{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-4)\nTworząca stożka ma długość 8. Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę 120°.\nOblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego stożka.\n\nEMAP-P0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n33.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n9.3) rozpoznaje […] w stożkach kąt między\nodcinkami oraz kąt między odcinkami\ni płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka,\nkąt między tworzącą a podstawą) […];\n9.6) stosuje trygonometrię do obliczeń\ndługości odcinków, miar kątów, pól\npowierzchni i objętości.\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia objętości i pola powierzchni całkowitej stożka oraz\npoprawne wyniki: 𝑉= 64𝜋 i 𝑃𝑐= 48𝜋+ 32𝜋√3.\n3 pkt - obliczenie objętości stożka: 𝑉= 64𝜋\nALBO\n- zapisanie wysokości stożka: 𝐻= 4 oraz obliczenie pola powierzchni całkowitej\nstożka: 𝑃𝑐= 48𝜋+ 32𝜋√3,\nALBO\n- zapisanie objętości stożka w zależności od tworzącej 𝑙, np. 𝑉= 1\n3 𝜋(𝑙√3\n2 )\n2\n⋅𝑙\n2 oraz\nobliczenie pola powierzchni całkowitej stożka: 𝑃𝑐= 48𝜋+ 32𝜋√3.\n2 pkt - zapisanie promienia podstawy stożka: 𝑟= 4√3 oraz zapisanie wysokości\nstożka: 𝐻= 4\nALBO\n- obliczenie kwadratu promienia podstawy stożka: 𝑟2 = 48 oraz zapisanie wysokości\nstożka: 𝐻= 4,\nALBO\n- obliczenie pola powierzchni całkowitej stożka: 𝑃𝑐= 48𝜋+ 32𝜋√3,\nALBO\n- zapisanie wysokości stożka: 𝐻= 4 oraz wyznaczenie objętości stożka\nw zależności od 𝐻, np. 𝑉= 1\n3 𝜋(𝐻√3)\n2 ⋅𝐻,\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- zapisanie promienia podstawy stożka: 𝑟= 4√3 oraz wyznaczenie objętości stożka\nw zależności od 𝑟, np. 𝑉= 1\n3 𝜋𝑟2 ⋅𝑟\n√3 ,\nALBO\n- wyznaczenie objętości stożka w zależności od tworzącej 𝑙, np. 𝑉= 1\n3 𝜋(𝑙√3\n2 )\n2\n⋅𝑙\n2 .\n1 pkt - zapisanie promienia podstawy stożka: 𝑟= 4√3\nALBO\n- zapisanie wysokości stożka: 𝐻= 4,\nALBO\n- obliczenie kwadratu promienia podstawy stożka: 𝑟2 = 48,\nALBO\n- zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć 𝑟 oraz 𝐻, np.:\n𝑟= 𝑥√3 oraz 𝐻= 𝑥 oraz 𝑙= 2𝑥 oraz 𝑙= 8,\n𝑟\n8 = sin 60° oraz 𝐻\n8 = cos 60°,\n1\n2 ⋅2𝑟⋅𝐻= 1\n2 ⋅8 ⋅8 ⋅sin 120° oraz 𝑟2 + 𝐻2 = 82,\n(2𝑟)2 = 82 + 82 -2 ⋅8 ⋅8 ⋅cos 120° oraz 𝑟2 + 𝐻2 = 82,\nALBO\n- wyznaczenie objętości stożka w zależności od 𝐻, np. 𝑉= 1\n3 𝜋(𝐻√3)\n2 ⋅𝐻,\nALBO\n- wyznaczenie objętości stożka w zależności od 𝑟, np. 𝑉= 1\n3 𝜋𝑟2 ⋅𝑟\n√3 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający przyjmuje w rozwiązaniu, że:\na) trójkąt 𝑆𝑂𝐵 jest trójkątem równobocznym,\nb) wysokość stożka jest równa 8, lub\nc) promień podstawy stożka jest równy 8,\nto otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:\na) zastosowanie niepoprawnej definicji jednej funkcji trygonometrycznej,\nb) błędne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa,\nc) błędne zastosowanie twierdzenia cosinusów,\nd) zastosowanie niepoprawnej tożsamości √𝑥2 + 𝑦2 = 𝑥+ 𝑦,\ne) błędne zastosowanie własności trójkąta o kątach 30°, 60°, 90° (tzn. zapisanie,\nże promień podstawy stożka jest równy 4 i wysokość stożka jest równa 4√3 ),\nlub\nf) przyjęcie, że kąt 120° to kąt wycinka koła o promieniu 8 tworzącego\npowierzchnię boczną stożka,\ni rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać\nco najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za konsekwentne obliczenie objętości i pola\npowierzchni całkowitej stożka).\nJeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych błędów a)-f), to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów (np. za\nzapisanie wysokości stożka: 𝐻= 4).\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzyjmujemy oznaczenia jak na rysunku,\nprzedstawiającym przekrój osiowy\nrozważanego stożka:\n𝑆 - wierzchołek stożka,\n𝑂 - spodek wysokości stożka,\n𝑟 - promień podstawy stożka,\n𝐻 - wysokość stożka.\nZauważamy, że 𝑟> 0 i 𝐻> 0.\nPonieważ 𝑂 jest spodkiem wysokości stożka, to |∡𝑂𝑆𝐵| = 60°.\nW trójkącie prostokątnym 𝑂𝐵𝑆 mamy\nsin 60° = |𝑂𝐵|\n|𝑆𝐵| = 𝑟\n8\nZatem\n𝑟= 8 ⋅sin 60° = 8 ⋅√3\n2 = 4√3\nPonadto\ncos 60° =\n|𝑆𝑂|\n|𝑆𝐵| = 𝐻\n8\nStąd\n𝐻= 8 ⋅cos 60° = 8 ⋅1\n2 = 4\nObliczamy objętość 𝑉 stożka:\n𝑉= 1\n3 ⋅𝜋⋅𝑟2 ⋅𝐻= 1\n3 ⋅𝜋⋅(4√3)\n2 ⋅4 = 64𝜋\nObliczamy pole powierzchni całkowitej 𝑃𝑐 stożka:\n𝑃𝑐= 𝜋⋅𝑟⋅(𝑟+ 𝑙) = 𝜋⋅4√3 ⋅(4√3 + 8) = 48𝜋+ 32𝜋√3\n120°\n60°\n𝐴\n𝑂\n𝑆\n𝐵\n8\n𝑟\n𝐻\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób II\nPrzyjmujemy oznaczenia jak na rysunku,\nprzedstawiającym przekrój osiowy\nrozważanego stożka:\n𝑆 - wierzchołek stożka,\n𝑂 - spodek wysokości stożka,\n𝑟 - promień podstawy stożka,\n𝐻 - wysokość stożka.\nZauważamy, że 𝑟> 0 i 𝐻> 0.\nKorzystamy z twierdzenia cosinusów dla trójkąta 𝐴𝐵𝑆 i otrzymujemy:\n(2𝑟)2 = 82 + 82 -2 ⋅8 ⋅8 ⋅cos 120°\n4𝑟2 = 128 -128 ⋅cos 120°\nPonieważ cos 120° = -cos 60° = -1\n2 , więc\n4𝑟2 = 128 -128 ⋅(-1\n2)\n4𝑟2 = 192\n𝑟2 = 48\n𝑟= 4√3\nKorzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝑂𝐵𝑆 i obliczamy wysokość stożka:\n𝐻2 = 82 -𝑟2\n𝐻2 = 64 -48\n𝐻2 = 16\n𝐻= 4\nObliczamy objętość 𝑉 stożka:\n𝑉= 1\n3 ⋅𝜋⋅𝑟2 ⋅𝐻= 1\n3 ⋅𝜋⋅48 ⋅4 = 64𝜋\nObliczamy pole powierzchni całkowitej 𝑃𝑐 stożka:\n𝑃𝑐= 𝜋⋅𝑟⋅(𝑟+ 𝑙) = 𝜋⋅4√3 ⋅(4√3 + 8) = 48𝜋+ 32𝜋√3\n120°\n𝐴\n𝑂\n𝑆\n𝐵\n8\n𝑟\n𝐻\nSposób III\nPrzyjmujemy oznaczenia jak na rysunku,\nprzedstawiającym przekrój osiowy\nrozważanego stożka:\n𝑆 - wierzchołek stożka,\n𝑂 - spodek wysokości stożka,\n𝑟 - promień podstawy stożka,\n𝐻 - wysokość stożka.\nZauważamy, że 𝑟> 0 i 𝐻> 0.\nPole trójkąta 𝐴𝐵𝑆 jest równe\n𝑃𝐴𝐵𝑆= 1\n2 ⋅8 ⋅8 ⋅sin 120° = 32 ⋅sin 60° = 32 ⋅√3\n2 = 16√3\nZatem\n1\n2 ⋅2𝑟⋅𝐻= 16√3\nstąd\n𝑟⋅𝐻= 16√3\nKorzystamy z twierdzenia cosinusów dla trójkąta 𝐴𝐵𝑆 i otrzymujemy:\n(2𝑟)2 = 82 + 82 -2 ⋅8 ⋅8 ⋅cos 120°\n4𝑟2 = 128 -128 ⋅(-cos 60°)\n4𝑟2 = 128 -128 ⋅(-1\n2)\n4𝑟2 = 192\n𝑟2 = 48\n𝑟= 4√3\nObliczamy objętość 𝑉 stożka:\n𝑉= 1\n3 ⋅𝜋⋅𝑟2 ⋅𝐻= 1\n3 ⋅𝜋⋅𝑟⋅𝑟⋅𝐻= 1\n3 ⋅𝜋⋅4√3 ⋅16√3 = 64𝜋\nObliczamy pole powierzchni całkowitej 𝑃𝑐 stożka:\n𝑃𝑐= 𝜋⋅𝑟⋅(𝑟+ 𝑙) = 𝜋⋅4√3 ⋅(4√3 + 8) = 48𝜋+ 32𝜋√3\n120°\n𝐴\n𝑂\n𝑆\n𝐵\n8\n𝑟\n𝐻\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":28,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 33. (0-4)
Tworząca stożka ma długość 8. Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę 120°.
Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego stożka.

\n

EMAP-P0_100
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
33.
Maks. liczba pkt
4
Uzyskana liczba pkt

\n

EMAP-P0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 33. (0-4)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie strategii.
Zdający:
9.3) rozpoznaje […] w stożkach kąt między
odcinkami oraz kąt między odcinkami
i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka,
kąt między tworzącą a podstawą) […];
9.6) stosuje trygonometrię do obliczeń
długości odcinków, miar kątów, pól
powierzchni i objętości.
Zasady oceniania
4 pkt - poprawna metoda obliczenia objętości i pola powierzchni całkowitej stożka oraz
poprawne wyniki: 𝑉= 64𝜋 i 𝑃𝑐= 48𝜋+ 32𝜋√3.
3 pkt - obliczenie objętości stożka: 𝑉= 64𝜋
ALBO

\n\n

stożka: 𝑃𝑐= 48𝜋+ 32𝜋√3,
ALBO

\n\n

3 𝜋(𝑙√3
2 )
2
⋅𝑙
2 oraz
obliczenie pola powierzchni całkowitej stożka: 𝑃𝑐= 48𝜋+ 32𝜋√3.
2 pkt - zapisanie promienia podstawy stożka: 𝑟= 4√3 oraz zapisanie wysokości
stożka: 𝐻= 4
ALBO

\n\n

stożka: 𝐻= 4,
ALBO

\n\n

ALBO

\n\n

w zależności od 𝐻, np. 𝑉= 1
3 𝜋(𝐻√3)
2 ⋅𝐻,
ALBO
Zasady oceniania rozwiązań zadań

\n\n

w zależności od 𝑟, np. 𝑉= 1
3 𝜋𝑟2 ⋅𝑟
√3 ,
ALBO

\n\n

3 𝜋(𝑙√3
2 )
2
⋅𝑙
2 .
1 pkt - zapisanie promienia podstawy stożka: 𝑟= 4√3
ALBO

\n\n

ALBO

\n\n

ALBO

\n\n

𝑟= 𝑥√3 oraz 𝐻= 𝑥 oraz 𝑙= 2𝑥 oraz 𝑙= 8,
𝑟
8 = sin 60° oraz 𝐻
8 = cos 60°,
1
2 ⋅2𝑟⋅𝐻= 1
2 ⋅8 ⋅8 ⋅sin 120° oraz 𝑟2 + 𝐻2 = 82,
(2𝑟)2 = 82 + 82 -2 ⋅8 ⋅8 ⋅cos 120° oraz 𝑟2 + 𝐻2 = 82,
ALBO

\n\n

3 𝜋(𝐻√3)
2 ⋅𝐻,
ALBO

\n\n

3 𝜋𝑟2 ⋅𝑟
√3 .
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający przyjmuje w rozwiązaniu, że:
\n

a) trójkąt 𝑆𝑂𝐵 jest trójkątem równobocznym,
b) wysokość stożka jest równa 8, lub
c) promień podstawy stożka jest równy 8,
to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:
\n

a) zastosowanie niepoprawnej definicji jednej funkcji trygonometrycznej,
b) błędne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa,
c) błędne zastosowanie twierdzenia cosinusów,
d) zastosowanie niepoprawnej tożsamości √𝑥2 + 𝑦2 = 𝑥+ 𝑦,
e) błędne zastosowanie własności trójkąta o kątach 30°, 60°, 90° (tzn. zapisanie,
że promień podstawy stożka jest równy 4 i wysokość stożka jest równa 4√3 ),
lub
f) przyjęcie, że kąt 120° to kąt wycinka koła o promieniu 8 tworzącego
powierzchnię boczną stożka,
i rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać
co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za konsekwentne obliczenie objętości i pola
powierzchni całkowitej stożka).
Jeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych błędów a)-f), to otrzymuje
0 punktów za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów (np. za
zapisanie wysokości stożka: 𝐻= 4).
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku,
przedstawiającym przekrój osiowy
rozważanego stożka:
𝑆 - wierzchołek stożka,
𝑂 - spodek wysokości stożka,
𝑟 - promień podstawy stożka,
𝐻 - wysokość stożka.
Zauważamy, że 𝑟> 0 i 𝐻> 0.
Ponieważ 𝑂 jest spodkiem wysokości stożka, to |∡𝑂𝑆𝐵| = 60°.
W trójkącie prostokątnym 𝑂𝐵𝑆 mamy
sin 60° = |𝑂𝐵|
|𝑆𝐵| = 𝑟
8
Zatem
𝑟= 8 ⋅sin 60° = 8 ⋅√3
2 = 4√3
Ponadto
cos 60° =
|𝑆𝑂|
|𝑆𝐵| = 𝐻
8
Stąd
𝐻= 8 ⋅cos 60° = 8 ⋅1
2 = 4
Obliczamy objętość 𝑉 stożka:
𝑉= 1
3 ⋅𝜋⋅𝑟2 ⋅𝐻= 1
3 ⋅𝜋⋅(4√3)
2 ⋅4 = 64𝜋
Obliczamy pole powierzchni całkowitej 𝑃𝑐 stożka:
𝑃𝑐= 𝜋⋅𝑟⋅(𝑟+ 𝑙) = 𝜋⋅4√3 ⋅(4√3 + 8) = 48𝜋+ 32𝜋√3
120°
60°
𝐴
𝑂
𝑆
𝐵
8
𝑟
𝐻
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Sposób II
Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku,
przedstawiającym przekrój osiowy
rozważanego stożka:
𝑆 - wierzchołek stożka,
𝑂 - spodek wysokości stożka,
𝑟 - promień podstawy stożka,
𝐻 - wysokość stożka.
Zauważamy, że 𝑟> 0 i 𝐻> 0.
Korzystamy z twierdzenia cosinusów dla trójkąta 𝐴𝐵𝑆 i otrzymujemy:
(2𝑟)2 = 82 + 82 -2 ⋅8 ⋅8 ⋅cos 120°
4𝑟2 = 128 -128 ⋅cos 120°
Ponieważ cos 120° = -cos 60° = -1
2 , więc
4𝑟2 = 128 -128 ⋅(-1
2)
4𝑟2 = 192
𝑟2 = 48
𝑟= 4√3
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝑂𝐵𝑆 i obliczamy wysokość stożka:
𝐻2 = 82 -𝑟2
𝐻2 = 64 -48
𝐻2 = 16
𝐻= 4
Obliczamy objętość 𝑉 stożka:
𝑉= 1
3 ⋅𝜋⋅𝑟2 ⋅𝐻= 1
3 ⋅𝜋⋅48 ⋅4 = 64𝜋
Obliczamy pole powierzchni całkowitej 𝑃𝑐 stożka:
𝑃𝑐= 𝜋⋅𝑟⋅(𝑟+ 𝑙) = 𝜋⋅4√3 ⋅(4√3 + 8) = 48𝜋+ 32𝜋√3
120°
𝐴
𝑂
𝑆
𝐵
8
𝑟
𝐻
Sposób III
Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku,
przedstawiającym przekrój osiowy
rozważanego stożka:
𝑆 - wierzchołek stożka,
𝑂 - spodek wysokości stożka,
𝑟 - promień podstawy stożka,
𝐻 - wysokość stożka.
Zauważamy, że 𝑟> 0 i 𝐻> 0.
Pole trójkąta 𝐴𝐵𝑆 jest równe
𝑃𝐴𝐵𝑆= 1
2 ⋅8 ⋅8 ⋅sin 120° = 32 ⋅sin 60° = 32 ⋅√3
2 = 16√3
Zatem
1
2 ⋅2𝑟⋅𝐻= 16√3
stąd
𝑟⋅𝐻= 16√3
Korzystamy z twierdzenia cosinusów dla trójkąta 𝐴𝐵𝑆 i otrzymujemy:
(2𝑟)2 = 82 + 82 -2 ⋅8 ⋅8 ⋅cos 120°
4𝑟2 = 128 -128 ⋅(-cos 60°)
4𝑟2 = 128 -128 ⋅(-1
2)
4𝑟2 = 192
𝑟2 = 48
𝑟= 4√3
Obliczamy objętość 𝑉 stożka:
𝑉= 1
3 ⋅𝜋⋅𝑟2 ⋅𝐻= 1
3 ⋅𝜋⋅𝑟⋅𝑟⋅𝐻= 1
3 ⋅𝜋⋅4√3 ⋅16√3 = 64𝜋
Obliczamy pole powierzchni całkowitej 𝑃𝑐 stożka:
𝑃𝑐= 𝜋⋅𝑟⋅(𝑟+ 𝑙) = 𝜋⋅4√3 ⋅(4√3 + 8) = 48𝜋+ 32𝜋√3
120°
𝐴
𝑂
𝑆
𝐵
8
𝑟
𝐻
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[]}