{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"10","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-4)\nCiąg (𝑎𝑛), określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1, jest geometryczny i zbieżny. W tym\nciągu 𝑎1 + 𝑎3 = 20 i 𝑎1\n2 + 𝑎3\n2 = 328.\nOblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Rozważ wszystkie przypadki.\n\nEMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n10.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n5.3R) rozpoznaje szeregi geometryczne\nzbieżne i oblicza ich sumy.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 27\n2 lub 27.\n3 pkt - obliczenie 𝑎1 oraz 𝑞: (𝑎1, 𝑞) = (18, 1\n3), (𝑎1, 𝑞) = (18, -1\n3), (𝑎1, 𝑞) = (2, 3),\n(𝑎1, 𝑞) = (2, -3)\nALBO\n- obliczenie 𝑎3 oraz 𝑞: (𝑎3, 𝑞) = (2, 1\n3), (𝑎3, 𝑞) = (2, -1\n3), (𝑎3, 𝑞) = (18, 3),\n(𝑎3, 𝑞) = (18, -3),\nALBO\n- obliczenie 𝑎2 oraz 𝑞: (𝑎2, 𝑞) = (-6, -3), (𝑎2, 𝑞) = (-6, -1\n3), (𝑎2, 𝑞) = (6, 1\n3),\n(𝑎2, 𝑞) = (6, 3) (dla sposobu III),\nALBO\n- wyznaczenie jednej z par (𝑎1, 𝑞), dla której szereg geometryczny jest zbieżny\ni obliczenie sumy tego szeregu, np. (𝑎1, 𝑞) = (18, 1\n3) i 𝑆= 27, (𝑎1, 𝑞) = (18, -1\n3)\ni 𝑆= 27\n2 ,\nALBO\n- wyznaczenie jednej z par (𝑎3, 𝑞), dla której szereg geometryczny jest zbieżny\ni obliczenie sumy tego szeregu, np. (𝑎3, 𝑞) = (2, 1\n3) i 𝑆= 27, (𝑎3, 𝑞) = (2, -1\n3)\ni 𝑆= 27\n2 ,\nALBO\n- wyznaczenie jednej z par (𝑎2, 𝑞), dla której szereg geometryczny jest zbieżny\ni obliczenie sumy tego szeregu, np. (𝑎2, 𝑞) = (6, 1\n3) i 𝑆= 27, (𝑎2, 𝑞) = (-6, -1\n3)\ni 𝑆= 27\n2 (dla sposobu III).\n2 pkt - obliczenie 𝑎1 : 𝑎1 = 2 oraz 𝑎1 = 18\nALBO\n- obliczenie 𝑎3 : 𝑎3 = 18 oraz 𝑎3 = 2,\nALBO\n- obliczenie 𝑞2: 𝑞2 = 9 oraz 𝑞2 = 1\n9 ,\nALBO\n- zapisanie alternatywy równań -6\n𝑞-6𝑞= 20 lub 6\n𝑞+ 6𝑞= 20 (dla sposobu III),\nALBO\n- zapisanie równania 36\n𝑞2 + 36𝑞2 = 328 (dla sposobu III).\n1 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą (𝑎1 lub 𝑎3 , lub 𝑞), np.\n𝑎1\n2 + (20 -𝑎1)2 = 328, (20 -𝑎3)2 + 𝑎3\n2 = 328,\n400\n(𝑞2 + 1)\n2 ⋅(1 + 𝑞4) = 328\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎2 , np. 𝑎2\n2 = 36, 202 -2𝑎2\n2 = 328 (dla\nsposobu III).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający odrzuci otrzymane wartości 𝑞= 3 oraz 𝑞= -3 (lub parę\n(𝑎1 , 𝑎3) = (2, 18) ) bez komentarza, to może otrzymać 4 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający nie odrzuci wartości 𝑞= 3 oraz 𝑞= -3 i zastosuje wzór na sumę\nszeregu geometrycznego dla 𝑞= 3 (albo dla 𝑞= -3), to może otrzymać co najwyżej\n3 punkty za całe rozwiązanie.\n3. a) Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy, ale otrzyma co najmniej jeden iloraz\nspełniający warunek |𝑞| < 1 oraz co najmniej jeden iloraz spełniający warunek |𝑞| ≥1\ni rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie\n(2 punkty za pary (𝑎1, 𝑞) oraz 1 punkt za obliczenie sum szeregów dla wszystkich\notrzymanych ilorazów 𝑞 spełniających warunek |𝑞| < 1, o ile nie obliczy sumy szeregu\ndla ilorazu spełniającego warunek |𝑞| ≥1).\n3. b) Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy, ale otrzyma co najmniej dwa ilorazy\ni wszystkie z nich spełniają warunek |𝑞| < 1 oraz rozwiąże zadanie do końca, to może\notrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za pary (𝑎1, 𝑞) oraz 1 punkt\nza obliczenie sum szeregów dla wszystkich otrzymanych ilorazów 𝑞), o ile nie nabył\nprawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania.\n4. Jeżeli zdający popełni błąd, który nie jest rachunkowy, ale otrzyma co najmniej jeden\niloraz spełniający warunek |𝑞| < 1 i rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co\nnajwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za pary (𝑎1, 𝑞) oraz 1 punkt za\nobliczenie sum szeregów dla wszystkich otrzymanych ilorazów 𝑞 spełniających warunek\n|𝑞| < 1, o ile nie obliczy sumy szeregu dla ilorazu spełniającego warunek |𝑞| ≥1), o ile\nnie nabył prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania.\n5. Jeżeli zdający odgadnie rozwiązanie układu równań 𝑎1 + 𝑎3 = 20 i 𝑎1\n2 + 𝑎3\n2 = 328:\n(𝑎1 , 𝑎3) = (18, 2) oraz obliczy poprawnie obie sumy szeregu: 𝑆= 27 i 𝑆= 27\n2 i nie\nobliczy sumy szeregu dla ilorazu spełniającego warunek |𝑞| ≥1, to otrzymuje 1 punkt za\ncałe rozwiązanie.\n6. Jeżeli zdający odgadnie rozwiązania układu równań 𝑎1 + 𝑎3 = 20 i 𝑎1\n2 + 𝑎3\n2 = 328:\n(𝑎1 , 𝑎3) = (18, 2) oraz (𝑎1 , 𝑎3) = (2, 18), ale nie obliczy poprawnie obu sum szeregu:\n𝑆= 27 i 𝑆= 27\n2 lub obliczy sumę szeregu dla ilorazu spełniającego warunek |𝑞| ≥1,\nto otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nNiech 𝑞 oznacza iloraz ciągu (𝑎𝑛). Z warunków 𝑎1 + 𝑎3 = 20 i 𝑎1\n2 + 𝑎3\n2 = 328\notrzymujemy:\n𝑎1\n2 + (20 -𝑎1)2 = 328\n2𝑎1\n2 -40𝑎1 + 72 = 0\n𝑎1 = 2 ∨ 𝑎1 = 18\nGdy 𝑎1 = 2, to 𝑎3 = 20 -𝑎1 = 18 i wtedy 𝑞2 = 9, więc 𝑞= -3 lub 𝑞= 3. Dla każdej\nz tych wartości ilorazu ciąg (𝑎𝑛) jest rozbieżny i tym samym nie są spełnione warunki\nzadania.\nGdy 𝑎1 = 18, to 𝑎3 = 20 -𝑎1 = 2 i wtedy 𝑞2 = 1\n9 , więc 𝑞= -1\n3 lub 𝑞= 1\n3 . Dla każdej\nz tych wartości 𝑞 ciąg (𝑎𝑛) jest zbieżny, a ponieważ |-1\n3| < 1 oraz |1\n3| < 1, więc dla\nobu tych wartości ilorazu istnieje suma wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego (𝑎𝑛).\nDla 𝑎1 = 18 i 𝑞= -1\n3 suma 𝑆 wszystkich wyrazów ciągu (𝑎𝑛) jest równa\n𝑆=\n𝑎1\n1 -𝑞=\n18\n1 -(-\n1\n3)\n= 27\n2\nDla 𝑎1 = 18 i 𝑞= 1\n3 suma 𝑆 wszystkich wyrazów ciągu (𝑎𝑛) jest równa\n𝑆=\n𝑎1\n1 -𝑞= 18\n1 -\n1\n3\n= 27\nSposób II\nNiech 𝑞 oznacza iloraz ciągu (𝑎𝑛). Z warunku 𝑎1 + 𝑎3 = 20 otrzymujemy\n𝑎1 + 𝑎1𝑞2 = 20, więc 𝑎1 =\n20\n𝑞2+1 i 𝑎1 ≠0.\nStąd i z warunku 𝑎1\n2 + 𝑎3\n2 = 328 otrzymujemy:\n𝑎1\n2 + (𝑎1𝑞2)2 = 328\n𝑎1\n2 ⋅(1 + 𝑞4) = 328\n400\n(𝑞2 + 1)2 ⋅(1 + 𝑞4) = 328\n72𝑞4 -656𝑞2 + 72 = 0\n9𝑞4 -82𝑞2 + 9 = 0\nΔ = (-82)2 -4 ⋅9 ⋅9 = 6400\n𝑞2 = 82 -80\n2 ⋅9\n= 1\n9 ∨ 𝑞2 = 82 + 80\n2 ⋅9\n= 9\n𝑞= -1\n3 ∨ 𝑞= 1\n3 ∨ 𝑞= -3 ∨ 𝑞= 3\nPonieważ 𝑎1 ≠0, więc dla 𝑞= -3 oraz 𝑞= 3 ciąg (𝑎𝑛) nie jest zbieżny.\nGdy 𝑞= -1\n3 , to 𝑎1 =\n20\n𝑞2+1 = 18 i ciąg (𝑎𝑛) jest zbieżny. Ponadto |-1\n3| < 1, więc\nistnieje suma 𝑆 wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego i jest ona równa\n𝑆=\n𝑎1\n1 -𝑞=\n18\n1 -(-\n1\n3)\n= 27\n2\nGdy 𝑞= 1\n3 , to 𝑎1 =\n20\n𝑞2+1 = 18 i ciąg (𝑎𝑛) jest zbieżny. Ponadto |1\n3| < 1, więc istnieje\nsuma 𝑆 wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego i jest ona równa\n𝑆=\n𝑎1\n1 -𝑞= 18\n1 -\n1\n3\n= 27\nSposób III (poprzez 𝑎2)\nNiech 𝑞 oznacza iloraz ciągu (𝑎𝑛). Z warunków 𝑎1 + 𝑎3 = 20 i 𝑎1\n2 + 𝑎3\n2 = 328\notrzymujemy:\n𝑎1\n2 + 𝑎3\n2 = 328\n(𝑎1 + 𝑎3)2 -2𝑎1 ⋅𝑎3 = 328\n202 -2𝑎1 ⋅𝑎3 = 328\nStąd, po zastosowaniu własności ciągu geometrycznego, dostajemy\n202 -2𝑎2\n2 = 328\n𝑎2 = -6 ∨ 𝑎2 = 6\nPrzypadek 1. (gdy 𝑎2 = -6).\nWarunek 𝑎1 + 𝑎3 = 20 zapisujemy w postaci 𝑎2\n𝑞+ 𝑎2 ⋅𝑞= 20 i obliczamy iloraz ciągu:\n-6\n𝑞-6𝑞= 20\n-6𝑞2 -20𝑞-6 = 0\n𝑞= 20 -16\n-12\n= -1\n3 ∨ 𝑞= 20 + 16\n-12\n= -3\nGdy 𝑞= -1\n3 i 𝑎2 = -6, to ciąg (𝑎𝑛) jest zbieżny. Ponadto |-1\n3| < 1, więc istnieje\nsuma 𝑆 wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego i jest ona równa\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑆=\n𝑎2\n𝑞\n1 -𝑞=\n18\n1 -(-\n1\n3)\n= 27\n2\nGdy 𝑞= -3 i 𝑎2 = -6, to ciąg (𝑎𝑛) jest rozbieżny, więc warunki zadania nie są\nspełnione.\nPrzypadek 2. (gdy 𝑎2 = 6).\nWarunek 𝑎1 + 𝑎3 = 20 zapisujemy w postaci 𝑎2\n𝑞+ 𝑎2 ⋅𝑞= 20 i obliczamy iloraz ciągu:\n6\n𝑞+ 6𝑞= 20\n6𝑞2 -20𝑞+ 6 = 0\n𝑞= 20 -16\n12\n= 1\n3 ∨ 𝑞= 20 + 16\n12\n= 3\nGdy 𝑞= 1\n3 i 𝑎2 = 6, to ciąg (𝑎𝑛) jest zbieżny. Ponadto |1\n3| < 1, więc istnieje suma 𝑆\nwszystkich wyrazów ciągu geometrycznego i jest ona równa\n𝑆=\n𝑎2\n𝑞\n1 -𝑞= 18\n1 -\n1\n3\n= 27\nGdy 𝑞= 3 i 𝑎2 = 6, to ciąg (𝑎𝑛) jest rozbieżny, więc warunki zadania nie są spełnione.","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 10. (0-4)<br>Ciąg (𝑎𝑛), określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1, jest geometryczny i zbieżny. W tym<br>ciągu 𝑎1 + 𝑎3 = 20 i 𝑎1<br>2 + 𝑎3<br>2 = 328.<br>Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Rozważ wszystkie przypadki.</p>\n<p>EMAP-R0_100<br>Wypełnia<br>egzaminator<br>Nr zadania<br>10.<br>Maks. liczba pkt<br>4<br>Uzyskana liczba pkt</p>\n<p>EMAP-R0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 10. (0-4)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Modelowanie matematyczne.<br>Zdający:<br>5.3R) rozpoznaje szeregi geometryczne<br>zbieżne i oblicza ich sumy.<br>Zasady oceniania<br>4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 27<br>2 lub 27.<br>3 pkt - obliczenie 𝑎1 oraz 𝑞: (𝑎1, 𝑞) = (18, 1<br>3), (𝑎1, 𝑞) = (18, -1<br>3), (𝑎1, 𝑞) = (2, 3),<br>(𝑎1, 𝑞) = (2, -3)<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie 𝑎3 oraz 𝑞: (𝑎3, 𝑞) = (2, 1</li></ul>\n<p>3), (𝑎3, 𝑞) = (2, -1<br>3), (𝑎3, 𝑞) = (18, 3),<br>(𝑎3, 𝑞) = (18, -3),<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie 𝑎2 oraz 𝑞: (𝑎2, 𝑞) = (-6, -3), (𝑎2, 𝑞) = (-6, -1</li></ul>\n<p>3), (𝑎2, 𝑞) = (6, 1<br>3),<br>(𝑎2, 𝑞) = (6, 3) (dla sposobu III),<br>ALBO</p>\n<ul><li>wyznaczenie jednej z par (𝑎1, 𝑞), dla której szereg geometryczny jest zbieżny</li></ul>\n<p>i obliczenie sumy tego szeregu, np. (𝑎1, 𝑞) = (18, 1</p>\n<ol><li>i 𝑆= 27, (𝑎1, 𝑞) = (18, -1</li></ol>\n<p>3)<br>i 𝑆= 27<br>2 ,<br>ALBO</p>\n<ul><li>wyznaczenie jednej z par (𝑎3, 𝑞), dla której szereg geometryczny jest zbieżny</li></ul>\n<p>i obliczenie sumy tego szeregu, np. (𝑎3, 𝑞) = (2, 1</p>\n<ol><li>i 𝑆= 27, (𝑎3, 𝑞) = (2, -1</li></ol>\n<p>3)<br>i 𝑆= 27<br>2 ,<br>ALBO</p>\n<ul><li>wyznaczenie jednej z par (𝑎2, 𝑞), dla której szereg geometryczny jest zbieżny</li></ul>\n<p>i obliczenie sumy tego szeregu, np. (𝑎2, 𝑞) = (6, 1</p>\n<ol><li>i 𝑆= 27, (𝑎2, 𝑞) = (-6, -1</li></ol>\n<p>3)<br>i 𝑆= 27<br>2 (dla sposobu III).<br>2 pkt - obliczenie 𝑎1 : 𝑎1 = 2 oraz 𝑎1 = 18<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie 𝑎3 : 𝑎3 = 18 oraz 𝑎3 = 2,</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie 𝑞2: 𝑞2 = 9 oraz 𝑞2 = 1</li></ul>\n<p>9 ,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie alternatywy równań -6</li></ul>\n<p>𝑞-6𝑞= 20 lub 6<br>𝑞+ 6𝑞= 20 (dla sposobu III),<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równania 36</li></ul>\n<p>𝑞2 + 36𝑞2 = 328 (dla sposobu III).<br>1 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą (𝑎1 lub 𝑎3 , lub 𝑞), np.<br>𝑎1<br>2 + (20 -𝑎1)2 = 328, (20 -𝑎3)2 + 𝑎3<br>2 = 328,<br>400<br>(𝑞2 + 1)<br>2 ⋅(1 + 𝑞4) = 328<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎2 , np. 𝑎2</li></ul>\n<p>2 = 36, 202 -2𝑎2<br>2 = 328 (dla<br>sposobu III).<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający odrzuci otrzymane wartości 𝑞= 3 oraz 𝑞= -3 (lub parę</li></ol>\n<p>(𝑎1 , 𝑎3) = (2, 18) ) bez komentarza, to może otrzymać 4 punkty za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający nie odrzuci wartości 𝑞= 3 oraz 𝑞= -3 i zastosuje wzór na sumę</li></ol>\n<p>szeregu geometrycznego dla 𝑞= 3 (albo dla 𝑞= -3), to może otrzymać co najwyżej<br>3 punkty za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>a) Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy, ale otrzyma co najmniej jeden iloraz</li></ol>\n<p>spełniający warunek |𝑞| &lt; 1 oraz co najmniej jeden iloraz spełniający warunek |𝑞| ≥1<br>i rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie<br>(2 punkty za pary (𝑎1, 𝑞) oraz 1 punkt za obliczenie sum szeregów dla wszystkich<br>otrzymanych ilorazów 𝑞 spełniających warunek |𝑞| &lt; 1, o ile nie obliczy sumy szeregu<br>dla ilorazu spełniającego warunek |𝑞| ≥1).</p>\n<ol><li>b) Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy, ale otrzyma co najmniej dwa ilorazy</li></ol>\n<p>i wszystkie z nich spełniają warunek |𝑞| &lt; 1 oraz rozwiąże zadanie do końca, to może<br>otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za pary (𝑎1, 𝑞) oraz 1 punkt<br>za obliczenie sum szeregów dla wszystkich otrzymanych ilorazów 𝑞), o ile nie nabył<br>prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający popełni błąd, który nie jest rachunkowy, ale otrzyma co najmniej jeden</li></ol>\n<p>iloraz spełniający warunek |𝑞| &lt; 1 i rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co<br>najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za pary (𝑎1, 𝑞) oraz 1 punkt za<br>obliczenie sum szeregów dla wszystkich otrzymanych ilorazów 𝑞 spełniających warunek<br>|𝑞| &lt; 1, o ile nie obliczy sumy szeregu dla ilorazu spełniającego warunek |𝑞| ≥1), o ile<br>nie nabył prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający odgadnie rozwiązanie układu równań 𝑎1 + 𝑎3 = 20 i 𝑎1</li></ol>\n<p>2 + 𝑎3<br>2 = 328:<br>(𝑎1 , 𝑎3) = (18, 2) oraz obliczy poprawnie obie sumy szeregu: 𝑆= 27 i 𝑆= 27<br>2 i nie<br>obliczy sumy szeregu dla ilorazu spełniającego warunek |𝑞| ≥1, to otrzymuje 1 punkt za<br>całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający odgadnie rozwiązania układu równań 𝑎1 + 𝑎3 = 20 i 𝑎1</li></ol>\n<p>2 + 𝑎3<br>2 = 328:<br>(𝑎1 , 𝑎3) = (18, 2) oraz (𝑎1 , 𝑎3) = (2, 18), ale nie obliczy poprawnie obu sum szeregu:<br>𝑆= 27 i 𝑆= 27<br>2 lub obliczy sumę szeregu dla ilorazu spełniającego warunek |𝑞| ≥1,<br>to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Niech 𝑞 oznacza iloraz ciągu (𝑎𝑛). Z warunków 𝑎1 + 𝑎3 = 20 i 𝑎1<br>2 + 𝑎3<br>2 = 328<br>otrzymujemy:<br>𝑎1<br>2 + (20 -𝑎1)2 = 328<br>2𝑎1<br>2 -40𝑎1 + 72 = 0<br>𝑎1 = 2 ∨ 𝑎1 = 18<br>Gdy 𝑎1 = 2, to 𝑎3 = 20 -𝑎1 = 18 i wtedy 𝑞2 = 9, więc 𝑞= -3 lub 𝑞= 3. Dla każdej<br>z tych wartości ilorazu ciąg (𝑎𝑛) jest rozbieżny i tym samym nie są spełnione warunki<br>zadania.<br>Gdy 𝑎1 = 18, to 𝑎3 = 20 -𝑎1 = 2 i wtedy 𝑞2 = 1<br>9 , więc 𝑞= -1<br>3 lub 𝑞= 1<br>3 . Dla każdej<br>z tych wartości 𝑞 ciąg (𝑎𝑛) jest zbieżny, a ponieważ |-1<br>3| &lt; 1 oraz |1<br>3| &lt; 1, więc dla<br>obu tych wartości ilorazu istnieje suma wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego (𝑎𝑛).<br>Dla 𝑎1 = 18 i 𝑞= -1<br>3 suma 𝑆 wszystkich wyrazów ciągu (𝑎𝑛) jest równa<br>𝑆=<br>𝑎1<br>1 -𝑞=<br>18<br>1 -(-<br>1<br>3)<br>= 27<br>2<br>Dla 𝑎1 = 18 i 𝑞= 1<br>3 suma 𝑆 wszystkich wyrazów ciągu (𝑎𝑛) jest równa<br>𝑆=<br>𝑎1<br>1 -𝑞= 18<br>1 -<br>1<br>3<br>= 27<br>Sposób II<br>Niech 𝑞 oznacza iloraz ciągu (𝑎𝑛). Z warunku 𝑎1 + 𝑎3 = 20 otrzymujemy<br>𝑎1 + 𝑎1𝑞2 = 20, więc 𝑎1 =<br>20<br>𝑞2+1 i 𝑎1 ≠0.<br>Stąd i z warunku 𝑎1<br>2 + 𝑎3<br>2 = 328 otrzymujemy:<br>𝑎1<br>2 + (𝑎1𝑞2)2 = 328<br>𝑎1<br>2 ⋅(1 + 𝑞4) = 328<br>400<br>(𝑞2 + 1)2 ⋅(1 + 𝑞4) = 328<br>72𝑞4 -656𝑞2 + 72 = 0<br>9𝑞4 -82𝑞2 + 9 = 0<br>Δ = (-82)2 -4 ⋅9 ⋅9 = 6400<br>𝑞2 = 82 -80<br>2 ⋅9<br>= 1<br>9 ∨ 𝑞2 = 82 + 80<br>2 ⋅9<br>= 9<br>𝑞= -1<br>3 ∨ 𝑞= 1<br>3 ∨ 𝑞= -3 ∨ 𝑞= 3<br>Ponieważ 𝑎1 ≠0, więc dla 𝑞= -3 oraz 𝑞= 3 ciąg (𝑎𝑛) nie jest zbieżny.<br>Gdy 𝑞= -1<br>3 , to 𝑎1 =<br>20<br>𝑞2+1 = 18 i ciąg (𝑎𝑛) jest zbieżny. Ponadto |-1<br>3| &lt; 1, więc<br>istnieje suma 𝑆 wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego i jest ona równa<br>𝑆=<br>𝑎1<br>1 -𝑞=<br>18<br>1 -(-<br>1<br>3)<br>= 27<br>2<br>Gdy 𝑞= 1<br>3 , to 𝑎1 =<br>20<br>𝑞2+1 = 18 i ciąg (𝑎𝑛) jest zbieżny. Ponadto |1<br>3| &lt; 1, więc istnieje<br>suma 𝑆 wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego i jest ona równa<br>𝑆=<br>𝑎1<br>1 -𝑞= 18<br>1 -<br>1<br>3<br>= 27<br>Sposób III (poprzez 𝑎2)<br>Niech 𝑞 oznacza iloraz ciągu (𝑎𝑛). Z warunków 𝑎1 + 𝑎3 = 20 i 𝑎1<br>2 + 𝑎3<br>2 = 328<br>otrzymujemy:<br>𝑎1<br>2 + 𝑎3<br>2 = 328<br>(𝑎1 + 𝑎3)2 -2𝑎1 ⋅𝑎3 = 328<br>202 -2𝑎1 ⋅𝑎3 = 328<br>Stąd, po zastosowaniu własności ciągu geometrycznego, dostajemy<br>202 -2𝑎2<br>2 = 328<br>𝑎2 = -6 ∨ 𝑎2 = 6<br>Przypadek 1. (gdy 𝑎2 = -6).<br>Warunek 𝑎1 + 𝑎3 = 20 zapisujemy w postaci 𝑎2<br>𝑞+ 𝑎2 ⋅𝑞= 20 i obliczamy iloraz ciągu:<br>-6<br>𝑞-6𝑞= 20<br>-6𝑞2 -20𝑞-6 = 0<br>𝑞= 20 -16<br>-12<br>= -1<br>3 ∨ 𝑞= 20 + 16<br>-12<br>= -3<br>Gdy 𝑞= -1<br>3 i 𝑎2 = -6, to ciąg (𝑎𝑛) jest zbieżny. Ponadto |-1<br>3| &lt; 1, więc istnieje<br>suma 𝑆 wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego i jest ona równa<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>𝑆=<br>𝑎2<br>𝑞<br>1 -𝑞=<br>18<br>1 -(-<br>1<br>3)<br>= 27<br>2<br>Gdy 𝑞= -3 i 𝑎2 = -6, to ciąg (𝑎𝑛) jest rozbieżny, więc warunki zadania nie są<br>spełnione.<br>Przypadek 2. (gdy 𝑎2 = 6).<br>Warunek 𝑎1 + 𝑎3 = 20 zapisujemy w postaci 𝑎2<br>𝑞+ 𝑎2 ⋅𝑞= 20 i obliczamy iloraz ciągu:<br>6<br>𝑞+ 6𝑞= 20<br>6𝑞2 -20𝑞+ 6 = 0<br>𝑞= 20 -16<br>12<br>= 1<br>3 ∨ 𝑞= 20 + 16<br>12<br>= 3<br>Gdy 𝑞= 1<br>3 i 𝑎2 = 6, to ciąg (𝑎𝑛) jest zbieżny. Ponadto |1<br>3| &lt; 1, więc istnieje suma 𝑆<br>wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego i jest ona równa<br>𝑆=<br>𝑎2<br>𝑞<br>1 -𝑞= 18<br>1 -<br>1<br>3<br>= 27<br>Gdy 𝑞= 3 i 𝑎2 = 6, to ciąg (𝑎𝑛) jest rozbieżny, więc warunki zadania nie są spełnione.</p>","solutions":[]}