋅2
= 5
2
Zatem ciąg (2𝑚+ 11, 𝑚2 + 3, 5 -𝑚) jest arytmetyczny dla 𝑚= -2 oraz dla 𝑚= 5
2
Sposób II
Z definicji/własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy:
(𝑚2 + 3) -(2𝑚+ 11) = (5 -𝑚) -(𝑚2 + 3)
Stąd
𝑚2 -2𝑚-8 = -𝑚2 -𝑚+ 2
2𝑚2 -𝑚-10 = 0
2𝑚2 + 4𝑚-5𝑚-10 = 0
2𝑚2 + 4𝑚-5𝑚-10 = 0
2𝑚(𝑚+ 2) -5(𝑚+ 2) = 0
(𝑚+ 2)(2𝑚-5) = 0
𝑚+ 2 = 0 lub 2𝑚-5 = 0
𝑚= -2 lub 𝑚= 5
2
Zatem ciąg (2𝑚+ 11, 𝑚2 + 3, 5 -𝑚) jest arytmetyczny dla 𝑚= -2 oraz dla 𝑚= 5
2
Sposób III
Ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego otrzymujemy:
{ 𝑚2 + 3 = 2𝑚+ 11 + 𝑟
5 -𝑚= 2𝑚+ 11 + 2𝑟
gdzie 𝑟 jest różnicą ciągu arytmetycznego. Stąd
{ 2𝑚2 + 6 = 4𝑚+ 22 + 2𝑟
5 -𝑚= 2𝑚+ 11 + 2𝑟
Odejmujemy równania stronami i otrzymujemy:
Zasady oceniania rozwiązań zadań
2𝑚2 + 6 -5 + 𝑚= 4𝑚+ 22 + 2𝑟-2𝑚-11 -2𝑟
2𝑚2 -𝑚-10 = 0
Obliczamy wyróżnik trójmianu 2𝑚2 -𝑚-10:
Δ = (-1)2 -4 ⋅2 ⋅(-10) = 81
Stąd
𝑚1 = -(-1) -√81
2 ⋅2
= -2
𝑚2 = -(-1) + √81
2 ⋅2
= 5
2
Zatem ciąg (2𝑚+ 11, 𝑚2 + 3, 5 -𝑚) jest arytmetyczny dla 𝑚= -2 oraz dla 𝑚= 5
2

","solutions":[{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Odpowiedź: C — $x + y = 6$

\n

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

\n

Klucz — wzór na średnią arytmetyczną

\n

$$\\overline{x} = \\frac{\\text{suma elementów}}{\\text{liczba elementów}}$$

\n

Stąd: suma = średnia × liczba elementów.

\n

Oblicz sumę wszystkich siedmiu liczb ze średniej.

\n

$$\\text{suma} = 3 \\cdot 7 = 21$$

\n

Oblicz sumę pięciu znanych liczb.

\n

$$1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$$

\n

Wyznacz $x + y$ jako resztę:

\n

$$x + y = 21 - 15 = 6$$

\n

Klucz pamięciowy

\n

Każde zadanie „średnia + suma" ma dwa kroki:

\n
  1. Suma całości = średnia × liczba elementów
  2. Brakująca część = suma całości − suma znanych
\n

Dwa działania, w 10 sekund.

\n

Typowy błąd: Najczęstszy błąd: zsumowanie "1+2+3+4+5 = 15" i pisanie "x+y = 7·3 - 15 = 21 - 15 = 6", ale czasem ktoś wpisuje 5·3 = 15 zamiast 7·3 = 21 (myli liczbę elementów).

"}]}