{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"34","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (0-5)\nW układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-2, -1), 𝐵= (0, 0) oraz 𝐶= (4, 8)\nsą wierzchołkami trapezu prostokątnego 𝐴𝐵𝐶𝐷 o podstawach 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷.\nKąt 𝐷𝐴𝐵 jest prosty.\nOblicz współrzędne punktu 𝐷 oraz długość odcinka 𝐵𝐷.\n\nEMAP-P0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n34.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (0-5)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n8.1) wyznacza równanie prostej\nprzechodzącej przez dwa dane punkty\n(w postaci kierunkowej lub ogólnej);\n8.3) wyznacza równanie prostej, która jest\nrównoległa lub prostopadła do prostej danej\nw postaci kierunkowej i przechodzi przez\ndany punkt;\n8.4) oblicza współrzędne punktu przecięcia\ndwóch prostych;\n8.6) oblicza odległość dwóch punktów.\nZasady oceniania\n5 pkt - poprawna metoda obliczenia współrzędnych punktu 𝐷 oraz długości odcinka 𝐵𝐷\noraz podanie poprawnych wyników: 𝐷= (-22\n5 , 19\n5 ), |𝐵𝐷| = 13√5\n5\n4 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐷: 𝐷= (-22\n5 , 19\n5 )\nALBO\n- obliczenie długości odcinka 𝐵𝐷: |𝐵𝐷| = |𝐴𝐸| = 13√5\n5\n3 pkt - zapisanie równania prostej 𝐴𝐷, np. 𝑦= -2𝑥-5 oraz zapisanie równania prostej\n𝐶𝐷, np. 𝑦= 1\n2 𝑥+ 6\nALBO\n- zapisanie równania, w którym niewiadomą jest jedna ze współrzędnych punktu 𝐷, np.\n|1 ⋅𝑥𝑑-2 ⋅(-2𝑥𝑑-5) + 0|\n√12 + (-2)2\n= 12\n√5\n,\nALBO\n- obliczenie odległości 𝑑 punktu 𝐶 od prostej 𝐴𝐵: 𝑑= 12\n√5\noraz obliczenie\ndługości odcinka 𝐴𝐵: |𝐴𝐵| = √5 .\n2 pkt - zapisanie równania prostej 𝐴𝐷, np. 𝑦= -2𝑥-5\nALBO\n- zapisanie równania prostej 𝐶𝐷, np. 𝑦= 1\n2 𝑥+ 6,\nALBO\n- obliczenie odległości 𝑑 punktu 𝐶 od prostej 𝐴𝐵: 𝑑= 12\n√5\n1 pkt - obliczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐴𝐵 (lub 𝐶𝐷): 𝑎𝐴𝐵= 1\n2\n(lub 𝑎𝐶𝐷= 1\n2)\nALBO\n- zapisanie równania prostej 𝐴𝐵 w postaci ogólnej: 𝑥-2𝑦= 0.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli jedynym błędem zdającego jest:\na) zastosowanie niepoprawnego wzoru na współczynnik kierunkowy prostej,\nb) zastosowanie niepoprawnego związku między współczynnikami kierunkowymi\nprostych równoległych,\nc) zastosowanie niepoprawnego związku między współczynnikami kierunkowymi\nprostych prostopadłych, lub\nd) zastosowanie niepoprawnego wzoru na odległość punktu od prostej,\ni rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać\nco najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\nJeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych błędów a)-d), to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nObliczamy współczynnik kierunkowy prostej 𝐴𝐵:\n𝑎𝐴𝐵= 0 -(-1)\n0 -(-2) = 1\n2\nProsta 𝐶𝐷 jest równoległa do prostej 𝐴𝐵, zatem współczynnik kierunkowy prostej 𝐶𝐷 jest\nrówny 1\n2\n. Wyznaczamy równanie prostej 𝐶𝐷:\n𝑦= 1\n2 (𝑥-4) + 8\n𝑦= 1\n2 𝑥+ 6\nProsta 𝐴𝐷 jest prostopadła do prostej 𝐴𝐵, zatem współczynnik kierunkowy prostej 𝐴𝐷\njest równy (-2). Wyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐷:\n𝑦= -2(𝑥+ 2) -1\n𝑦= -2𝑥-5\nPunkt 𝐷 jest punktem wspólnym prostych 𝐶𝐷 i 𝐴𝐷, zatem współrzędne tego punktu są\nrozwiązaniem układu równań\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n{ 𝑦= 1\n2 𝑥+ 6\n𝑦= -2𝑥-5\nStąd\n1\n2 𝑥+ 6 = -2𝑥-5\n5\n2 𝑥= -11\n𝑥= -22\n5\n𝑦= -2 ⋅(-22\n5 ) -5 = 19\n5\nZatem 𝐷= (-22\n5 , 19\n5 ).\nObliczamy długość odcinka 𝐵𝐷:\n|𝐵𝐷| = √(-22\n5 -0)\n2\n+ (19\n5 -0)\n2\n= √484\n25 + 361\n25 = √845\n25 = 13√5\n5\nSposób II\nWyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐵:\n(𝑦+ 1)(0 + 2) -(0 + 1)(𝑥+ 2) = 0\n2𝑦+ 2 -𝑥-2 = 0\n𝑥-2𝑦= 0\n𝑦= 1\n2 𝑥\nProsta 𝐴𝐷 jest prostopadła do prostej 𝐴𝐵, zatem współczynnik kierunkowy prostej 𝐴𝐷\njest równy (-2). Wyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐷:\n𝑦= -2(𝑥+ 2) -1\n𝑦= -2𝑥-5\nPunkt 𝐷 leży na tej prostej, stąd 𝑦𝑑= -2𝑥𝑑-5.\nObliczamy odległość 𝑑 punktu 𝐶 od prostej 𝐴𝐵:\n𝑑= |1 ⋅4 -2 ⋅8 + 0|\n√12 + (-2)2\n= 12\n√5\nOdległość punktu 𝐷 od prostej 𝐴𝐵 jest także równa 12\n√5\n, stąd otrzymujemy równanie\n|1 ⋅𝑥𝑑-2 ⋅(-2𝑥𝑑-5) + 0|\n√12 + (-2)2\n= 12\n√5\n|5 ⋅𝑥𝑑+ 10|\n√5\n= 12\n√5\n5 ⋅|𝑥𝑑+ 2| = 12\n|𝑥𝑑+ 2| = 12\n5\n𝑥𝑑+ 2 = 12\n5 lub 𝑥𝑑+ 2 = -12\n5\n(𝑥𝑑= 2\n5 i 𝑦𝑑= -2 ⋅2\n5 -5 = -29\n5 ) lub (𝑥𝑑= -22\n5 i 𝑦𝑑= -2 ⋅(-22\n5 ) -5 = 19\n5 )\nPunkt 𝐷 leży po tej samej stronie prostej 𝐴𝐵 co punkt 𝐶, zatem 𝐷= (-22\n5 , 19\n5 ).\nObliczamy długość odcinka 𝐵𝐷:\n|𝐵𝐷| = √(-22\n5 -0)\n2\n+ (19\n5 -0)\n2\n= √484\n25 + 361\n25 = √845\n25 = 13√5\n5\nSposób III\nWyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐵:\n(𝑦+ 1)(0 + 2) -(0 + 1)(𝑥+ 2) = 0\n2𝑦+ 2 -𝑥-2 = 0\n𝑥-2𝑦= 0\n𝑦= 1\n2 𝑥\nObliczamy odległość 𝑑 punktu 𝐶 od prostej 𝐴𝐵:\n𝑑= |1 ⋅4 -2 ⋅8 + 0|\n√12 + (-2)2\n= 12\n√5\nOznaczmy przez 𝐸 rzut prostokątny punktu 𝐵 na prostą 𝐶𝐷. Wtedy\n|𝐵𝐸| = 𝑑= 12\n√5\nObliczamy długość odcinka 𝐴𝐵:\n|𝐴𝐵| = √(0 + 2)2 + (0 + 1)2 = √4 + 1 = √5\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nKorzystamy z twierdzenia Pitagorasa i obliczamy długość odcinka 𝐴𝐸:\n|𝐴𝐸|2 = |𝐴𝐵|2 + |𝐵𝐸|2\n|𝐴𝐸|2 = (√5)\n2 + (12\n√5\n)\n2\n|𝐴𝐸|2 = 5 + 144\n5\n= 169\n5\n|𝐴𝐸| = √169\n5\n= 13\n√5\n= 13√5\n5\nZatem\n|𝐵𝐷| = |𝐴𝐸| = 13√5\n5\nProsta 𝐴𝐷 jest prostopadła do prostej 𝐴𝐵, zatem współczynnik kierunkowy prostej 𝐴𝐷\njest równy (-2). Wyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐷:\n𝑦= -2(𝑥+ 2) -1\n𝑦= -2𝑥-5\nPunkt 𝐷 leży na tej prostej, stąd 𝑦𝑑= -2𝑥𝑑-5.\nObliczamy współrzędne punktu 𝐷:\n√(𝑥𝑑-0)2 + (𝑦𝑑-0)2 = 13√5\n5\n√𝑥𝑑\n2 + (-2𝑥𝑑-5)2 = 13√5\n5\n𝑥𝑑\n2 + (-2𝑥𝑑-5)2 = 169\n5\n𝑥𝑑\n2 + 4𝑥𝑑\n2 + 20𝑥𝑑+ 25 = 169\n5\n25𝑥𝑑\n2 + 100𝑥𝑑+ 125 = 169\n25𝑥𝑑\n2 + 110𝑥𝑑-10𝑥𝑑-44 = 0\n5𝑥𝑑(5𝑥𝑑+ 22) -2(5𝑥𝑑+ 22) = 0\n(5𝑥𝑑-2)(5𝑥𝑑+ 22) = 0\n5𝑥𝑑-2 = 0 lub 5𝑥𝑑+ 22 = 0\n(𝑥𝑑= 2\n5 i 𝑦𝑑= -2 ⋅2\n5 -5 = -29\n5 ) lub (𝑥𝑑= -22\n5 i 𝑦𝑑= -2 ⋅(-22\n5 ) -5 = 19\n5 )\nPunkt 𝐷 leży po tej samej stronie prostej 𝐴𝐵 co punkt 𝐶, zatem 𝐷= (-22\n5 , 19\n5 ).\nOcena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nObowiązują Zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez\nstwierdzonej dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:\na) ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią (punkty 1.-12.);\nb) dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy\nosób ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom podstawowy,\ntermin główny 2025.\nI. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią\n1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:\nbłędnego przepisania\nprzestawienia cyfr\nzapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie\nprzestawienia położenia przecinka\nprzestawienia położenia znaku liczby.\n2. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu\noddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza\numiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania\nbadanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.\n3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę rozwiązania,\nczęści lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej 1 punkt, zgodnie\nz kryteriami do poszczególnych zadań.\n4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub zapisuje\nnawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne rozumowanie lub\nstosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt za rozwiązanie\nzadania.\n5. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu\nkwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę\nwyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania\nwartościach liczbowych.\n6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności\nkwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.\n7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji kwadratowej,\nistotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.\n8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych\nlub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie\ntakiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na\npłaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu\nrozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur\ngeometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.\n10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać\nprzynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających\nrozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje prawidłową metodę\nwyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.\n11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli\npodaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia\nrozwiązania.\n12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub\ngeometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która\nwyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać\n1 punkt.\nII. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób\nze stwierdzoną dyskalkulią\nZadanie 26.\n1 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia pierwiastków trójmianu kwadratowego\n6𝑥2 -11𝑥+ 3, tzn. zastosowanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego\ni obliczenie tych pierwiastków\nALBO\n- konsekwentne (do otrzymanego w wyniku popełnienia błędów o charakterze\ndyskalkulicznym ujemnego wyróżnika) narysowanie paraboli,\nALBO\n- poprawne rozwiązanie nierówności 3(2𝑥2 + 1) < 0 (tzn. stosuje się punkt 6.\nogólnych zasad oceniania),\nALBO\n- konsekwentne (do wyznaczonych przez siebie pierwiastków oraz rozpatrywanego\ntrójmianu i nierówności) wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający, rozwiązując nierówność, pomyli porządek liczb na osi liczbowej i zapisze\nzbiór rozwiązań nierówności w postaci (3\n2 , 1\n3), to może otrzymać 2 punkty za całe\nrozwiązanie.\n2. Nie stosuje się uwag 2. i 3. z zasad oceniania arkusza standardowego.\n3. Akceptowane jest zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci 𝑎+ 𝑏√𝑐, gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 są\nliczbami wymiernymi.\nZadanie 27.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 28.\n1 pkt - zapisanie równania 13% ⋅𝑥+ 11% ⋅𝑦= 146 700.\nZadanie 29.\n1 pkt - zapisanie równania z dwiema niewiadomymi: 𝑚 oraz 𝑟 (gdzie 𝑟 jest różnicą ciągu\narytmetycznego), np. 2𝑚+ 11 + 𝑟= 𝑚2 + 3.\nZadanie 30.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 31.\n1 pkt - zapisanie jedynie liczby 20 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich\nzdarzeń elementarnych).\nUwagi:\n1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi ze\nstandardowych zasad oceniania.\n2. Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające\nzdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (np. |𝐴| = 6) i konsekwentnie zapisze\nwynik (np. 6\n20), to otrzymuje 2 punkty.\nZadanie 32.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 33.\n1 pkt - zastosowanie definicji funkcji trygonometrycznej lub związków miarowych w trójkącie\no kątach 30°, 60°, 90° i zapisanie równania z jedną niewiadomą (wysokością stożka\nlub promieniem podstawy stożka), np.: 𝐻\n8 = cos 60°, 𝑟\n8 =\n√3\n2 .\nZadanie 34.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":30,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 34. (0-5)<br>W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-2, -1), 𝐵= (0, 0) oraz 𝐶= (4, 8)<br>są wierzchołkami trapezu prostokątnego 𝐴𝐵𝐶𝐷 o podstawach 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷.<br>Kąt 𝐷𝐴𝐵 jest prosty.<br>Oblicz współrzędne punktu 𝐷 oraz długość odcinka 𝐵𝐷.</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>Wypełnia<br>egzaminator<br>Nr zadania<br>34.<br>Maks. liczba pkt<br>5<br>Uzyskana liczba pkt</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>EMAP-P0_100</p>\n<p>MATEMATYKA<br>Poziom podstawowy<br>Formuła 2015<br>MATEMATYKA<br>Poziom podstawowy<br>Formuła 2015<br>MATEMATYKA<br>Poziom podstawowy<br>Formuła 2015</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 34. (0-5)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>IV. Użycie i tworzenie strategii.<br>Zdający:<br>8.1) wyznacza równanie prostej<br>przechodzącej przez dwa dane punkty<br>(w postaci kierunkowej lub ogólnej);<br>8.3) wyznacza równanie prostej, która jest<br>równoległa lub prostopadła do prostej danej<br>w postaci kierunkowej i przechodzi przez<br>dany punkt;<br>8.4) oblicza współrzędne punktu przecięcia<br>dwóch prostych;<br>8.6) oblicza odległość dwóch punktów.<br>Zasady oceniania<br>5 pkt - poprawna metoda obliczenia współrzędnych punktu 𝐷 oraz długości odcinka 𝐵𝐷<br>oraz podanie poprawnych wyników: 𝐷= (-22<br>5 , 19<br>5 ), |𝐵𝐷| = 13√5<br>5<br>4 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐷: 𝐷= (-22<br>5 , 19<br>5 )<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie długości odcinka 𝐵𝐷: |𝐵𝐷| = |𝐴𝐸| = 13√5</li></ul>\n<p>5<br>3 pkt - zapisanie równania prostej 𝐴𝐷, np. 𝑦= -2𝑥-5 oraz zapisanie równania prostej<br>𝐶𝐷, np. 𝑦= 1<br>2 𝑥+ 6<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równania, w którym niewiadomą jest jedna ze współrzędnych punktu 𝐷, np.</li></ul>\n<p>|1 ⋅𝑥𝑑-2 ⋅(-2𝑥𝑑-5) + 0|<br>√12 + (-2)2<br>= 12<br>√5<br>,<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie odległości 𝑑 punktu 𝐶 od prostej 𝐴𝐵: 𝑑= 12</li></ul>\n<p>√5<br>oraz obliczenie<br>długości odcinka 𝐴𝐵: |𝐴𝐵| = √5 .<br>2 pkt - zapisanie równania prostej 𝐴𝐷, np. 𝑦= -2𝑥-5<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równania prostej 𝐶𝐷, np. 𝑦= 1</li></ul>\n<p>2 𝑥+ 6,<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie odległości 𝑑 punktu 𝐶 od prostej 𝐴𝐵: 𝑑= 12</li></ul>\n<p>√5<br>1 pkt - obliczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐴𝐵 (lub 𝐶𝐷): 𝑎𝐴𝐵= 1<br>2<br>(lub 𝑎𝐶𝐷= 1<br>2)<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równania prostej 𝐴𝐵 w postaci ogólnej: 𝑥-2𝑦= 0.</li></ul>\n<p>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwaga:<br>Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:<br>a) zastosowanie niepoprawnego wzoru na współczynnik kierunkowy prostej,<br>b) zastosowanie niepoprawnego związku między współczynnikami kierunkowymi<br>prostych równoległych,<br>c) zastosowanie niepoprawnego związku między współczynnikami kierunkowymi<br>prostych prostopadłych, lub<br>d) zastosowanie niepoprawnego wzoru na odległość punktu od prostej,<br>i rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać<br>co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.<br>Jeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych błędów a)-d), to otrzymuje<br>0 punktów za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej 𝐴𝐵:<br>𝑎𝐴𝐵= 0 -(-1)<br>0 -(-2) = 1<br>2<br>Prosta 𝐶𝐷 jest równoległa do prostej 𝐴𝐵, zatem współczynnik kierunkowy prostej 𝐶𝐷 jest<br>równy 1<br>2<br>. Wyznaczamy równanie prostej 𝐶𝐷:<br>𝑦= 1<br>2 (𝑥-4) + 8<br>𝑦= 1<br>2 𝑥+ 6<br>Prosta 𝐴𝐷 jest prostopadła do prostej 𝐴𝐵, zatem współczynnik kierunkowy prostej 𝐴𝐷<br>jest równy (-2). Wyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐷:<br>𝑦= -2(𝑥+ 2) -1<br>𝑦= -2𝑥-5<br>Punkt 𝐷 jest punktem wspólnym prostych 𝐶𝐷 i 𝐴𝐷, zatem współrzędne tego punktu są<br>rozwiązaniem układu równań<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>{ 𝑦= 1<br>2 𝑥+ 6<br>𝑦= -2𝑥-5<br>Stąd<br>1<br>2 𝑥+ 6 = -2𝑥-5<br>5<br>2 𝑥= -11<br>𝑥= -22<br>5<br>𝑦= -2 ⋅(-22<br>5 ) -5 = 19<br>5<br>Zatem 𝐷= (-22<br>5 , 19<br>5 ).<br>Obliczamy długość odcinka 𝐵𝐷:<br>|𝐵𝐷| = √(-22<br>5 -0)<br>2</p>\n<ul><li>(19</li></ul>\n<p>5 -0)<br>2<br>= √484<br>25 + 361<br>25 = √845<br>25 = 13√5<br>5<br>Sposób II<br>Wyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐵:<br>(𝑦+ 1)(0 + 2) -(0 + 1)(𝑥+ 2) = 0<br>2𝑦+ 2 -𝑥-2 = 0<br>𝑥-2𝑦= 0<br>𝑦= 1<br>2 𝑥<br>Prosta 𝐴𝐷 jest prostopadła do prostej 𝐴𝐵, zatem współczynnik kierunkowy prostej 𝐴𝐷<br>jest równy (-2). Wyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐷:<br>𝑦= -2(𝑥+ 2) -1<br>𝑦= -2𝑥-5<br>Punkt 𝐷 leży na tej prostej, stąd 𝑦𝑑= -2𝑥𝑑-5.<br>Obliczamy odległość 𝑑 punktu 𝐶 od prostej 𝐴𝐵:<br>𝑑= |1 ⋅4 -2 ⋅8 + 0|<br>√12 + (-2)2<br>= 12<br>√5<br>Odległość punktu 𝐷 od prostej 𝐴𝐵 jest także równa 12<br>√5<br>, stąd otrzymujemy równanie<br>|1 ⋅𝑥𝑑-2 ⋅(-2𝑥𝑑-5) + 0|<br>√12 + (-2)2<br>= 12<br>√5<br>|5 ⋅𝑥𝑑+ 10|<br>√5<br>= 12<br>√5<br>5 ⋅|𝑥𝑑+ 2| = 12<br>|𝑥𝑑+ 2| = 12<br>5<br>𝑥𝑑+ 2 = 12<br>5 lub 𝑥𝑑+ 2 = -12<br>5<br>(𝑥𝑑= 2<br>5 i 𝑦𝑑= -2 ⋅2<br>5 -5 = -29<br>5 ) lub (𝑥𝑑= -22<br>5 i 𝑦𝑑= -2 ⋅(-22<br>5 ) -5 = 19<br>5 )<br>Punkt 𝐷 leży po tej samej stronie prostej 𝐴𝐵 co punkt 𝐶, zatem 𝐷= (-22<br>5 , 19<br>5 ).<br>Obliczamy długość odcinka 𝐵𝐷:<br>|𝐵𝐷| = √(-22<br>5 -0)<br>2</p>\n<ul><li>(19</li></ul>\n<p>5 -0)<br>2<br>= √484<br>25 + 361<br>25 = √845<br>25 = 13√5<br>5<br>Sposób III<br>Wyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐵:<br>(𝑦+ 1)(0 + 2) -(0 + 1)(𝑥+ 2) = 0<br>2𝑦+ 2 -𝑥-2 = 0<br>𝑥-2𝑦= 0<br>𝑦= 1<br>2 𝑥<br>Obliczamy odległość 𝑑 punktu 𝐶 od prostej 𝐴𝐵:<br>𝑑= |1 ⋅4 -2 ⋅8 + 0|<br>√12 + (-2)2<br>= 12<br>√5<br>Oznaczmy przez 𝐸 rzut prostokątny punktu 𝐵 na prostą 𝐶𝐷. Wtedy<br>|𝐵𝐸| = 𝑑= 12<br>√5<br>Obliczamy długość odcinka 𝐴𝐵:<br>|𝐴𝐵| = √(0 + 2)2 + (0 + 1)2 = √4 + 1 = √5<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i obliczamy długość odcinka 𝐴𝐸:<br>|𝐴𝐸|2 = |𝐴𝐵|2 + |𝐵𝐸|2<br>|𝐴𝐸|2 = (√5)<br>2 + (12<br>√5<br>)<br>2<br>|𝐴𝐸|2 = 5 + 144<br>5<br>= 169<br>5<br>|𝐴𝐸| = √169<br>5<br>= 13<br>√5<br>= 13√5<br>5<br>Zatem<br>|𝐵𝐷| = |𝐴𝐸| = 13√5<br>5<br>Prosta 𝐴𝐷 jest prostopadła do prostej 𝐴𝐵, zatem współczynnik kierunkowy prostej 𝐴𝐷<br>jest równy (-2). Wyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐷:<br>𝑦= -2(𝑥+ 2) -1<br>𝑦= -2𝑥-5<br>Punkt 𝐷 leży na tej prostej, stąd 𝑦𝑑= -2𝑥𝑑-5.<br>Obliczamy współrzędne punktu 𝐷:<br>√(𝑥𝑑-0)2 + (𝑦𝑑-0)2 = 13√5<br>5<br>√𝑥𝑑<br>2 + (-2𝑥𝑑-5)2 = 13√5<br>5<br>𝑥𝑑<br>2 + (-2𝑥𝑑-5)2 = 169<br>5<br>𝑥𝑑<br>2 + 4𝑥𝑑<br>2 + 20𝑥𝑑+ 25 = 169<br>5<br>25𝑥𝑑<br>2 + 100𝑥𝑑+ 125 = 169<br>25𝑥𝑑<br>2 + 110𝑥𝑑-10𝑥𝑑-44 = 0<br>5𝑥𝑑(5𝑥𝑑+ 22) -2(5𝑥𝑑+ 22) = 0<br>(5𝑥𝑑-2)(5𝑥𝑑+ 22) = 0<br>5𝑥𝑑-2 = 0 lub 5𝑥𝑑+ 22 = 0<br>(𝑥𝑑= 2<br>5 i 𝑦𝑑= -2 ⋅2<br>5 -5 = -29<br>5 ) lub (𝑥𝑑= -22<br>5 i 𝑦𝑑= -2 ⋅(-22<br>5 ) -5 = 19<br>5 )<br>Punkt 𝐷 leży po tej samej stronie prostej 𝐴𝐵 co punkt 𝐶, zatem 𝐷= (-22<br>5 , 19<br>5 ).<br>Ocena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią<br>Obowiązują Zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez<br>stwierdzonej dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:<br>a) ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną<br>dyskalkulią (punkty 1.-12.);<br>b) dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy<br>osób ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom podstawowy,<br>termin główny 2025.<br>I. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną<br>dyskalkulią</p>\n<ol><li>Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:</li></ol>\n<p>błędnego przepisania<br>przestawienia cyfr<br>zapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie<br>przestawienia położenia przecinka<br>przestawienia położenia znaku liczby.</p>\n<ol><li>W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu</li></ol>\n<p>oddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza<br>umiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania<br>badanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.</p>\n<ol><li>We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę rozwiązania,</li></ol>\n<p>części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej 1 punkt, zgodnie<br>z kryteriami do poszczególnych zadań.</p>\n<ol><li>Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub zapisuje</li></ol>\n<p>nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne rozumowanie lub<br>stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt za rozwiązanie<br>zadania.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu</li></ol>\n<p>kwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę<br>wyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania<br>wartościach liczbowych.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający</li></ol>\n<p>może otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności<br>kwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej zdający</li></ol>\n<p>może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji kwadratowej,<br>istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych</li></ol>\n<p>lub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie<br>takiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na</li></ol>\n<p>płaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu<br>rozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur<br>geometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać</li></ol>\n<p>przynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających<br>rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje prawidłową metodę<br>wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli</li></ol>\n<p>podaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia<br>rozwiązania.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub</li></ol>\n<p>geometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która<br>wyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać<br>1 punkt.<br>II. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób<br>ze stwierdzoną dyskalkulią<br>Zadanie 26.<br>1 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia pierwiastków trójmianu kwadratowego<br>6𝑥2 -11𝑥+ 3, tzn. zastosowanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego<br>i obliczenie tych pierwiastków<br>ALBO</p>\n<ul><li>konsekwentne (do otrzymanego w wyniku popełnienia błędów o charakterze</li></ul>\n<p>dyskalkulicznym ujemnego wyróżnika) narysowanie paraboli,<br>ALBO</p>\n<ul><li>poprawne rozwiązanie nierówności 3(2𝑥2 + 1) &lt; 0 (tzn. stosuje się punkt 6.</li></ul>\n<p>ogólnych zasad oceniania),<br>ALBO</p>\n<ul><li>konsekwentne (do wyznaczonych przez siebie pierwiastków oraz rozpatrywanego</li></ul>\n<p>trójmianu i nierówności) wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający, rozwiązując nierówność, pomyli porządek liczb na osi liczbowej i zapisze</li></ol>\n<p>zbiór rozwiązań nierówności w postaci (3<br>2 , 1<br>3), to może otrzymać 2 punkty za całe<br>rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Nie stosuje się uwag 2. i 3. z zasad oceniania arkusza standardowego.</li><li>Akceptowane jest zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci 𝑎+ 𝑏√𝑐, gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 są</li></ol>\n<p>liczbami wymiernymi.<br>Zadanie 27.<br>Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.<br>Zadanie 28.<br>1 pkt - zapisanie równania 13% ⋅𝑥+ 11% ⋅𝑦= 146 700.<br>Zadanie 29.<br>1 pkt - zapisanie równania z dwiema niewiadomymi: 𝑚 oraz 𝑟 (gdzie 𝑟 jest różnicą ciągu<br>arytmetycznego), np. 2𝑚+ 11 + 𝑟= 𝑚2 + 3.<br>Zadanie 30.<br>Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.<br>Zadanie 31.<br>1 pkt - zapisanie jedynie liczby 20 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich<br>zdarzeń elementarnych).<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi ze</li></ol>\n<p>standardowych zasad oceniania.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające</li></ol>\n<p>zdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (np. |𝐴| = 6) i konsekwentnie zapisze<br>wynik (np. 6<br>20), to otrzymuje 2 punkty.<br>Zadanie 32.<br>Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.<br>Zadanie 33.<br>1 pkt - zastosowanie definicji funkcji trygonometrycznej lub związków miarowych w trójkącie<br>o kątach 30°, 60°, 90° i zapisanie równania z jedną niewiadomą (wysokością stożka<br>lub promieniem podstawy stożka), np.: 𝐻<br>8 = cos 60°, 𝑟<br>8 =<br>√3<br>2 .<br>Zadanie 34.<br>Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.</p>","solutions":[]}