Zadanie 31. (0-2)
Dane są dwa zbiory: 𝑋= {1, 3, 5, 7, 9} oraz 𝑌= {2, 4, 6, 8}.
Losujemy jedną liczbę ze zbioru 𝑋, a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru 𝑌
i tworzymy uporządkowaną parę liczb (𝑥, 𝑦), gdzie 𝑥 jest liczbą wylosowaną ze zbioru 𝑋
oraz 𝑦 jest liczbą wylosowaną ze zbioru 𝑌.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 polegającego na tym, że suma 𝑥+ 𝑦
wylosowanych liczb będzie liczbą podzielną przez 3.
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
30.
31.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt
EMAP-P0_100
","answer_text_html":"Zadanie 31. (0-2)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Modelowanie matematyczne.
Zdający:
10.3) oblicza prawdopodobieństwa
w prostych sytuacjach, stosując klasyczną
definicję prawdopodobieństwa.
Zasady oceniania
2 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴
i uzyskanie poprawnego wyniku: 𝑃(𝐴) = 7
20
1 pkt - wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych LUB obliczenie/podanie liczby tych
zdarzeń: |Ω| = 5 ⋅4, LUB sporządzenie tabeli o 20 polach odpowiadających
zdarzeniom elementarnym, LUB sporządzenie pełnego drzewa stochastycznego
ALBO
sprzyjających zdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego,
ALBO
|𝐴| = 7, o ile nie zostały zliczone błędne pary,
ALBO
sprzyjające zdarzeniu 𝐴, oraz zapisanie prawdopodobieństwa na co najmniej
jednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,
ALBO
20
,
ALBO
20
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga:
Jeżeli zdający zapisuje tylko liczby 7 lub 20 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych
liczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑥, 𝑦), gdzie
𝑥∈{1, 3, 5, 7, 9} oraz 𝑦∈{2, 4, 6, 8}.
Liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych obliczamy z wykorzystaniem reguły mnożenia.
Moc zbioru Ω jest równa 5 ⋅4 = 20.
Zdarzeniu 𝐴 sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:
(1, 2), (1, 8), (3, 6), (5, 4), (7, 2), (7, 8), (9, 6), więc moc zbioru 𝐴 jest równa 7.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 7
20 .
Sposób II
W tabeli literą 𝒜 zaznaczamy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴 (pary liczb,
których suma jest liczbą podzielną przez 3).
2
4
6
8
1
𝒜
𝒜
3
𝒜
5
𝒜
7
𝒜
𝒜
9
𝒜
Moc zbioru Ω jest równa 20.
Zdarzeń sprzyjających wylosowaniu liczb, których suma jest podzielna przez 3, jest 7.
Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 7
20 .
𝑌
𝑋
Odpowiedź: $P(x) = -2x^2 + 22x + 88$, dziedzina $x \\in (0, 11)$, max dla $x = 5{,}5$ (gdzie $P_{\\max} = 148{,}5$).
\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem
\nKlucz — wierzchołek prostopadłościanu
\nZ każdego wierzchołka prostopadłościanu wychodzą trzy krawędzie, prostopadłe parami. Z wierzchołka $B$ wychodzą:
\nWyznacz $y$ z warunku sumy
\nSuma krawędzi z $B$: $x + 4 + y = 15$, więc:
\n$$y = 11 - x$$
\nDziedzina: oba wymiary $x$ i $y$ muszą być dodatnie (długości boków).
\n$$x > 0 \\quad\\text{oraz}\\quad y > 0$$
\n$x > 0$ trywialnie. $y = 11 - x > 0$ daje $x < 11$.
\n$$\\text{Dziedzina}: x \\in (0, 11)$$
\nWyznacz wzór $P(x)$
\nPole całkowite prostopadłościanu o wymiarach $a \\times b \\times c$ to:
\n$$P = 2(ab + bc + ca)$$
\n(sześć ścian, parami równe: dwie o polu $ab$, dwie $bc$, dwie $ca$).
\nPodstaw $a = x$, $b = 4$, $c = y = 11 - x$:
\n$$P = 2 \\cdot \\left[ x \\cdot 4 + 4 \\cdot (11 - x) + (11 - x) \\cdot x \\right]$$
\nUprość każdy człon:
\nSuma: $4x + 44 - 4x + 11x - x^2 = -x^2 + 11x + 44$.
\nPomnóż przez 2:
\n$$P(x) = 2 \\cdot (-x^2 + 11x + 44) = -2x^2 + 22x + 88$$
\nWyznacz $x$ dla maksimum pola
\nFunkcja $P(x) = -2x^2 + 22x + 88$ to funkcja kwadratowa z ujemnym współczynnikiem przy $x^2$ → parabola otwiera się w dół → maksimum w wierzchołku.
\nWspółrzędna $x$ wierzchołka:
\n$$x_w = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{22}{2 \\cdot (-2)} = -\\frac{22}{-4} = \\frac{22}{4} = 5{,}5$$
\nSprawdź, że $x_w = 5{,}5$ leży w dziedzinie $(0, 11)$. Tak ✓.
\nOblicz wartość maksymalną (opcjonalnie):
\n$$P(5{,}5) = -2 \\cdot (5{,}5)^2 + 22 \\cdot 5{,}5 + 88$$
\n$(5{,}5)^2 = 30{,}25$, więc:
\n$$P_{\\max} = -60{,}5 + 121 + 88 = 148{,}5$$
\nSprawdzenie geometryczne
\nDla $x = 5{,}5$: $y = 11 - 5{,}5 = 5{,}5$. Wymiary prostopadłościanu: $5{,}5 \\times 4 \\times 5{,}5$.
\nCzyli $x = y$ — co intuicyjnie ma sens: przy ustalonej sumie boków pole jest maksymalizowane, gdy wymiary są wyrównane (analog do „kwadrat ma największe pole spośród prostokątów o ustalonym obwodzie").
\nPunktacja CKE
\nKlucz uniwersalny
\nKażde zadanie „optymalizacja z prostopadłościanu / prostokąta" sprowadza się do:
\nSchemat sprawdzony na maturze podstawowej i rozszerzonej.
\nTypowy błąd: CKE wprost: jeśli pominiesz wyznaczenie dziedziny — maksimum 3 pkt zamiast 4. Drugi błąd: niedoczytanie, że krawędzie wychodzące z B to AB, BC, BF (trzy różne kierunki) — niektórzy biorą tylko dwie krawędzie.
"}]}