{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"11","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-5)\nW układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dane są okręgi 𝒪1 oraz 𝒪2 o równaniach:\n𝒪1: (𝑥-1)2 + (𝑦+ 3)2 = 5\n𝒪2: (𝑥-2)2 + (𝑦-4)2 = 45.\nTe okręgi przecinają się w punktach 𝐴 oraz 𝐵. Punkt 𝐴 ma pierwszą współrzędną\ndodatnią. Punkt 𝑀 spełnia warunek 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = -2 ⋅𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .\nOblicz współrzędne punktów 𝐴, 𝐵 oraz 𝑀.\n\nEMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n11.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (0-5)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n8.5R) posługuje się równaniem okręgu\n(𝑥-𝑎)2 + (𝑦-𝑏)2 = 𝑟2 […];\n8.7R) oblicza współrzędne oraz długość\nwektora; dodaje i odejmuje wektory oraz\nmnoży je przez liczbę. Interpretuje\ngeometrycznie działania na wektorach.\nZasady oceniania\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝐴= (16\n5 , -13\n5 ), 𝐵= (-1, -2)\noraz 𝑀= ( 2\n5 , -11\n5 ).\n4 pkt - zapisanie równania [𝑥𝑀-16\n5 , 𝑦𝑀-(-13\n5 )] = -2 ⋅[𝑥𝑀-(-1), 𝑦𝑀-(-2)]\nALBO\n- zapisanie układu równań z dwiema niewiadomymi, który pozwala obliczyć\nwspółrzędne punktu 𝑀, np. √(-1 -𝑥𝑀)2 + (-2 -𝑦𝑀)2 = √2 oraz\n√(𝑥𝑀-3,2)2 + (𝑦𝑀+ 2,6)2 = 2√2,\nALBO\n- obliczenie współrzędnych punktów 𝐴 oraz 𝐵: 𝐴= (16\n5 , -13\n5 ) i 𝐵= (-1, -2)\noraz zapisanie równości 𝑥𝑀= 1\n3 𝑥𝐴+ 2\n3 𝑥𝐵 oraz 𝑦𝑀= 1\n3 𝑦𝐴+ 2\n3 𝑦𝐵 .\n3 pkt - obliczenie współrzędnych punktów 𝐴 oraz 𝐵: 𝐴= (16\n5 , -13\n5 ) oraz\n𝐵= (-1, -2)\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą, pozwalającego obliczyć pierwsze (lub\ndrugie) współrzędne punktów przecięcia okręgów, np.\n(-7𝑦-15 -2)2 + (𝑦-4)2 = 45 oraz zapisanie równości 𝑥𝑀= 1\n3 𝑥𝐴+ 2\n3 𝑥𝐵 oraz\n𝑦𝑀= 1\n3 𝑦𝐴+ 2\n3 𝑦𝐵 .\n2 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą, pozwalającego obliczyć pierwsze (lub\ndrugie) współrzędne punktów przecięcia okręgów, np.\n(-7𝑦-15 -2)2 + (𝑦-4)2 = 45,\nALBO\n- wyznaczenie równania prostej 𝐴𝐵, np. 2𝑥+ 14𝑦= -30 oraz zapisanie równości\n𝑥𝑀= 1\n3 𝑥𝐴+ 2\n3 𝑥𝐵 oraz 𝑦𝑀= 1\n3 𝑦𝐴+ 2\n3 𝑦𝐵 ,\nALBO\n- zapisanie współrzędnych punktu 𝐵: 𝐵= (-1, -2) i sprawdzenie rachunkiem, że\npunkt 𝐵 jest punktem przecięcia okręgów oraz wyznaczenie równania prostej 𝐴𝐵,\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- zapisanie współrzędnych punktu 𝐵: 𝐵= (-1, -2) i sprawdzenie rachunkiem, że\npunkt 𝐵 jest punktem przecięcia okręgów oraz obliczenie współrzędnych środka\nodcinka 𝐴𝐵: (11\n10 , -23\n10).\n1 pkt - wyznaczenie równania prostej 𝐴𝐵, np. 2𝑥+ 14𝑦= -30\nALBO\n- zapisanie równości 𝑥𝑀= 1\n3 𝑥𝐴+ 2\n3 𝑥𝐵 oraz 𝑦𝑀= 1\n3 𝑦𝐴+ 2\n3 𝑦𝐵 ,\nALBO\n- zapisanie współrzędnych punktu 𝐵: 𝐵= (-1, -2) i sprawdzenie rachunkiem, że\npunkt 𝐵 jest punktem przecięcia okręgów oraz zapisanie/obliczenie współczynnika\nkierunkowego prostej przechodzącej przez środki okręgów: 7.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający błędnie identyfikuje punkt 𝐴 jako (-1, -2), to może otrzymać co najwyżej\n4 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe i otrzyma punkty 𝐴 oraz 𝐵, których pierwsze\nwspółrzędne są liczbami dodatnimi, i konsekwentnie do popełnionych błędów rozwiązuje\nzadanie do końca, rozważając dwa przypadki, to może otrzymać co najwyżej 4 punkty za\ncałe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe i otrzyma punkty 𝐴 oraz 𝐵, których pierwsze\nwspółrzędne są liczbami ujemnymi, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe\nrozwiązanie (trzeci punkt otrzymuje za zapisanie równości 𝑥𝑀= 1\n3 𝑥𝐴+ 2\n3 𝑥𝐵 oraz\n𝑦𝑀= 1\n3 𝑦𝐴+ 2\n3 𝑦𝐵).\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nObliczamy współrzędne punktów 𝐴 oraz 𝐵, w których przecinają się okręgi 𝒪1 oraz 𝒪2:\n{ (𝑥-1)2 + (𝑦+ 3)2 = 5\n(𝑥-2)2 + (𝑦-4)2 = 45\n{ (𝑥-1)2 + (𝑦+ 3)2 -(𝑥-2)2 -(𝑦-4)2 = 5 -45\n(𝑥-2)2 + (𝑦-4)2 = 45\n{ 𝑥2 -2𝑥+ 1 + 𝑦2 + 6𝑦+ 9 -𝑥2 + 4𝑥-4 -𝑦2 + 8𝑦-16 = -40\n(𝑥-2)2 + (𝑦-4)2 = 45\n{ 2𝑥+ 14𝑦= -30 /: 2\n(𝑥-2)2 + (𝑦-4)2 = 45\n{ 𝑥+ 7𝑦= -15\n(𝑥-2)2 + (𝑦-4)2 = 45\n{ 𝑥= -7𝑦-15\n(𝑥-2)2 + (𝑦-4)2 = 45\n{ 𝑥= -7𝑦-15\n(-7𝑦-15 -2)2 + (𝑦-4)2 = 45\n{ 𝑥= -7𝑦-15\n50𝑦2 + 230𝑦+ 260 = 0\nStąd\n𝑦= -13\n5 lub 𝑦= -2\nGdy 𝑦= -13\n5 to wtedy 𝑥= -7 ⋅(-13\n5 ) -15 = 16\n5 .\nGdy 𝑦= -2 to wtedy 𝑥= -7 ⋅(-2) -15 = -1.\nPonieważ pierwsza współrzędna punktu 𝐴 jest dodatnia, więc 𝐴= (16\n5 , -13\n5 )\noraz 𝐵= (-1, -2).\nOznaczmy przez 𝑥𝑀 i 𝑦𝑀 odpowiednie współrzędne punktu 𝑀, tj. 𝑀= (𝑥𝑀, 𝑦𝑀). Wtedy\n𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = -2 ⋅𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗\n[𝑥𝑀-16\n5 , 𝑦𝑀-(-13\n5 )] = -2 ⋅[𝑥𝑀-(-1), 𝑦𝑀-(-2)]\n[𝑥𝑀-16\n5 , 𝑦𝑀+ 13\n5 ] = [-2𝑥𝑀-2, -2𝑦𝑀-4]\n𝑥𝑀-16\n5 = -2𝑥𝑀-2 ∧ 𝑦𝑀+ 13\n5 = -2𝑦𝑀-4\n𝑥𝑀= 2\n5 ∧ 𝑦𝑀= -11\n5\nZatem 𝑀= (2\n5 , -11\n5 ).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 11. (0-5)<br>W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dane są okręgi 𝒪1 oraz 𝒪2 o równaniach:<br>𝒪1: (𝑥-1)2 + (𝑦+ 3)2 = 5<br>𝒪2: (𝑥-2)2 + (𝑦-4)2 = 45.<br>Te okręgi przecinają się w punktach 𝐴 oraz 𝐵. Punkt 𝐴 ma pierwszą współrzędną<br>dodatnią. Punkt 𝑀 spełnia warunek 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = -2 ⋅𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .<br>Oblicz współrzędne punktów 𝐴, 𝐵 oraz 𝑀.</p>\n<p>EMAP-R0_100<br>Wypełnia<br>egzaminator<br>Nr zadania<br>11.<br>Maks. liczba pkt<br>5<br>Uzyskana liczba pkt</p>\n<p>EMAP-R0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 11. (0-5)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>IV. Użycie i tworzenie strategii.<br>Zdający:<br>8.5R) posługuje się równaniem okręgu<br>(𝑥-𝑎)2 + (𝑦-𝑏)2 = 𝑟2 […];<br>8.7R) oblicza współrzędne oraz długość<br>wektora; dodaje i odejmuje wektory oraz<br>mnoży je przez liczbę. Interpretuje<br>geometrycznie działania na wektorach.<br>Zasady oceniania<br>5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝐴= (16<br>5 , -13<br>5 ), 𝐵= (-1, -2)<br>oraz 𝑀= ( 2<br>5 , -11<br>5 ).<br>4 pkt - zapisanie równania [𝑥𝑀-16<br>5 , 𝑦𝑀-(-13<br>5 )] = -2 ⋅[𝑥𝑀-(-1), 𝑦𝑀-(-2)]<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie układu równań z dwiema niewiadomymi, który pozwala obliczyć</li></ul>\n<p>współrzędne punktu 𝑀, np. √(-1 -𝑥𝑀)2 + (-2 -𝑦𝑀)2 = √2 oraz<br>√(𝑥𝑀-3,2)2 + (𝑦𝑀+ 2,6)2 = 2√2,<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie współrzędnych punktów 𝐴 oraz 𝐵: 𝐴= (16</li></ul>\n<p>5 , -13<br>5 ) i 𝐵= (-1, -2)<br>oraz zapisanie równości 𝑥𝑀= 1<br>3 𝑥𝐴+ 2<br>3 𝑥𝐵 oraz 𝑦𝑀= 1<br>3 𝑦𝐴+ 2<br>3 𝑦𝐵 .<br>3 pkt - obliczenie współrzędnych punktów 𝐴 oraz 𝐵: 𝐴= (16<br>5 , -13<br>5 ) oraz<br>𝐵= (-1, -2)<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równania z jedną niewiadomą, pozwalającego obliczyć pierwsze (lub</li></ul>\n<p>drugie) współrzędne punktów przecięcia okręgów, np.<br>(-7𝑦-15 -2)2 + (𝑦-4)2 = 45 oraz zapisanie równości 𝑥𝑀= 1<br>3 𝑥𝐴+ 2<br>3 𝑥𝐵 oraz<br>𝑦𝑀= 1<br>3 𝑦𝐴+ 2<br>3 𝑦𝐵 .<br>2 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą, pozwalającego obliczyć pierwsze (lub<br>drugie) współrzędne punktów przecięcia okręgów, np.<br>(-7𝑦-15 -2)2 + (𝑦-4)2 = 45,<br>ALBO</p>\n<ul><li>wyznaczenie równania prostej 𝐴𝐵, np. 2𝑥+ 14𝑦= -30 oraz zapisanie równości</li></ul>\n<p>𝑥𝑀= 1<br>3 𝑥𝐴+ 2<br>3 𝑥𝐵 oraz 𝑦𝑀= 1<br>3 𝑦𝐴+ 2<br>3 𝑦𝐵 ,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie współrzędnych punktu 𝐵: 𝐵= (-1, -2) i sprawdzenie rachunkiem, że</li></ul>\n<p>punkt 𝐵 jest punktem przecięcia okręgów oraz wyznaczenie równania prostej 𝐴𝐵,<br>ALBO<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>\n<ul><li>zapisanie współrzędnych punktu 𝐵: 𝐵= (-1, -2) i sprawdzenie rachunkiem, że</li></ul>\n<p>punkt 𝐵 jest punktem przecięcia okręgów oraz obliczenie współrzędnych środka<br>odcinka 𝐴𝐵: (11<br>10 , -23<br>10).<br>1 pkt - wyznaczenie równania prostej 𝐴𝐵, np. 2𝑥+ 14𝑦= -30<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równości 𝑥𝑀= 1</li></ul>\n<p>3 𝑥𝐴+ 2<br>3 𝑥𝐵 oraz 𝑦𝑀= 1<br>3 𝑦𝐴+ 2<br>3 𝑦𝐵 ,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie współrzędnych punktu 𝐵: 𝐵= (-1, -2) i sprawdzenie rachunkiem, że</li></ul>\n<p>punkt 𝐵 jest punktem przecięcia okręgów oraz zapisanie/obliczenie współczynnika<br>kierunkowego prostej przechodzącej przez środki okręgów: 7.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający błędnie identyfikuje punkt 𝐴 jako (-1, -2), to może otrzymać co najwyżej</li></ol>\n<p>4 punkty za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe i otrzyma punkty 𝐴 oraz 𝐵, których pierwsze</li></ol>\n<p>współrzędne są liczbami dodatnimi, i konsekwentnie do popełnionych błędów rozwiązuje<br>zadanie do końca, rozważając dwa przypadki, to może otrzymać co najwyżej 4 punkty za<br>całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe i otrzyma punkty 𝐴 oraz 𝐵, których pierwsze</li></ol>\n<p>współrzędne są liczbami ujemnymi, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe<br>rozwiązanie (trzeci punkt otrzymuje za zapisanie równości 𝑥𝑀= 1<br>3 𝑥𝐴+ 2<br>3 𝑥𝐵 oraz<br>𝑦𝑀= 1<br>3 𝑦𝐴+ 2<br>3 𝑦𝐵).<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Obliczamy współrzędne punktów 𝐴 oraz 𝐵, w których przecinają się okręgi 𝒪1 oraz 𝒪2:<br>{ (𝑥-1)2 + (𝑦+ 3)2 = 5<br>(𝑥-2)2 + (𝑦-4)2 = 45<br>{ (𝑥-1)2 + (𝑦+ 3)2 -(𝑥-2)2 -(𝑦-4)2 = 5 -45<br>(𝑥-2)2 + (𝑦-4)2 = 45<br>{ 𝑥2 -2𝑥+ 1 + 𝑦2 + 6𝑦+ 9 -𝑥2 + 4𝑥-4 -𝑦2 + 8𝑦-16 = -40<br>(𝑥-2)2 + (𝑦-4)2 = 45<br>{ 2𝑥+ 14𝑦= -30 /: 2<br>(𝑥-2)2 + (𝑦-4)2 = 45<br>{ 𝑥+ 7𝑦= -15<br>(𝑥-2)2 + (𝑦-4)2 = 45<br>{ 𝑥= -7𝑦-15<br>(𝑥-2)2 + (𝑦-4)2 = 45<br>{ 𝑥= -7𝑦-15<br>(-7𝑦-15 -2)2 + (𝑦-4)2 = 45<br>{ 𝑥= -7𝑦-15<br>50𝑦2 + 230𝑦+ 260 = 0<br>Stąd<br>𝑦= -13<br>5 lub 𝑦= -2<br>Gdy 𝑦= -13<br>5 to wtedy 𝑥= -7 ⋅(-13<br>5 ) -15 = 16<br>5 .<br>Gdy 𝑦= -2 to wtedy 𝑥= -7 ⋅(-2) -15 = -1.<br>Ponieważ pierwsza współrzędna punktu 𝐴 jest dodatnia, więc 𝐴= (16<br>5 , -13<br>5 )<br>oraz 𝐵= (-1, -2).<br>Oznaczmy przez 𝑥𝑀 i 𝑦𝑀 odpowiednie współrzędne punktu 𝑀, tj. 𝑀= (𝑥𝑀, 𝑦𝑀). Wtedy<br>𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = -2 ⋅𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗<br>[𝑥𝑀-16<br>5 , 𝑦𝑀-(-13<br>5 )] = -2 ⋅[𝑥𝑀-(-1), 𝑦𝑀-(-2)]<br>[𝑥𝑀-16<br>5 , 𝑦𝑀+ 13<br>5 ] = [-2𝑥𝑀-2, -2𝑦𝑀-4]<br>𝑥𝑀-16<br>5 = -2𝑥𝑀-2 ∧ 𝑦𝑀+ 13<br>5 = -2𝑦𝑀-4<br>𝑥𝑀= 2<br>5 ∧ 𝑦𝑀= -11<br>5<br>Zatem 𝑀= (2<br>5 , -11<br>5 ).<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[]}