{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nDla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 wartość wyrażenia (3𝑥+ 2)2 -(2𝑥-3)2 jest równa\nwartości wyrażenia\nA. 5𝑥2 -5\nB. 5𝑥2 + 13\nC. 5𝑥2 + 24𝑥-5\nD. 5𝑥2 + 24𝑥-13","answer":"C","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n2.1) używa wzorów skróconego mnożenia\nna (𝑎± 𝑏)2 oraz 𝑎2 -𝑏2.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"Odpowiedź: Dowód — patrz Sposób I (przez parametryzację $n = 2l + 1$).\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nStrategia — parametryzacja liczby nieparzystej\n\nKażda liczba naturalna nieparzysta ma postać $n = 2l + 1$, gdzie $l \\in \\mathbb{Z}$ i $l \\geq 0$. To kluczowa parametryzacja: jeden parametr $l$ przebiega liczby całkowite nieujemne, a $n$ przebiega wszystkie nieparzyste naturalne ($1, 3, 5, 7, \\ldots$).\n\nCel: pokazać, że po podstawieniu $n = 2l + 1$ wyrażenie $3n^2 + 2n + 7$ jest wielokrotnością $4$ dla każdego $l$.\n\nSposób I — bezpośrednia parametryzacja\n\nPodstaw $n = 2l + 1$:\n\n$$3n^2 + 2n + 7 = 3(2l + 1)^2 + 2(2l + 1) + 7$$\n\nRozwiń $(2l + 1)^2 = 4l^2 + 4l + 1$:\n\n$$3(4l^2 + 4l + 1) + 2(2l + 1) + 7 = 12l^2 + 12l + 3 + 4l + 2 + 7$$\n\nZsumuj wyrazy podobne:\n\n$$12l^2 + 12l + 3 + 4l + 2 + 7 = 12l^2 + 16l + 12$$\n\nWyłącz przed nawias $4$:\n\n$$12l^2 + 16l + 12 = 4(3l^2 + 4l + 3)$$\n\nWyciągnij wniosek. Ponieważ $l$ jest liczbą całkowitą, to $3l^2 + 4l + 3$ też jest liczbą całkowitą. Oznaczmy ją $k = 3l^2 + 4l + 3$. Wtedy:\n\n$$3n^2 + 2n + 7 = 4k$$\n\nco oznacza, że $3n^2 + 2n + 7$ jest podzielne przez 4. To należało udowodnić. $\\blacksquare$\n\nSposób II — analiza reszt z dzielenia\n\nInne podejście: pokazać, że suma reszt trzech składników $3n^2$, $2n$, $7$ przy dzieleniu przez $4$ jest wielokrotnością $4$.\n\nDla nieparzystej $n$ — co dzieje się z $n^2$?\n\nJeśli $n = 2l + 1$, to $n^2 = 4l^2 + 4l + 1 = 4(l^2 + l) + 1$. Czyli $n^2$ daje resztę $1$ przy dzieleniu przez $4$.\n\nStąd $3n^2$ daje resztę $3 \\cdot 1 = 3$ przy dzieleniu przez $4$.\n\nReszta z $2n$ przy dzieleniu przez 4.\n\n$2n = 2(2l + 1) = 4l + 2$ — daje resztę $2$ przy dzieleniu przez $4$.\n\nReszta z $7$ przy dzieleniu przez 4 to $3$ (bo $7 = 4 + 3$).\n\nZsumuj reszty: $3 + 2 + 3 = 8 = 4 \\cdot 2$. Suma reszt jest podzielna przez 4, więc cała suma $3n^2 + 2n + 7$ jest podzielna przez $4$. $\\blacksquare$\n\nPunktacja CKE\n\n- 1 pkt — zapisanie $n = 2l + 1$ ALBO rozłożenie wyrażenia na sumę składników podzielnych przez 4 z brakiem uzasadnienia ALBO analiza reszt z poprawnym wynikiem $3$ dla $3n^2$.\n- 2 pkt — pełne rozumowanie z wnioskiem, że wynik to $4 \\cdot k$ dla pewnej $k \\in \\mathbb{Z}$.\n\nKlucz — dowody podzielności\n\nTrzy typowe ścieżki:\n\n1. Parametryzacja ($n = 2l$, $n = 2l + 1$, $n = 3l + r$, ...) i rozwinięcie z wyciąganiem dzielnika przed nawias.\n2. Analiza reszt modulo dzielnik — wystarczy pokazać, że suma reszt jest wielokrotnością dzielnika.\n3. Rozkład na sumę składników jawnie podzielnych przez dzielnik (np. $3n^2 + 2n + 7 = 4(n^2 + n + 2) - (n+1)^2$).\n\nPierwszy jest najbezpieczniejszy. Wybierz parametryzację dopasowaną do zbioru ($n$ nieparzyste → $n = 2l+1$).\n\nTypowy błąd: CKE wprost: sprawdzenie tezy tylko dla kilku konkretnych $n$ (np. $n = 1, 3, 5$) — **0 punktów na całe zadanie**. Trzeba pokazać tezę dla KAŻDEJ nieparzystej $n$, czyli używając zapisu ogólnego.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":"dowody, podzielność, liczby nieparzyste","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 5. (0-1)<br>Dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 wartość wyrażenia (3𝑥+ 2)2 -(2𝑥-3)2 jest równa<br>wartości wyrażenia<br>A. 5𝑥2 -5<br>B. 5𝑥2 + 13<br>C. 5𝑥2 + 24𝑥-5<br>D. 5𝑥2 + 24𝑥-13</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 5. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.<br>Zdający:<br>2.1) używa wzorów skróconego mnożenia<br>na (𝑎± 𝑏)2 oraz 𝑎2 -𝑏2.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>C</p>","solutions":[{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: Dowód — patrz Sposób I (przez parametryzację $n = 2l + 1$).</p>\n<p>Strona arkusza CKE z tym zadaniem</p>\n<p>Strategia — parametryzacja liczby nieparzystej</p>\n<p>Każda liczba naturalna nieparzysta ma postać $n = 2l + 1$, gdzie $l \\in \\mathbb{Z}$ i $l \\geq 0$. To kluczowa parametryzacja: jeden parametr $l$ przebiega liczby całkowite nieujemne, a $n$ przebiega wszystkie nieparzyste naturalne ($1, 3, 5, 7, \\ldots$).</p>\n<p>Cel: pokazać, że po podstawieniu $n = 2l + 1$ wyrażenie $3n^2 + 2n + 7$ jest wielokrotnością $4$ dla każdego $l$.</p>\n<p>Sposób I — bezpośrednia parametryzacja</p>\n<p>Podstaw $n = 2l + 1$:</p>\n<p>$$3n^2 + 2n + 7 = 3(2l + 1)^2 + 2(2l + 1) + 7$$</p>\n<p>Rozwiń $(2l + 1)^2 = 4l^2 + 4l + 1$:</p>\n<p>$$3(4l^2 + 4l + 1) + 2(2l + 1) + 7 = 12l^2 + 12l + 3 + 4l + 2 + 7$$</p>\n<p>Zsumuj wyrazy podobne:</p>\n<p>$$12l^2 + 12l + 3 + 4l + 2 + 7 = 12l^2 + 16l + 12$$</p>\n<p>Wyłącz przed nawias $4$:</p>\n<p>$$12l^2 + 16l + 12 = 4(3l^2 + 4l + 3)$$</p>\n<p>Wyciągnij wniosek. Ponieważ $l$ jest liczbą całkowitą, to $3l^2 + 4l + 3$ też jest liczbą całkowitą. Oznaczmy ją $k = 3l^2 + 4l + 3$. Wtedy:</p>\n<p>$$3n^2 + 2n + 7 = 4k$$</p>\n<p>co oznacza, że $3n^2 + 2n + 7$ jest podzielne przez 4. To należało udowodnić. $\\blacksquare$</p>\n<p>Sposób II — analiza reszt z dzielenia</p>\n<p>Inne podejście: pokazać, że suma reszt trzech składników $3n^2$, $2n$, $7$ przy dzieleniu przez $4$ jest wielokrotnością $4$.</p>\n<p>Dla nieparzystej $n$ — co dzieje się z $n^2$?</p>\n<p>Jeśli $n = 2l + 1$, to $n^2 = 4l^2 + 4l + 1 = 4(l^2 + l) + 1$. Czyli $n^2$ daje resztę $1$ przy dzieleniu przez $4$.</p>\n<p>Stąd $3n^2$ daje resztę $3 \\cdot 1 = 3$ przy dzieleniu przez $4$.</p>\n<p>Reszta z $2n$ przy dzieleniu przez 4.</p>\n<p>$2n = 2(2l + 1) = 4l + 2$ — daje resztę $2$ przy dzieleniu przez $4$.</p>\n<p>Reszta z $7$ przy dzieleniu przez 4 to $3$ (bo $7 = 4 + 3$).</p>\n<p>Zsumuj reszty: $3 + 2 + 3 = 8 = 4 \\cdot 2$. Suma reszt jest podzielna przez 4, więc cała suma $3n^2 + 2n + 7$ jest podzielna przez $4$. $\\blacksquare$</p>\n<p>Punktacja CKE</p>\n<ul><li>1 pkt — zapisanie $n = 2l + 1$ ALBO rozłożenie wyrażenia na sumę składników podzielnych przez 4 z brakiem uzasadnienia ALBO analiza reszt z poprawnym wynikiem $3$ dla $3n^2$.</li><li>2 pkt — pełne rozumowanie z wnioskiem, że wynik to $4 \\cdot k$ dla pewnej $k \\in \\mathbb{Z}$.</li></ul>\n<p>Klucz — dowody podzielności</p>\n<p>Trzy typowe ścieżki:</p>\n<ol><li>Parametryzacja ($n = 2l$, $n = 2l + 1$, $n = 3l + r$, ...) i rozwinięcie z wyciąganiem dzielnika przed nawias.</li><li>Analiza reszt modulo dzielnik — wystarczy pokazać, że suma reszt jest wielokrotnością dzielnika.</li><li>Rozkład na sumę składników jawnie podzielnych przez dzielnik (np. $3n^2 + 2n + 7 = 4(n^2 + n + 2) - (n+1)^2$).</li></ol>\n<p>Pierwszy jest najbezpieczniejszy. Wybierz parametryzację dopasowaną do zbioru ($n$ nieparzyste → $n = 2l+1$).</p>\n<p>Typowy błąd: CKE wprost: sprawdzenie tezy tylko dla kilku konkretnych $n$ (np. $n = 1, 3, 5$) — <strong>0 punktów na całe zadanie</strong>. Trzeba pokazać tezę dla KAŻDEJ nieparzystej $n$, czyli używając zapisu ogólnego.</p>"}]}