{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nLiczba log3 108 -2log3 2 jest równa\nA. 3\nB. 9\nC. log3 104\nD. 2log3 54\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"A","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n1.6) wykorzystuje definicję logarytmu\ni stosuje w obliczeniach wzory na logarytm\niloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi\no wykładniku naturalnym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"Odpowiedź: C — $5x^2 + 24x - 5$\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nStrategia\n\nMożna rozwinąć oba kwadraty oddzielnie albo użyć wzoru różnicy kwadratów $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Pokażę oba sposoby.\n\nSposób I — rozwinięcie kwadratów (mechaniczne)\n\nRozwiń pierwszy kwadrat: $(3x + 2)^2$ ze wzoru $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:\n\n$$(3x + 2)^2 = 9x^2 + 12x + 4$$\n\nRozwiń drugi kwadrat: $(2x - 3)^2$ ze wzoru $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:\n\n$$(2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9$$\n\nOdejmij — uwaga na znak całego drugiego nawiasu:\n\n$$(3x+2)^2 - (2x-3)^2 = (9x^2 + 12x + 4) - (4x^2 - 12x + 9)$$\n\nRozwiń odejmowanie nawiasu (każdy znak w drugim nawiasie zmienia się na przeciwny):\n\n$$= 9x^2 + 12x + 4 - 4x^2 + 12x - 9 = 5x^2 + 24x - 5$$\n\nSposób II — wzór różnicy kwadratów\n\n$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, gdzie $a = 3x + 2$, $b = 2x - 3$.\n\n$$a - b = (3x + 2) - (2x - 3) = x + 5$$\n\n$$a + b = (3x + 2) + (2x - 3) = 5x - 1$$\n\n$$(3x + 2)^2 - (2x - 3)^2 = (x + 5)(5x - 1) = 5x^2 - x + 25x - 5 = 5x^2 + 24x - 5$$\n\nTen sam wynik, w 3 linijkach zamiast 5.\n\nSprawdzenie liczbowe\n\nDla $x = 1$:\n\n- Lewa: $(3 + 2)^2 - (2 - 3)^2 = 25 - 1 = 24$\n- C: $5 + 24 - 5 = 24$ ✓\n- D: $5 + 24 - 13 = 16$ ✗\n\nJednoznaczne — C pasuje, D nie. Sprawdzenie liczbowe to darmowa weryfikacja odpowiedzi w 5 sekund.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to pomyłka znaku przy odejmowaniu drugiego nawiasu. $-(2x - 3)^2$ = \"minus cały kwadrat\", więc rozwiniesz $(2x-3)^2 = 4x^2 - 12x + 9$ i ODEJMIESZ to całkowicie: $-4x^2 + 12x - 9$. Łatwo zgubić znak przy `-12x` lub `+9`.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"wzory skróconego mnożenia","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 4. (0-1)
Liczba log3 108 -2log3 2 jest równa
A. 3
B. 9
C. log3 104
D. 2log3 54

\n

EMAP-P0_100
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

EMAP-P0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 4. (0-1)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
II. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
Zdający:
1.6) wykorzystuje definicję logarytmu
i stosuje w obliczeniach wzory na logarytm
iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi
o wykładniku naturalnym.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
A

","solutions":[{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Odpowiedź: C — $5x^2 + 24x - 5$

\n

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

\n

Strategia

\n

Można rozwinąć oba kwadraty oddzielnie albo użyć wzoru różnicy kwadratów $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Pokażę oba sposoby.

\n

Sposób I — rozwinięcie kwadratów (mechaniczne)

\n

Rozwiń pierwszy kwadrat: $(3x + 2)^2$ ze wzoru $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

\n

$$(3x + 2)^2 = 9x^2 + 12x + 4$$

\n

Rozwiń drugi kwadrat: $(2x - 3)^2$ ze wzoru $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

\n

$$(2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9$$

\n

Odejmij — uwaga na znak całego drugiego nawiasu:

\n

$$(3x+2)^2 - (2x-3)^2 = (9x^2 + 12x + 4) - (4x^2 - 12x + 9)$$

\n

Rozwiń odejmowanie nawiasu (każdy znak w drugim nawiasie zmienia się na przeciwny):

\n

$$= 9x^2 + 12x + 4 - 4x^2 + 12x - 9 = 5x^2 + 24x - 5$$

\n

Sposób II — wzór różnicy kwadratów

\n

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, gdzie $a = 3x + 2$, $b = 2x - 3$.

\n

$$a - b = (3x + 2) - (2x - 3) = x + 5$$

\n

$$a + b = (3x + 2) + (2x - 3) = 5x - 1$$

\n

$$(3x + 2)^2 - (2x - 3)^2 = (x + 5)(5x - 1) = 5x^2 - x + 25x - 5 = 5x^2 + 24x - 5$$

\n

Ten sam wynik, w 3 linijkach zamiast 5.

\n

Sprawdzenie liczbowe

\n

Dla $x = 1$:

\n\n

Jednoznaczne — C pasuje, D nie. Sprawdzenie liczbowe to darmowa weryfikacja odpowiedzi w 5 sekund.

\n

Typowy błąd: Najczęstszy błąd to pomyłka znaku przy odejmowaniu drugiego nawiasu. $-(2x - 3)^2$ = "minus cały kwadrat", więc rozwiniesz $(2x-3)^2 = 4x^2 - 12x + 9$ i ODEJMIESZ to całkowicie: $-4x^2 + 12x - 9$. Łatwo zgubić znak przy -12x lub +9.

"}]}