{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nRównanie 2𝑥(𝑥+ 3)(𝑥2 + 25) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie\nA. dwa rozwiązania: (-3) oraz 0.\nB. dwa rozwiązania: (-3) oraz 2.\nC. trzy rozwiązania: (-5), (-3) oraz 0.\nD. cztery rozwiązania: (-5), (-3), 0 oraz 5.\n𝑥\n0 1\n3\n𝑥\n0 1\n3\n𝑥\n0 1\n-9\n𝑥\n0 1\n-9\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nInformacja do zadań 8.-9.\nNa rysunku, w układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦), przedstawiono wykres funkcji 𝑓.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n3.7) korzysta z własności iloczynu przy\nrozwiązywaniu równań typu\n𝑥(𝑥+ 1)(𝑥-7) = 0.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"Odpowiedź: A — dwa rozwiązania: $-3$ oraz $0$\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nStrategia\n\nIloczyn jest zerem wtedy i tylko wtedy, gdy któryś z czynników jest zerem. Mamy trzy czynniki: $2x$, $(x + 3)$, $(x^2 + 25)$. Sprawdź każdy osobno.\n\nPierwszy czynnik: $2x = 0$.\n\n$$x = 0$$\n\nDrugi czynnik: $x + 3 = 0$.\n\n$$x = -3$$\n\nTrzeci czynnik: $x^2 + 25 = 0$, czyli $x^2 = -25$.\n\nBrak rozwiązań rzeczywistych — kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze $\\geq 0$, więc $x^2 = -25$ nie ma rozwiązań w $\\mathbb{R}$.\n\n(Dla porównania: $x^2 - 25 = 0$ miałoby rozwiązania $\\pm 5$. Plus zamiast minus zmienia wszystko.)\n\nŁącznie: dwa rozwiązania: $x = 0$ i $x = -3$.\n\nKlucz pamięciowy\n\nSprawdź typ wyrażenia drugiego stopnia zanim szukasz pierwiastków:\n\nPostać | Pierwiastki rzeczywiste\n$x^2 - c$ (gdzie $c > 0$) | $\\pm \\sqrt{c}$ (dwa)\n$x^2 + c$ (gdzie $c > 0$) | brak\n$x^2$ | $0$ (jeden, podwójny)\n$ax^2 + bx + c$ | zależy od $\\Delta$\n\nTo pierwsze sprawdzenie zajmuje 5 sekund i ratuje przed klasycznymi błędami.\n\nTypowy błąd: Najgorszy błąd to potraktowanie $x^2 + 25$ jako różnicy kwadratów i wpisanie pierwiastków $\\pm 5$ — odpowiedzi C lub D. To NIE jest różnica! $x^2 + 25 > 0$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$ (suma kwadratu i liczby dodatniej), więc to równanie **nie ma pierwiastków rzeczywistych**.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"równania wielomianowe, postać iloczynowa","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 7. (0-1)<br>Równanie 2𝑥(𝑥+ 3)(𝑥2 + 25) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie<br>A. dwa rozwiązania: (-3) oraz 0.<br>B. dwa rozwiązania: (-3) oraz 2.<br>C. trzy rozwiązania: (-5), (-3) oraz 0.<br>D. cztery rozwiązania: (-5), (-3), 0 oraz 5.<br>𝑥<br>0 1<br>3<br>𝑥<br>0 1<br>3<br>𝑥<br>0 1<br>-9<br>𝑥<br>0 1<br>-9</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>Informacja do zadań 8.-9.<br>Na rysunku, w układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦), przedstawiono wykres funkcji 𝑓.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 7. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.<br>Zdający:<br>3.7) korzysta z własności iloczynu przy<br>rozwiązywaniu równań typu<br>𝑥(𝑥+ 1)(𝑥-7) = 0.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>A</p>","solutions":[{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: A — dwa rozwiązania: $-3$ oraz $0$</p>\n<p>Strona arkusza CKE z tym zadaniem</p>\n<p>Strategia</p>\n<p>Iloczyn jest zerem wtedy i tylko wtedy, gdy któryś z czynników jest zerem. Mamy trzy czynniki: $2x$, $(x + 3)$, $(x^2 + 25)$. Sprawdź każdy osobno.</p>\n<p>Pierwszy czynnik: $2x = 0$.</p>\n<p>$$x = 0$$</p>\n<p>Drugi czynnik: $x + 3 = 0$.</p>\n<p>$$x = -3$$</p>\n<p>Trzeci czynnik: $x^2 + 25 = 0$, czyli $x^2 = -25$.</p>\n<p>Brak rozwiązań rzeczywistych — kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze $\\geq 0$, więc $x^2 = -25$ nie ma rozwiązań w $\\mathbb{R}$.</p>\n<p>(Dla porównania: $x^2 - 25 = 0$ miałoby rozwiązania $\\pm 5$. Plus zamiast minus zmienia wszystko.)</p>\n<p>Łącznie: dwa rozwiązania: $x = 0$ i $x = -3$.</p>\n<p>Klucz pamięciowy</p>\n<p>Sprawdź typ wyrażenia drugiego stopnia zanim szukasz pierwiastków:</p>\n<p>Postać | Pierwiastki rzeczywiste<br>$x^2 - c$ (gdzie $c &gt; 0$) | $\\pm \\sqrt{c}$ (dwa)<br>$x^2 + c$ (gdzie $c &gt; 0$) | brak<br>$x^2$ | $0$ (jeden, podwójny)<br>$ax^2 + bx + c$ | zależy od $\\Delta$</p>\n<p>To pierwsze sprawdzenie zajmuje 5 sekund i ratuje przed klasycznymi błędami.</p>\n<p>Typowy błąd: Najgorszy błąd to potraktowanie $x^2 + 25$ jako różnicy kwadratów i wpisanie pierwiastków $\\pm 5$ — odpowiedzi C lub D. To NIE jest różnica! $x^2 + 25 &gt; 0$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$ (suma kwadratu i liczby dodatniej), więc to równanie <strong>nie ma pierwiastków rzeczywistych</strong>.</p>"}]}