{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nDziedziną funkcji 𝑓 jest przedział\nA. (-4, 4⟩\nB. ⟨-4, 4)\nC. ⟨-3, 3)\nD. (-3, 3⟩","answer":"B","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\n4.3) odczytuje z wykresu własności funkcji\n(dziedzinę […]).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: C — $\\dfrac{x + 1}{x + 2}$\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nStrategia\n\nKażdy z trzech wielomianów rozłóż na czynniki, potem skracaj wspólne czynniki licznika i mianownika.\n\nRozłóż licznik pierwszego ułamka: $x^2 + x = x(x + 1)$.\n\nRozłóż mianownik pierwszego ułamka: $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$ (kwadrat sumy, wzór skróconego mnożenia z $a = x$, $b = 2$).\n\nZapisz iloczyn z rozkładami:\n\n$$\\frac{x(x + 1)}{(x + 2)^2} \\cdot \\frac{x + 2}{x}$$\n\nPołącz w jeden ułamek i skróć wspólne czynniki.\n\n$$\\frac{x(x + 1) \\cdot (x + 2)}{(x + 2)^2 \\cdot x} = \\frac{x \\cdot (x + 1) \\cdot (x + 2)}{x \\cdot (x + 2) \\cdot (x + 2)}$$\n\nSkróć $x$ (licznik z mianownikiem — wolno, bo $x \\neq 0$ z założenia) i jedno $(x + 2)$ (wolno, bo $x \\neq -2$):\n\n$$= \\frac{x + 1}{x + 2}$$\n\nSprawdzenie liczbowe\n\nDla $x = 1$:\n\n- Lewa: $\\tfrac{1+1}{1+4+4} \\cdot \\tfrac{1+2}{1} = \\tfrac{2}{9} \\cdot 3 = \\tfrac{6}{9} = \\tfrac{2}{3}$\n- C: $\\tfrac{1+1}{1+2} = \\tfrac{2}{3}$ ✓\n\nDla $x = 2$:\n\n- Lewa: $\\tfrac{4+2}{4+8+4} \\cdot \\tfrac{4}{2} = \\tfrac{6}{16} \\cdot 2 = \\tfrac{12}{16} = \\tfrac{3}{4}$\n- C: $\\tfrac{3}{4}$ ✓\n\nDwa różne $x$, oba pasują → wybór C potwierdzony.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to pominięcie rozkładu mianownika $x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$. Kto nie rozłoży, nie zauważy że $(x+2)^2$ skraca się z licznikiem $(x+2)$ z drugiego ułamka.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":"wyrażenia wymierne, upraszczanie","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 8. (0-1)<br>Dziedziną funkcji 𝑓 jest przedział<br>A. (-4, 4⟩<br>B. ⟨-4, 4)<br>C. ⟨-3, 3)<br>D. (-3, 3⟩</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 8. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>I. Wykorzystanie i tworzenie informacji.<br>Zdający:<br>4.3) odczytuje z wykresu własności funkcji<br>(dziedzinę […]).<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>B<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: C — $\\dfrac{x + 1}{x + 2}$</p>\n<p>Strona arkusza CKE z tym zadaniem</p>\n<p>Strategia</p>\n<p>Każdy z trzech wielomianów rozłóż na czynniki, potem skracaj wspólne czynniki licznika i mianownika.</p>\n<p>Rozłóż licznik pierwszego ułamka: $x^2 + x = x(x + 1)$.</p>\n<p>Rozłóż mianownik pierwszego ułamka: $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$ (kwadrat sumy, wzór skróconego mnożenia z $a = x$, $b = 2$).</p>\n<p>Zapisz iloczyn z rozkładami:</p>\n<p>$$\\frac{x(x + 1)}{(x + 2)^2} \\cdot \\frac{x + 2}{x}$$</p>\n<p>Połącz w jeden ułamek i skróć wspólne czynniki.</p>\n<p>$$\\frac{x(x + 1) \\cdot (x + 2)}{(x + 2)^2 \\cdot x} = \\frac{x \\cdot (x + 1) \\cdot (x + 2)}{x \\cdot (x + 2) \\cdot (x + 2)}$$</p>\n<p>Skróć $x$ (licznik z mianownikiem — wolno, bo $x \\neq 0$ z założenia) i jedno $(x + 2)$ (wolno, bo $x \\neq -2$):</p>\n<p>$$= \\frac{x + 1}{x + 2}$$</p>\n<p>Sprawdzenie liczbowe</p>\n<p>Dla $x = 1$:</p>\n<ul><li>Lewa: $\\tfrac{1+1}{1+4+4} \\cdot \\tfrac{1+2}{1} = \\tfrac{2}{9} \\cdot 3 = \\tfrac{6}{9} = \\tfrac{2}{3}$</li><li>C: $\\tfrac{1+1}{1+2} = \\tfrac{2}{3}$ ✓</li></ul>\n<p>Dla $x = 2$:</p>\n<ul><li>Lewa: $\\tfrac{4+2}{4+8+4} \\cdot \\tfrac{4}{2} = \\tfrac{6}{16} \\cdot 2 = \\tfrac{12}{16} = \\tfrac{3}{4}$</li><li>C: $\\tfrac{3}{4}$ ✓</li></ul>\n<p>Dwa różne $x$, oba pasują → wybór C potwierdzony.</p>\n<p>Typowy błąd: Najczęstszy błąd to pominięcie rozkładu mianownika $x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$. Kto nie rozłoży, nie zauważy że $(x+2)^2$ skraca się z licznikiem $(x+2)$ z drugiego ułamka.</p>"}]}