{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nLiczba 512 + 513 + 514\n512\njest równa\nA. 30\nB. 31\nC. 512\nD. 527","answer":"B","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n1.4) […] stosuje prawa działań na potęgach\no wykładnikach wymiernych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"Odpowiedź: A — 3\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nStrategia\n\nDwa wzory na logarytmy:\n\n- $\\log_a (b^n) = n \\cdot \\log_a b$ — logarytm potęgi\n- $\\log_a b - \\log_a c = \\log_a \\dfrac{b}{c}$ — logarytm ilorazu\n\nCel: sprowadzić $\\log_3 108 - 2\\log_3 2$ do postaci $\\log_3 \\text{coś}$.\n\nZamień $2 \\log_3 2$ na $\\log_3 (2^2) = \\log_3 4$ (wzór na logarytm potęgi, w drugą stronę).\n\n$$\\log_3 108 - 2 \\log_3 2 = \\log_3 108 - \\log_3 4$$\n\nZastosuj wzór na logarytm ilorazu:\n\n$$\\log_3 108 - \\log_3 4 = \\log_3 \\frac{108}{4} = \\log_3 27$$\n\nOblicz $\\log_3 27$. Pytanie: do której potęgi trzeba podnieść $3$, żeby dostać $27$? Skoro $27 = 3^3$, to:\n\n$$\\log_3 27 = 3$$\n\nKlucz — trzy wzory logarytmiczne\n\nReguła | Wzór\nLogarytm iloczynu | $\\log_a (bc) = \\log_a b + \\log_a c$\nLogarytm ilorazu | $\\log_a \\dfrac{b}{c} = \\log_a b - \\log_a c$\nLogarytm potęgi | $\\log_a (b^n) = n \\cdot \\log_a b$\n\nTe trzy wzory rozwiązują 95% zadań logarytmicznych na maturze podstawowej. Wszystkie są w „Wybranych wzorach matematycznych\" CKE.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to liczenie $\\log_3 108 - 2 \\log_3 2$ jako $\\log_3(108 - 2 \\cdot 2) = \\log_3 104$ (odpowiedź C). To NIE jest poprawne — odejmowanie logarytmów daje **iloraz**, nie różnicę argumentów. A pomnożenie logarytmu przez $2$ daje **kwadrat** argumentu, nie podwojenie.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"logarytmy, prawa działań","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 3. (0-1)<br>Liczba 512 + 513 + 514<br>512<br>jest równa<br>A. 30<br>B. 31<br>C. 512<br>D. 527</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 3. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.<br>Zdający:<br>1.4) […] stosuje prawa działań na potęgach<br>o wykładnikach wymiernych.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>B</p>","solutions":[{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: A — 3</p>\n<p>Strona arkusza CKE z tym zadaniem</p>\n<p>Strategia</p>\n<p>Dwa wzory na logarytmy:</p>\n<ul><li>$\\log_a (b^n) = n \\cdot \\log_a b$ — logarytm potęgi</li><li>$\\log_a b - \\log_a c = \\log_a \\dfrac{b}{c}$ — logarytm ilorazu</li></ul>\n<p>Cel: sprowadzić $\\log_3 108 - 2\\log_3 2$ do postaci $\\log_3 \\text{coś}$.</p>\n<p>Zamień $2 \\log_3 2$ na $\\log_3 (2^2) = \\log_3 4$ (wzór na logarytm potęgi, w drugą stronę).</p>\n<p>$$\\log_3 108 - 2 \\log_3 2 = \\log_3 108 - \\log_3 4$$</p>\n<p>Zastosuj wzór na logarytm ilorazu:</p>\n<p>$$\\log_3 108 - \\log_3 4 = \\log_3 \\frac{108}{4} = \\log_3 27$$</p>\n<p>Oblicz $\\log_3 27$. Pytanie: do której potęgi trzeba podnieść $3$, żeby dostać $27$? Skoro $27 = 3^3$, to:</p>\n<p>$$\\log_3 27 = 3$$</p>\n<p>Klucz — trzy wzory logarytmiczne</p>\n<p>Reguła | Wzór<br>Logarytm iloczynu | $\\log_a (bc) = \\log_a b + \\log_a c$<br>Logarytm ilorazu | $\\log_a \\dfrac{b}{c} = \\log_a b - \\log_a c$<br>Logarytm potęgi | $\\log_a (b^n) = n \\cdot \\log_a b$</p>\n<p>Te trzy wzory rozwiązują 95% zadań logarytmicznych na maturze podstawowej. Wszystkie są w „Wybranych wzorach matematycznych&quot; CKE.</p>\n<p>Typowy błąd: Najczęstszy błąd to liczenie $\\log_3 108 - 2 \\log_3 2$ jako $\\log_3(108 - 2 \\cdot 2) = \\log_3 104$ (odpowiedź C). To NIE jest poprawne — odejmowanie logarytmów daje <strong>iloraz</strong>, nie różnicę argumentów. A pomnożenie logarytmu przez $2$ daje <strong>kwadrat</strong> argumentu, nie podwojenie.</p>"}]}