{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"32","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-4)\nFunkcja kwadratowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐.\nZbiorem wartości funkcji 𝑓 jest przedział (-∞, 6⟩. Parabola, która jest wykresem funkcji 𝑓,\nprzechodzi przez punkty 𝐴= (-1, 3) i 𝐵= (5, 3).\nOblicz wartość współczynnika 𝑐.\n\nEMAP-P0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n32.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n4.9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na\npodstawie pewnych informacji o tej funkcji\nlub o jej wykresie.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑐= 14\n3\n3 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-2)2 + 6 oraz obliczenie\nwspółczynnika 𝑎: 𝑎= -1\n3\nALBO\n- zapisanie układu trzech niezależnych równań z trzema niewiadomymi 𝑎, 𝑏, 𝑐\nprowadzącego do obliczenia wartości współczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐, np.:\n𝑎⋅(-1)2 + 𝑏⋅(-1) + 𝑐= 3 oraz\n𝑎⋅52 + 𝑏⋅5 + 𝑐= 3 oraz\n-(𝑏2-4𝑎𝑐)\n4𝑎\n= 6\nlub\n𝑎⋅(-1)2 + 𝑏⋅(-1) + 𝑐= 3 oraz\n𝑎⋅52 + 𝑏⋅5 + 𝑐= 3 oraz\n𝑎⋅22 + 𝑏⋅2 + 𝑐= 6\nALBO\n- zapisanie wzoru funkcji 𝑔 w postaci 𝑔(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 1)(𝑥-5) oraz obliczenie\nwspółczynnika 𝑎: 𝑎= -1\n3\nALBO\n- zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 1)(𝑥-5) + 3 oraz obliczenie\nwspółczynnika 𝑎: 𝑎= -1\n3\n2 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-2)2 + 6\nALBO\n- zapisanie, że rzędna 𝑞 wierzchołka paraboli jest równa 6: 𝑞= 6, oraz zapisanie\njednego z równań:\n𝑎⋅(-1)2 + 𝑏⋅(-1) + 𝑐= 3 lub 𝑎⋅52 + 𝑏⋅5 + 𝑐= 3, lub -𝑏\n2𝑎= 2,\nALBO\n- zapisanie układu dwóch równań z trzema niewiadomymi 𝑎, 𝑏, 𝑐, z których jedno\njest którymś z równań\n-(𝑏2-4𝑎𝑐)\n4𝑎\n= 6 lub 𝑎⋅22 + 𝑏⋅2 + 𝑐= 6,\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nnatomiast drugie jest jednym z równań\n𝑎⋅(-1)2 + 𝑏⋅(-1) + 𝑐= 3 lub 𝑎⋅52 + 𝑏⋅5 + 𝑐= 3, lub -𝑏\n2𝑎= 2,\nALBO\n- zapisanie wzoru funkcji 𝑔 w postaci 𝑔(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 1)(𝑥-5) oraz obliczenie\nwspółrzędnych wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝑔: 𝑊𝑔= (2, 3),\nALBO\n- zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 1)(𝑥-5) + 3 oraz obliczenie\nwspółrzędnych wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓: 𝑊𝑓= (2, 6).\n1 pkt - zapisanie, że rzędna 𝑞 wierzchołka paraboli jest równa 6: 𝑞= 6,\nALBO\n- zapisanie, że odcięta 𝑝 wierzchołka paraboli jest równa 2: 𝑝= 2,\nALBO\n- zapisanie jednego równania z niewiadomymi 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐 wynikającego z treści\nzadania, np. 𝑎⋅(-1)2 + 𝑏⋅(-1) + 𝑐= 3,\nALBO\n- zapisanie wzoru funkcji 𝑔 w postaci 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) -3 oraz zapisanie wzoru funkcji\n𝑔 w postaci 𝑔(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 1)(𝑥-5).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający błędnie przyjmie współrzędne wierzchołka paraboli 𝑊= (6, 2), to za całe\nrozwiązanie otrzymuje 0 punktów, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\n2. Jeżeli zdający poprawnie obliczy/poda obie współrzędne wierzchołka paraboli, ale zapisze\nbłędne równanie 3 = 𝑎(-1 + 2)2 + 6 lub 3 = 𝑎(5 + 2)2 + 6, a następnie\nkonsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 2 punkty\nza całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający poprawnie zidentyfikuje miejsca zerowe funkcji 𝑔, ale zapisze błędne\nrównanie 3 = 𝑎(2 -1)(2 + 5) lub 3 = 𝑎(2 -1)(2 -5) lub 3 = 𝑎(2 + 1)(2 + 5),\na następnie konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to\notrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.\n4. Jeżeli zdający poprawnie zidentyfikuje miejsca zerowe funkcji 𝑔, ale zapisze błędne\nrównanie 6 = 𝑎(2 + 1)(2 -5), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie (za\nwyznaczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli).\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nParabola, która jest wykresem funkcji 𝑓, przechodzi przez punkty 𝐴= (-1, 3) i 𝐵= (5, 3).\nPunkty 𝐴 i 𝐵 mają równe rzędne, więc są symetryczne względem osi symetrii tej paraboli,\nstąd odcięta 𝑝 wierzchołka tej paraboli jest równa -1+5\n2\n= 2.\nPonieważ zbiorem wartości funkcji 𝑓 jest przedział (-∞, 6⟩, więc rzędna 𝑞 wierzchołka\nparaboli jest równa 6. Zatem wierzchołek 𝑊 paraboli ma współrzędne 𝑊= (2, 6).\nKorzystamy ze wzoru na postać kanoniczną funkcji kwadratowej i zapisujemy:\n𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-2)2 + 6, gdzie 𝑎≠0\nPunkt (-1, 3) leży na wykresie funkcji 𝑓, więc\n𝑓(-1) = 3\n𝑎(-1 -2)2 + 6 = 3\n9𝑎= -3\n𝑎= -1\n3\nZatem 𝑓(𝑥) = -1\n3 (𝑥-2)2 + 6.\nObliczamy wartość współczynnika 𝑐:\n𝑐= 𝑓(0) = -1\n3 (0 -2)2 + 6 = -4\n3 + 6 = 14\n3\nSposób II\nParabola, która jest wykresem funkcji 𝑓, przechodzi przez punkty 𝐴= (-1, 3) i 𝐵= (5, 3),\nwięc\n{ 𝑓(-1) = 3\n𝑓(5) = 3\n{ 𝑎⋅(-1)2 + 𝑏⋅(-1) + 𝑐= 3\n𝑎⋅52 + 𝑏⋅5 + 𝑐= 3\n{ 𝑎-𝑏+ 𝑐= 3\n25𝑎+ 5𝑏+ 𝑐= 3\nOdejmując równania stronami, otrzymujemy:\n(𝑎-𝑏+ 𝑐) -(25𝑎+ 5𝑏+ 𝑐) = 3 -3\n-24𝑎-6𝑏= 0\n𝑏= -4𝑎\nPonieważ zbiorem wartości funkcji 𝑓 jest przedział (-∞, 6⟩, więc rzędna 𝑞 wierzchołka\nparaboli jest równa 6.\nStąd\n-∆\n4𝑎= 6\n-(𝑏2 -4𝑎𝑐)\n4𝑎\n= 6\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPodstawiamy do ostatniego równania w miejsce 𝑏 wyrażenie (-4𝑎) i otrzymujemy:\n-((-4𝑎)2 -4𝑎𝑐)\n4𝑎\n= 6\n4𝑎⋅(-4𝑎+ 𝑐)\n4𝑎\n= 6\n-4𝑎+ 𝑐= 6\n𝑎= 𝑐-6\n4\nZ uzyskanych wcześniej równań 𝑎-𝑏+ 𝑐= 3, 𝑏= -4𝑎 oraz 𝑎= 𝑐-6\n4 obliczamy 𝑐:\n𝑎-𝑏+ 𝑐= 3\n𝑎+ 4𝑎+ 𝑐= 3\n5𝑎+ 𝑐= 3\n5 (𝑐-6\n4\n) + 𝑐= 3\n5𝑐-30 + 4𝑐= 12\n9𝑐= 42\n𝑐= 42\n9 = 14\n3\nSposób III\nPunkty 𝐴 i 𝐵 mają równe rzędne, więc są symetryczne względem osi symetrii tej paraboli,\nstąd odcięta 𝑝 wierzchołka tej paraboli jest równa -1+5\n2\n= 2.\nPonieważ zbiorem wartości funkcji 𝑓 jest przedział (-∞, 6⟩, więc rzędna 𝑞 wierzchołka\nparaboli jest równa 6. Zatem wierzchołek 𝑊 paraboli ma współrzędne 𝑊= (2, 6).\nPunkty (-1, 3), (5, 3), (2, 6) leżą na wykresie funkcji 𝑓, zatem\n{\n𝑓(-1) = 3\n𝑓(5) = 3\n𝑓(2) = 6\n{\n𝑎⋅(-1)2 + 𝑏⋅(-1) + 𝑐= 3\n𝑎⋅52 + 𝑏⋅5 + 𝑐= 3\n𝑎⋅22 + 𝑏⋅2 + 𝑐= 6\n{\n𝑎-𝑏+ 𝑐= 3\n25𝑎+ 5𝑏+ 𝑐= 3\n4𝑎+ 2𝑏+ 𝑐= 6\n{\n𝑏= 𝑎+ 𝑐-3\n25𝑎+ 5𝑏+ 𝑐= 3\n4𝑎+ 2𝑏+ 𝑐= 6\n{ 25𝑎+ 5(𝑎+ 𝑐-3) + 𝑐= 3\n4𝑎+ 2(𝑎+ 𝑐-3) + 𝑐= 6\n{ 25𝑎+ 5𝑎+ 5𝑐-15 + 𝑐= 3\n4𝑎+ 2𝑎+ 2𝑐-6 + 𝑐= 6\n{ 30𝑎+ 6𝑐= 18\n6𝑎+ 3𝑐= 12\n{ 5 ⋅6𝑎+ 6𝑐= 18\n6𝑎= -3𝑐+ 12\nStąd\n5 ⋅(-3𝑐+ 12) + 6𝑐= 18\n-15𝑐+ 60 + 6𝑐= 18\n-9𝑐= -42\n𝑐= -42\n-9 = 14\n3\nSposób IV\nParabola, która jest wykresem funkcji 𝑓, przechodzi przez punkty 𝐴= (-1, 3) i 𝐵= (5, 3).\nPunkty 𝐴 i 𝐵 mają równe rzędne, więc są symetryczne względem osi symetrii tej paraboli.\nZatem odcięta 𝑝 wierzchołka tej paraboli jest równa\n𝑝= -1 + 5\n2\n= 2\nStąd\n-𝑏\n2𝑎= 2\n𝑏= -4𝑎\nPonieważ zbiorem wartości funkcji 𝑓 jest przedział (-∞, 6⟩, więc rzędna 𝑞 wierzchołka\nparaboli jest równa 6.\nStąd\n-∆\n4𝑎= 6\n-(𝑏2 -4𝑎𝑐)\n4𝑎\n= 6\nPodstawiamy do ostatniego równania w miejsce 𝑏 wyrażenie (-4𝑎) i otrzymujemy:\n-((-4𝑎)2 -4𝑎𝑐)\n4𝑎\n= 6\n4𝑎⋅(-4𝑎+ 𝑐)\n4𝑎\n= 6\n-4𝑎+ 𝑐= 6\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑐= 4𝑎+ 6\nPunkt 𝐴= (-1, 3) leży na wykresie funkcji 𝑓, zatem\n𝑓(-1) = 3\n𝑎⋅(-1)2 + 𝑏⋅(-1) + 𝑐= 3\n𝑎-𝑏+ 𝑐= 3\nZ uzyskanych równań obliczamy 𝑎:\n𝑎-(-4𝑎) + 4𝑎+ 6 = 3\n9𝑎= -3\n𝑎= -1\n3\nZatem\n𝑐= 4𝑎+ 6 = 4 ⋅(-1\n3) + 6 = -4\n3 + 6 = 14\n3\nSposób V\nRozważmy funkcję kwadratową 𝑔 określoną dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 wzorem\n𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) -3.\nWykres funkcji 𝑔 przechodzi przez punkty (-1, 0) i (5, 0), więc miejscami zerowymi funkcji\n𝑔 są liczby (-1) oraz 5. Zatem wzór funkcji 𝑔 możemy zapisać w postaci iloczynowej\n𝑔(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 1)(𝑥-5).\nZbiorem wartości funkcji 𝑔 jest przedział (-∞, 3⟩, więc rzędna 𝑞 wierzchołka paraboli,\nktóra jest wykresem funkcji 𝑔, jest równa 3.\nOdcięta 𝑝 wierzchołka tej paraboli jest równa -1+5\n2\n= 2.\nPonieważ 𝑔(2) = 3, więc\n𝑎(2 + 1)(2 -5) = 3\n-9𝑎= 3\n𝑎= -1\n3\nZapisujemy wzór funkcji 𝑔 w postaci ogólnej\n𝑔(𝑥) = -1\n3 (𝑥+ 1)(𝑥-5) = -1\n3 (𝑥2 -4𝑥-5) = -1\n3 𝑥2 + 4\n3 𝑥+ 5\n3\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci ogólnej\n𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) + 3 = -1\n3 𝑥2 + 4\n3 𝑥+ 5\n3 + 3 = -1\n3 𝑥2 + 4\n3 𝑥+ 14\n3\nStąd otrzymujemy wartość szukanego współczynnika: 𝑐= 14\n3","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":26,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 32. (0-4)
Funkcja kwadratowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐.
Zbiorem wartości funkcji 𝑓 jest przedział (-∞, 6⟩. Parabola, która jest wykresem funkcji 𝑓,
przechodzi przez punkty 𝐴= (-1, 3) i 𝐵= (5, 3).
Oblicz wartość współczynnika 𝑐.

\n

EMAP-P0_100
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
32.
Maks. liczba pkt
4
Uzyskana liczba pkt

\n

EMAP-P0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 32. (0-4)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie strategii.
Zdający:
4.9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na
podstawie pewnych informacji o tej funkcji
lub o jej wykresie.
Zasady oceniania
4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑐= 14
3
3 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-2)2 + 6 oraz obliczenie
współczynnika 𝑎: 𝑎= -1
3
ALBO

\n\n

prowadzącego do obliczenia wartości współczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐, np.:
𝑎⋅(-1)2 + 𝑏⋅(-1) + 𝑐= 3 oraz
𝑎⋅52 + 𝑏⋅5 + 𝑐= 3 oraz
-(𝑏2-4𝑎𝑐)
4𝑎
= 6
lub
𝑎⋅(-1)2 + 𝑏⋅(-1) + 𝑐= 3 oraz
𝑎⋅52 + 𝑏⋅5 + 𝑐= 3 oraz
𝑎⋅22 + 𝑏⋅2 + 𝑐= 6
ALBO

\n\n

współczynnika 𝑎: 𝑎= -1
3
ALBO

\n\n

współczynnika 𝑎: 𝑎= -1
3
2 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-2)2 + 6
ALBO

\n\n

jednego z równań:
𝑎⋅(-1)2 + 𝑏⋅(-1) + 𝑐= 3 lub 𝑎⋅52 + 𝑏⋅5 + 𝑐= 3, lub -𝑏
2𝑎= 2,
ALBO

\n\n

jest którymś z równań
-(𝑏2-4𝑎𝑐)
4𝑎
= 6 lub 𝑎⋅22 + 𝑏⋅2 + 𝑐= 6,
Zasady oceniania rozwiązań zadań
natomiast drugie jest jednym z równań
𝑎⋅(-1)2 + 𝑏⋅(-1) + 𝑐= 3 lub 𝑎⋅52 + 𝑏⋅5 + 𝑐= 3, lub -𝑏
2𝑎= 2,
ALBO

\n\n

współrzędnych wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝑔: 𝑊𝑔= (2, 3),
ALBO

\n\n

współrzędnych wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓: 𝑊𝑓= (2, 6).
1 pkt - zapisanie, że rzędna 𝑞 wierzchołka paraboli jest równa 6: 𝑞= 6,
ALBO

\n\n

ALBO

\n\n

zadania, np. 𝑎⋅(-1)2 + 𝑏⋅(-1) + 𝑐= 3,
ALBO

\n\n

𝑔 w postaci 𝑔(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 1)(𝑥-5).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający błędnie przyjmie współrzędne wierzchołka paraboli 𝑊= (6, 2), to za całe
\n

rozwiązanie otrzymuje 0 punktów, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający poprawnie obliczy/poda obie współrzędne wierzchołka paraboli, ale zapisze
\n

błędne równanie 3 = 𝑎(-1 + 2)2 + 6 lub 3 = 𝑎(5 + 2)2 + 6, a następnie
konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 2 punkty
za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający poprawnie zidentyfikuje miejsca zerowe funkcji 𝑔, ale zapisze błędne
\n

równanie 3 = 𝑎(2 -1)(2 + 5) lub 3 = 𝑎(2 -1)(2 -5) lub 3 = 𝑎(2 + 1)(2 + 5),
a następnie konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to
otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający poprawnie zidentyfikuje miejsca zerowe funkcji 𝑔, ale zapisze błędne
\n

równanie 6 = 𝑎(2 + 1)(2 -5), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie (za
wyznaczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli).
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Parabola, która jest wykresem funkcji 𝑓, przechodzi przez punkty 𝐴= (-1, 3) i 𝐵= (5, 3).
Punkty 𝐴 i 𝐵 mają równe rzędne, więc są symetryczne względem osi symetrii tej paraboli,
stąd odcięta 𝑝 wierzchołka tej paraboli jest równa -1+5
2
= 2.
Ponieważ zbiorem wartości funkcji 𝑓 jest przedział (-∞, 6⟩, więc rzędna 𝑞 wierzchołka
paraboli jest równa 6. Zatem wierzchołek 𝑊 paraboli ma współrzędne 𝑊= (2, 6).
Korzystamy ze wzoru na postać kanoniczną funkcji kwadratowej i zapisujemy:
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-2)2 + 6, gdzie 𝑎≠0
Punkt (-1, 3) leży na wykresie funkcji 𝑓, więc
𝑓(-1) = 3
𝑎(-1 -2)2 + 6 = 3
9𝑎= -3
𝑎= -1
3
Zatem 𝑓(𝑥) = -1
3 (𝑥-2)2 + 6.
Obliczamy wartość współczynnika 𝑐:
𝑐= 𝑓(0) = -1
3 (0 -2)2 + 6 = -4
3 + 6 = 14
3
Sposób II
Parabola, która jest wykresem funkcji 𝑓, przechodzi przez punkty 𝐴= (-1, 3) i 𝐵= (5, 3),
więc
{ 𝑓(-1) = 3
𝑓(5) = 3
{ 𝑎⋅(-1)2 + 𝑏⋅(-1) + 𝑐= 3
𝑎⋅52 + 𝑏⋅5 + 𝑐= 3
{ 𝑎-𝑏+ 𝑐= 3
25𝑎+ 5𝑏+ 𝑐= 3
Odejmując równania stronami, otrzymujemy:
(𝑎-𝑏+ 𝑐) -(25𝑎+ 5𝑏+ 𝑐) = 3 -3
-24𝑎-6𝑏= 0
𝑏= -4𝑎
Ponieważ zbiorem wartości funkcji 𝑓 jest przedział (-∞, 6⟩, więc rzędna 𝑞 wierzchołka
paraboli jest równa 6.
Stąd
-∆
4𝑎= 6
-(𝑏2 -4𝑎𝑐)
4𝑎
= 6
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Podstawiamy do ostatniego równania w miejsce 𝑏 wyrażenie (-4𝑎) i otrzymujemy:
-((-4𝑎)2 -4𝑎𝑐)
4𝑎
= 6
4𝑎⋅(-4𝑎+ 𝑐)
4𝑎
= 6
-4𝑎+ 𝑐= 6
𝑎= 𝑐-6
4
Z uzyskanych wcześniej równań 𝑎-𝑏+ 𝑐= 3, 𝑏= -4𝑎 oraz 𝑎= 𝑐-6
4 obliczamy 𝑐:
𝑎-𝑏+ 𝑐= 3
𝑎+ 4𝑎+ 𝑐= 3
5𝑎+ 𝑐= 3
5 (𝑐-6
4
) + 𝑐= 3
5𝑐-30 + 4𝑐= 12
9𝑐= 42
𝑐= 42
9 = 14
3
Sposób III
Punkty 𝐴 i 𝐵 mają równe rzędne, więc są symetryczne względem osi symetrii tej paraboli,
stąd odcięta 𝑝 wierzchołka tej paraboli jest równa -1+5
2
= 2.
Ponieważ zbiorem wartości funkcji 𝑓 jest przedział (-∞, 6⟩, więc rzędna 𝑞 wierzchołka
paraboli jest równa 6. Zatem wierzchołek 𝑊 paraboli ma współrzędne 𝑊= (2, 6).
Punkty (-1, 3), (5, 3), (2, 6) leżą na wykresie funkcji 𝑓, zatem
{
𝑓(-1) = 3
𝑓(5) = 3
𝑓(2) = 6
{
𝑎⋅(-1)2 + 𝑏⋅(-1) + 𝑐= 3
𝑎⋅52 + 𝑏⋅5 + 𝑐= 3
𝑎⋅22 + 𝑏⋅2 + 𝑐= 6
{
𝑎-𝑏+ 𝑐= 3
25𝑎+ 5𝑏+ 𝑐= 3
4𝑎+ 2𝑏+ 𝑐= 6
{
𝑏= 𝑎+ 𝑐-3
25𝑎+ 5𝑏+ 𝑐= 3
4𝑎+ 2𝑏+ 𝑐= 6
{ 25𝑎+ 5(𝑎+ 𝑐-3) + 𝑐= 3
4𝑎+ 2(𝑎+ 𝑐-3) + 𝑐= 6
{ 25𝑎+ 5𝑎+ 5𝑐-15 + 𝑐= 3
4𝑎+ 2𝑎+ 2𝑐-6 + 𝑐= 6
{ 30𝑎+ 6𝑐= 18
6𝑎+ 3𝑐= 12
{ 5 ⋅6𝑎+ 6𝑐= 18
6𝑎= -3𝑐+ 12
Stąd
5 ⋅(-3𝑐+ 12) + 6𝑐= 18
-15𝑐+ 60 + 6𝑐= 18
-9𝑐= -42
𝑐= -42
-9 = 14
3
Sposób IV
Parabola, która jest wykresem funkcji 𝑓, przechodzi przez punkty 𝐴= (-1, 3) i 𝐵= (5, 3).
Punkty 𝐴 i 𝐵 mają równe rzędne, więc są symetryczne względem osi symetrii tej paraboli.
Zatem odcięta 𝑝 wierzchołka tej paraboli jest równa
𝑝= -1 + 5
2
= 2
Stąd
-𝑏
2𝑎= 2
𝑏= -4𝑎
Ponieważ zbiorem wartości funkcji 𝑓 jest przedział (-∞, 6⟩, więc rzędna 𝑞 wierzchołka
paraboli jest równa 6.
Stąd
-∆
4𝑎= 6
-(𝑏2 -4𝑎𝑐)
4𝑎
= 6
Podstawiamy do ostatniego równania w miejsce 𝑏 wyrażenie (-4𝑎) i otrzymujemy:
-((-4𝑎)2 -4𝑎𝑐)
4𝑎
= 6
4𝑎⋅(-4𝑎+ 𝑐)
4𝑎
= 6
-4𝑎+ 𝑐= 6
Zasady oceniania rozwiązań zadań
𝑐= 4𝑎+ 6
Punkt 𝐴= (-1, 3) leży na wykresie funkcji 𝑓, zatem
𝑓(-1) = 3
𝑎⋅(-1)2 + 𝑏⋅(-1) + 𝑐= 3
𝑎-𝑏+ 𝑐= 3
Z uzyskanych równań obliczamy 𝑎:
𝑎-(-4𝑎) + 4𝑎+ 6 = 3
9𝑎= -3
𝑎= -1
3
Zatem
𝑐= 4𝑎+ 6 = 4 ⋅(-1

\n
  1. + 6 = -4
\n

3 + 6 = 14
3
Sposób V
Rozważmy funkcję kwadratową 𝑔 określoną dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 wzorem
𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) -3.
Wykres funkcji 𝑔 przechodzi przez punkty (-1, 0) i (5, 0), więc miejscami zerowymi funkcji
𝑔 są liczby (-1) oraz 5. Zatem wzór funkcji 𝑔 możemy zapisać w postaci iloczynowej
𝑔(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 1)(𝑥-5).
Zbiorem wartości funkcji 𝑔 jest przedział (-∞, 3⟩, więc rzędna 𝑞 wierzchołka paraboli,
która jest wykresem funkcji 𝑔, jest równa 3.
Odcięta 𝑝 wierzchołka tej paraboli jest równa -1+5
2
= 2.
Ponieważ 𝑔(2) = 3, więc
𝑎(2 + 1)(2 -5) = 3
-9𝑎= 3
𝑎= -1
3
Zapisujemy wzór funkcji 𝑔 w postaci ogólnej
𝑔(𝑥) = -1
3 (𝑥+ 1)(𝑥-5) = -1
3 (𝑥2 -4𝑥-5) = -1
3 𝑥2 + 4
3 𝑥+ 5
3
Zapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci ogólnej
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) + 3 = -1
3 𝑥2 + 4
3 𝑥+ 5
3 + 3 = -1
3 𝑥2 + 4
3 𝑥+ 14
3
Stąd otrzymujemy wartość szukanego współczynnika: 𝑐= 14
3

","solutions":[]}