{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"12","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-5)\nRozwiąż równanie\n3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0\nw przedziale 〈-𝜋, 𝜋〉.\n\nEMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n12.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12. (0-5)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n6.5R) stosuje wzory na sinus i cosinus sumy\ni różnicy kątów, sumę i różnicę sinusów\ni cosinusów kątów;\n6.6R) rozwiązuje równania i nierówności\ntrygonometryczne […].\nZasady oceniania (dla sposobów I-III)\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (-2𝜋\n3 ), (-𝜋\n6), 𝜋\n3 , 5𝜋\n6 .\n4 pkt - zapisanie założenia cos 𝑥≠0 oraz rozwiązanie alternatywy równań tg 𝑥= √3 lub\ntg 𝑥= -\n√3\n3 w przedziale [-𝜋 , 𝜋]: (-2𝜋\n3 ), (-𝜋\n6), 𝜋\n3 , 5𝜋\n6 (dla sposobów I oraz III)\nALBO\n- rozwiązanie jednego z równań alternatywy tg 𝑥= √3 lub tg 𝑥= -\n√3\n3 , gdzie\n𝑥≠𝜋\n2 + 𝜋𝑘 i 𝑘∈ℤ, w przedziale [-𝜋 , 𝜋], np.\n(-2𝜋\n3 ) i 𝜋\n3 (rozwiązania równania tg 𝑥= √3 w przedziale [-𝜋, 𝜋]),\n(-𝜋\n6) oraz 5𝜋\n6 (rozwiązania równania tg 𝑥= -\n√3\n3 w przedziale [-𝜋, 𝜋]),\noraz uzasadnienie, że liczby postaci 𝜋\n2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ, nie spełniają równania\n3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0 (dla sposobów I oraz III),\nALBO\n- rozwiązanie alternatywy równań tg 𝑥= √3 lub tg 𝑥= -\n√3\n3 w zbiorze ℝ:\n𝑥= 𝜋\n3 + 𝜋𝑘 oraz 𝑥= -𝜋\n6 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ, oraz uzasadnienie, że liczby postaci\n𝜋\n2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ, nie spełniają równania\n3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0 (dla sposobów I oraz III),\nALBO\n- zapisanie założenia cos(2𝑥) ≠0 oraz rozwiązanie równania tg(2𝑥) = -√3\nw przedziale [-𝜋, 𝜋]: (-2𝜋\n3 ), (-𝜋\n6), 𝜋\n3 , 5𝜋\n6 (dla sposobu II),\nALBO\n- rozwiązanie równania tg(2𝑥) = -√3 w zbiorze ℝ: 𝑥= -𝜋\n6 + 𝜋𝑘\n2 , gdzie 𝑘∈ℤ,\noraz uzasadnienie, że liczby postaci 𝜋\n4 + 𝜋𝑘\n2 , gdzie 𝑘∈ℤ, nie spełniają równania\n3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0 (dla sposobu II).\n3 pkt - zapisanie założenia cos 𝑥≠0 oraz rozwiązanie alternatywy równań tg 𝑥= √3 lub\ntg 𝑥= -\n√3\n3 w zbiorze ℝ:\n𝑥= 𝜋\n3 + 𝜋𝑘 oraz 𝑥= -𝜋\n6 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ (dla sposobów I oraz III)\nALBO\n- przekształcenie równania do postaci alternatywy równań tg 𝑥= √3 lub tg 𝑥= -\n√3\n3\noraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w przedziale [-𝜋, 𝜋], np.\n(-2𝜋\n3 ) i 𝜋\n3 (rozwiązania równania tg 𝑥= √3 w przedziale [-𝜋, 𝜋]),\n(-𝜋\n6) i 5𝜋\n6 (rozwiązania równania tg 𝑥= -\n√3\n3 w przedziale [-𝜋, 𝜋]),\n(dla sposobów I oraz III),\nALBO\n- przekształcenie równania do postaci alternatywy równań tg 𝑥= √3 lub tg 𝑥= -\n√3\n3\noraz uzasadnienie, że liczby postaci 𝜋\n2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ, nie spełniają równania\n3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0 (dla sposobów I oraz III)\nALBO\n- zapisanie założenia cos(2𝑥) ≠0 oraz rozwiązanie równania tg(2𝑥) = -√3\nw zbiorze ℝ: 𝑥= -𝜋\n6 + 𝜋𝑘\n2 , gdzie 𝑘∈ℤ (dla sposobu II),\nALBO\n- przekształcenie równania do postaci tg(2𝑥) = -√3 oraz uzasadnienie, że liczby\npostaci 𝜋\n4 + 𝜋𝑘\n2 , gdzie 𝑘∈ℤ, nie spełniają równania 3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0\n(dla sposobu II).\n2 pkt - przekształcenie równania do alternatywy równań tg 𝑥= √3 lub tg 𝑥= -\n√3\n3 (dla\nsposobów I oraz III)\nALBO\n- przekształcenie równania do postaci -3 tg2 𝑥+ 2√3 tg 𝑥+ 3 = 0 oraz\nuzasadnienie, że liczby postaci 𝜋\n2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ, nie spełniają równania\n3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0 (dla sposobu I),\nALBO\n- przekształcenie równania do postaci tg(2𝑥) = -√3 (dla sposobu II).\n1 pkt - przekształcenie równania do postaci -3 tg2 𝑥+ 2√3 tg 𝑥+ 3 = 0 (dla sposobu I)\nALBO\n- zastosowanie wzoru na cosinus podwojonego kąta i zapisanie równania\n3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0 (dla sposobu II),\nALBO\n- zastosowanie wzoru na sinus podwojonego kąta oraz wzorów skróconego mnożenia\ni przekształcenie równania do postaci\n(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥-2 sin 𝑥)(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥+ 2 sin 𝑥) = 0 (dla sposobu III),\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- uzasadnienie, że liczby postaci 𝜋\n2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ, nie spełniają równania\n3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0 (dla sposobów I oraz III).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania (dla sposobów IV-V)\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (-2𝜋\n3 ), (-𝜋\n6), 𝜋\n3 , 5𝜋\n6 .\n4 pkt - rozwiązanie równania sin (𝜋\n3 + 2𝑥) = 0 w zbiorze ℝ: 𝑥= -𝜋\n6 + 𝜋𝑘\n2 , gdzie 𝑘∈ℤ\n(dla sposobu IV),\nALBO\n- rozwiązanie równania cos (𝜋\n6 -2𝑥) = 0 w zbiorze ℝ: 𝑥= -𝜋\n6 -𝜋𝑘\n2 , gdzie 𝑘∈ℤ\n(dla sposobu IV),\nALBO\n- rozwiązanie obydwu równań alternatywy cos (𝜋\n6 + 𝑥) = 0 lub sin (𝜋\n6 + 𝑥) = 0\nw zbiorze ℝ:\n𝑥= 𝜋\n3 + 𝜋𝑘 oraz 𝑥= -𝜋\n6 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ (dla sposobu V),\nALBO\n- przekształcenie równania do postaci alternatywy równań cos (𝜋\n6 + 𝑥) = 0 lub\n√3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0 oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy\nw przedziale [-𝜋, 𝜋], np.\n(-2𝜋\n3 ) i 𝜋\n3 (rozwiązania równania cos (𝜋\n6 + 𝑥) = 0 w przedziale [-𝜋, 𝜋]),\n(-𝜋\n6) oraz 5𝜋\n6 (rozwiązania równania √3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0 w przedziale\n[-𝜋, 𝜋]),\n(dla sposobu V),\nALBO\n- przekształcenie równania do postaci alternatywy równań √3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 lub\nsin (𝜋\n6 + 𝑥) = 0 oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w przedziale\n[-𝜋, 𝜋], np.\n(-2𝜋\n3 ) i 𝜋\n3 (rozwiązania równania √3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 w przedziale [-𝜋, 𝜋]),\n(-𝜋\n6) oraz 5𝜋\n6 (rozwiązania równania sin (𝜋\n6 + 𝑥) = 0 w przedziale [-𝜋, 𝜋]),\n(dla sposobu V).\n3 pkt - przekształcenie równania do postaci sin (𝜋\n3 + 2𝑥) = 0 (dla sposobu IV)\nALBO\n- przekształcenie równania do postaci cos (𝜋\n6 -2𝑥) = 0 (dla sposobu IV),\nALBO\n- przekształcenie równania do postaci alternatywy równań cos (𝜋\n6 + 𝑥) = 0 lub\n√3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0 oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy\nw zbiorze ℝ, np.\n𝑥= 𝜋\n3 + 𝜋𝑘 (rozwiązania równania cos (𝜋\n6 + 𝑥) = 0 w zbiorze ℝ),\n𝑥= -𝜋\n6 + 𝜋𝑘 (rozwiązania równania √3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0 w zbiorze ℝ),\ngdzie 𝑘∈ℤ (dla sposobu V),\n- przekształcenie równania do postaci alternatywy równań √3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 lub\nsin (𝜋\n6 + 𝑥) = 0 oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w zbiorze ℝ,\nnp.\n𝑥= 𝜋\n3 + 𝜋𝑘 (rozwiązania równania √3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 w zbiorze ℝ),\n𝑥= -𝜋\n6 + 𝜋𝑘 (rozwiązania równania sin (𝜋\n6 + 𝑥) = 0 w zbiorze ℝ), gdzie 𝑘∈ℤ\n(dla sposobu V).\n2 pkt - przekształcenie równania do postaci\n√3\n2 cos(2𝑥) + 1\n2 sin(2𝑥) = 0 (dla sposobu IV)\nALBO\n- przekształcenie równania do postaci alternatywy równań\ncos (𝜋\n6 + 𝑥) = 0 lub √3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0 (dla sposobu V),\nALBO\n- przekształcenie równania do postaci alternatywy równań\n√3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 lub sin (𝜋\n6 + 𝑥) = 0 (dla sposobu V).\n1 pkt - zastosowanie wzoru na cosinus podwojonego kąta i zapisanie równania\n3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0 (dla sposobu IV)\nALBO\n- zastosowanie wzoru na sinus podwojonego kąta oraz wzorów skróconego mnożenia\ni przekształcenie równania do postaci\n(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥-2 sin 𝑥)(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥+ 2 sin 𝑥) = 0 (dla sposobu V),\nALBO\n- zastosowanie wzoru na sinus podwojonego kąta i obliczenie wyróżnika Δ trójmianu\nkwadratowego 3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥 zmiennej np. cos 𝑥:\nΔ = (4√3 sin 𝑥)\n2.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:\na) niepoprawne zastosowanie wzoru na sumę/różnicę cosinusów/sinusów,\nb) niepoprawne zastosowanie wzoru na iloczyn cosinusów/sinusów,\nc) błędne zastosowanie nieparzystości/parzystości funkcji trygonometrycznej,\nale zdający otrzyma elementarne równania trygonometryczne postaci sin(𝑎𝑥+ 𝑏) = 𝑐,\ncos(𝑎𝑥+ 𝑏) = 𝑐, gdzie 𝑎≠0, 𝑎2 ≠1, 𝑏≠0, 𝑐∈[-1, 1], i rozwiązanie doprowadzi\nkonsekwentnie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie,\no ile nie nabył prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n2. Jeżeli zdający błędnie stosuje metodę analizy starożytnych, np. podnosi obie strony\nrównania 3 cos(2𝑥) = -√3 sin(2𝑥) do kwadratu i nie sprawdza rachunkiem, czy\nwszystkie otrzymane liczby są rozwiązaniami, to za całe rozwiązanie może otrzymać co\nnajwyżej 3 punkty; natomiast jeżeli odrzuci co najmniej jedno rozwiązanie „obce” (ale nie\nodrzuci wszystkich rozwiązań „obcych”), to może otrzymać co najwyżej 4 punkty za całe\nrozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający dzieli obie strony równania przez wyrażenie 𝑎(𝑥) zawierające niewiadomą\n𝑥 i nie zapisze założenia 𝑎(𝑥) ≠0, ani też nie rozważa przypadku 𝑎(𝑥) = 0, to może\notrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I (poprzez sinus podwojonego kąta i tangens)\nStosujemy wzory na sinus podwojonego kąta i przekształcamy równanie\n3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 do postaci\n3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0\nNależy rozważyć dwa przypadki.\nPrzypadek 1. (gdy 𝑥≠𝜋\n2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ).\nDzielimy obie strony równania 3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0 przez cos2 𝑥\ni otrzymujemy\n3 + 2√3 sin 𝑥\ncos 𝑥\n-3sin2𝑥\ncos2 𝑥= 0\n3 + 2√3 tg 𝑥-3 tg2 𝑥= 0\n-3 tg2 𝑥+ 2√3 tg 𝑥+ 3 = 0\nΔ = (2√3)\n2 -4 ⋅(-3) ⋅3 = 48\ntg 𝑥= √3 ∨ tg 𝑥= -√3\n3\nRozwiązaniami równania tg 𝑥= √3 w zbiorze ℝ są wszystkie liczby postaci 𝜋\n3 + 𝜋𝑘,\ngdzie 𝑘∈ℤ. Zatem rozwiązaniami tego równania w przedziale [-𝜋 , 𝜋] są liczby\n(-2𝜋\n3 ) i 𝜋\n3 .\nRozwiązaniami równania tg 𝑥= -\n√3\n3 w zbiorze ℝ są wszystkie liczby postaci -𝜋\n6 + 𝜋𝑘,\ngdzie 𝑘∈ℤ. Zatem rozwiązaniami tego równania w przedziale [-𝜋 , 𝜋] są liczby (-𝜋\n6)\noraz 5𝜋\n6 .\nPrzypadek 2. (gdy 𝑥= 𝜋\n2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ).\nPonieważ cos (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) = 0 dla każdego 𝑘∈ℤ oraz sin2 (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) = 1 dla każdego\n𝑘∈ℤ, więc równanie 3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0 przyjmuje postać\n3 ⋅02 + 2√3 ⋅sin (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) ⋅0 -3 ⋅1 = 0\nczyli -3 = 0. To oznacza, że wśród liczb postaci 𝜋\n2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ, nie ma rozwiązań\nrównania 3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0.\nOstatecznie rozwiązaniami równania 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale\n[-𝜋 , 𝜋] są liczby: (-2𝜋\n3 ), (-𝜋\n6), 𝜋\n3 oraz 5𝜋\n6 .\nSposób II (poprzez cosinus podwojonego kąta i tangens)\nStosujemy wzory na cosinus podwojonego kąta i przekształcamy równanie\n3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 do postaci\n3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0\nNależy rozważyć dwa przypadki.\nPrzypadek 1. (gdy 2𝑥≠𝜋\n2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ).\nDzielimy obie strony równania 3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0 przez cos(2𝑥) i otrzymujemy\n3 + √3 ⋅sin(2𝑥)\ncos(2𝑥) = 0\ntg(2𝑥) = -√3\n2𝑥= -𝜋\n3 + 𝜋𝑘\n𝑥= -𝜋\n6 + 𝜋𝑘\n2\ngdzie 𝑘∈ℤ. Stąd otrzymujemy cztery rozwiązania w przedziale [-𝜋 , 𝜋]: (-2𝜋\n3 ), (-𝜋\n6), 𝜋\n3\noraz 5𝜋\n6 .\nPrzypadek 2. (gdy 2𝑥= 𝜋\n2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ).\nPonieważ cos (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) = 0 dla każdego 𝑘∈ℤ, więc równanie\n3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0 przyjmuje postać\n3 ⋅0 + √3 ⋅sin (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) = 0\nZasady oceniania rozwiązań zadań\ni stąd sin (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) = 0, gdzie 𝑘∈ℤ. Korzystając z jedynki trygonometrycznej,\notrzymujemy\nsin2 (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) + cos2 (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) = 1\n02 + 02 = 1\nczyli 0 = 1. To oznacza, że wśród liczb postaci 𝜋\n4 + 𝜋𝑘\n2 , gdzie 𝑘∈ℤ, nie ma rozwiązań\nrównania 3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0.\nOstatecznie rozwiązaniami równania 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale\n[-𝜋 , 𝜋] są liczby: (-2𝜋\n3 ), (-𝜋\n6), 𝜋\n3 oraz 5𝜋\n6 .\nSposób III\nPrzekształcamy równanie 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 równoważnie, stosując wzór\nna sinus podwojonego kąta i wzory skróconego mnożenia:\n3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0\n3 cos2 𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2 𝑥= 0\n(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥)\n2 -4 sin2 𝑥= 0\n(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥-2 sin 𝑥)(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥+ 2 sin 𝑥) = 0\n√3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 ∨ √3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0\nsin 𝑥= √3 cos 𝑥 ∨ sin 𝑥= -√3\n3 cos 𝑥\nPrzypadek 1. (gdy 𝑥≠𝜋\n2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ).\nDzielimy strony równań alternatywy przez cos 𝑥 i otrzymujemy\ntg 𝑥= √3 ∨ tg 𝑥= -√3\n3\nRozwiązaniami równania tg 𝑥= √3 w zbiorze ℝ są wszystkie liczby postaci 𝜋\n3 + 𝜋𝑘,\ngdzie 𝑘∈ℤ. Zatem rozwiązaniami tego równania w przedziale [-𝜋 , 𝜋] są liczby\n(-2𝜋\n3 ) i 𝜋\n3 .\nRozwiązaniami równania tg 𝑥= -\n√3\n3 w zbiorze ℝ są wszystkie liczby postaci -𝜋\n6 + 𝜋𝑘,\ngdzie 𝑘∈ℤ. Zatem rozwiązaniami alternatywy równań tg 𝑥= √3 lub tg 𝑥= -\n√3\n3\nw przedziale [-𝜋 , 𝜋] są liczby (-𝜋\n6) oraz 5𝜋\n6 .\nPrzypadek 2. (gdy 𝑥= 𝜋\n2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ).\nPonieważ cos (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) = 0, więc równania alternatywy sin 𝑥= √3 cos 𝑥 lub\nsin 𝑥= -\n√3\n3 cos 𝑥 przyjmują postać\nsin (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) = √3 ⋅0 oraz sin (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) = -√3\n3 ⋅0\ni stąd sin (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) = 0, gdzie 𝑘∈ℤ. Korzystając z jedynki trygonometrycznej,\notrzymujemy\nsin2 (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) + cos2 (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) = 1\n02 + 02 = 1\nczyli 0 = 1. To oznacza, że wśród liczb postaci 𝜋\n2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ, nie ma rozwiązań\nrównania sin 𝑥= √3 cos 𝑥 i nie ma rozwiązań równania sin 𝑥= -\n√3\n3 cos 𝑥.\nOstatecznie rozwiązaniami równania 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale\n[-𝜋 , 𝜋] są liczby: (-2𝜋\n3 ), (-𝜋\n6), 𝜋\n3 oraz 5𝜋\n6 .\nSposób IV (poprzez cosinus podwojonego kąta i sinus sumy)\nPrzekształcamy równanie 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 równoważnie, stosując wzór\nna cosinus podwojonego kąta i sinus sumy kątów:\n3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0\n3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0 /: 2√3\n√3\n2 cos(2𝑥) + 1\n2 sin(2𝑥) = 0\nsin (𝜋\n3 + 2𝑥) = 0\n2𝑥+ 𝜋\n3 = 𝜋𝑘\n𝑥= -𝜋\n6 + 𝜋𝑘\n2\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nRozwiązaniami równania 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale [-𝜋 , 𝜋] są\nliczby: (-2𝜋\n3 ), (-𝜋\n6), 𝜋\n3 oraz 5𝜋\n6 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób V\nPrzekształcamy równanie 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 równoważnie, stosując wzór\nna sinus podwojonego kąta i wzory skróconego mnożenia:\n3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0\n3 cos2 𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2 𝑥= 0\n(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥)\n2 -4 sin2 𝑥= 0\n(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥-2 sin 𝑥)(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥+ 2 sin 𝑥) = 0\n√3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 ∨ √3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0\nRozwiązujemy równanie √3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 w zbiorze ℝ:\n√3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 /: 2\n√3\n2 cos 𝑥-1\n2 sin 𝑥= 0\ncos (𝜋\n6 + 𝑥) = 0\n𝑥+ 𝜋\n6 = 𝜋\n2 + 𝜋𝑘\n𝑥= 𝜋\n3 + 𝜋𝑘\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nStąd rozwiązaniami równania √3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 w przedziale [-𝜋 , 𝜋] są liczby:\n(-2𝜋\n3 ) oraz 𝜋\n3 .\nRozwiązujemy równanie √3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0 w zbiorze ℝ:\n√3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0 /: 2√3\n1\n2 cos 𝑥+ √3\n2 sin 𝑥= 0\nsin (𝜋\n6 + 𝑥) = 0\n𝑥+ 𝜋\n6 = 𝜋𝑘\n𝑥= -𝜋\n6 + 𝜋𝑘\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nStąd rozwiązaniami równania √3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0 w przedziale [-𝜋 , 𝜋] są liczby:\n(-𝜋\n6) oraz 5𝜋\n6 .\nOstatecznie rozwiązaniami równania 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale\n[-𝜋 , 𝜋] są liczby: (-2𝜋\n3 ), (-𝜋\n6), 𝜋\n3 oraz 5𝜋\n6 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 12. (0-5)<br>Rozwiąż równanie<br>3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0<br>w przedziale 〈-𝜋, 𝜋〉.</p>\n<p>EMAP-R0_100<br>Wypełnia<br>egzaminator<br>Nr zadania<br>12.<br>Maks. liczba pkt<br>5<br>Uzyskana liczba pkt</p>\n<p>EMAP-R0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 12. (0-5)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>IV. Użycie i tworzenie strategii.<br>Zdający:<br>6.5R) stosuje wzory na sinus i cosinus sumy<br>i różnicy kątów, sumę i różnicę sinusów<br>i cosinusów kątów;<br>6.6R) rozwiązuje równania i nierówności<br>trygonometryczne […].<br>Zasady oceniania (dla sposobów I-III)<br>5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (-2𝜋<br>3 ), (-𝜋<br>6), 𝜋<br>3 , 5𝜋<br>6 .<br>4 pkt - zapisanie założenia cos 𝑥≠0 oraz rozwiązanie alternatywy równań tg 𝑥= √3 lub<br>tg 𝑥= -<br>√3<br>3 w przedziale [-𝜋 , 𝜋]: (-2𝜋<br>3 ), (-𝜋<br>6), 𝜋<br>3 , 5𝜋<br>6 (dla sposobów I oraz III)<br>ALBO</p>\n<ul><li>rozwiązanie jednego z równań alternatywy tg 𝑥= √3 lub tg 𝑥= -</li></ul>\n<p>√3<br>3 , gdzie<br>𝑥≠𝜋<br>2 + 𝜋𝑘 i 𝑘∈ℤ, w przedziale [-𝜋 , 𝜋], np.<br>(-2𝜋<br>3 ) i 𝜋<br>3 (rozwiązania równania tg 𝑥= √3 w przedziale [-𝜋, 𝜋]),<br>(-𝜋</p>\n<ol><li>oraz 5𝜋</li></ol>\n<p>6 (rozwiązania równania tg 𝑥= -<br>√3<br>3 w przedziale [-𝜋, 𝜋]),<br>oraz uzasadnienie, że liczby postaci 𝜋<br>2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ, nie spełniają równania<br>3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0 (dla sposobów I oraz III),<br>ALBO</p>\n<ul><li>rozwiązanie alternatywy równań tg 𝑥= √3 lub tg 𝑥= -</li></ul>\n<p>√3<br>3 w zbiorze ℝ:<br>𝑥= 𝜋<br>3 + 𝜋𝑘 oraz 𝑥= -𝜋<br>6 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ, oraz uzasadnienie, że liczby postaci<br>𝜋<br>2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ, nie spełniają równania<br>3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0 (dla sposobów I oraz III),<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie założenia cos(2𝑥) ≠0 oraz rozwiązanie równania tg(2𝑥) = -√3</li></ul>\n<p>w przedziale [-𝜋, 𝜋]: (-2𝜋<br>3 ), (-𝜋<br>6), 𝜋<br>3 , 5𝜋<br>6 (dla sposobu II),<br>ALBO</p>\n<ul><li>rozwiązanie równania tg(2𝑥) = -√3 w zbiorze ℝ: 𝑥= -𝜋</li></ul>\n<p>6 + 𝜋𝑘<br>2 , gdzie 𝑘∈ℤ,<br>oraz uzasadnienie, że liczby postaci 𝜋<br>4 + 𝜋𝑘<br>2 , gdzie 𝑘∈ℤ, nie spełniają równania<br>3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0 (dla sposobu II).<br>3 pkt - zapisanie założenia cos 𝑥≠0 oraz rozwiązanie alternatywy równań tg 𝑥= √3 lub<br>tg 𝑥= -<br>√3<br>3 w zbiorze ℝ:<br>𝑥= 𝜋<br>3 + 𝜋𝑘 oraz 𝑥= -𝜋<br>6 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ (dla sposobów I oraz III)<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie równania do postaci alternatywy równań tg 𝑥= √3 lub tg 𝑥= -</li></ul>\n<p>√3<br>3<br>oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w przedziale [-𝜋, 𝜋], np.<br>(-2𝜋<br>3 ) i 𝜋<br>3 (rozwiązania równania tg 𝑥= √3 w przedziale [-𝜋, 𝜋]),<br>(-𝜋</p>\n<ol><li>i 5𝜋</li></ol>\n<p>6 (rozwiązania równania tg 𝑥= -<br>√3<br>3 w przedziale [-𝜋, 𝜋]),<br>(dla sposobów I oraz III),<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie równania do postaci alternatywy równań tg 𝑥= √3 lub tg 𝑥= -</li></ul>\n<p>√3<br>3<br>oraz uzasadnienie, że liczby postaci 𝜋<br>2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ, nie spełniają równania<br>3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0 (dla sposobów I oraz III)<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie założenia cos(2𝑥) ≠0 oraz rozwiązanie równania tg(2𝑥) = -√3</li></ul>\n<p>w zbiorze ℝ: 𝑥= -𝜋<br>6 + 𝜋𝑘<br>2 , gdzie 𝑘∈ℤ (dla sposobu II),<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie równania do postaci tg(2𝑥) = -√3 oraz uzasadnienie, że liczby</li></ul>\n<p>postaci 𝜋<br>4 + 𝜋𝑘<br>2 , gdzie 𝑘∈ℤ, nie spełniają równania 3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0<br>(dla sposobu II).<br>2 pkt - przekształcenie równania do alternatywy równań tg 𝑥= √3 lub tg 𝑥= -<br>√3<br>3 (dla<br>sposobów I oraz III)<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie równania do postaci -3 tg2 𝑥+ 2√3 tg 𝑥+ 3 = 0 oraz</li></ul>\n<p>uzasadnienie, że liczby postaci 𝜋<br>2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ, nie spełniają równania<br>3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0 (dla sposobu I),<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie równania do postaci tg(2𝑥) = -√3 (dla sposobu II).</li></ul>\n<p>1 pkt - przekształcenie równania do postaci -3 tg2 𝑥+ 2√3 tg 𝑥+ 3 = 0 (dla sposobu I)<br>ALBO</p>\n<ul><li>zastosowanie wzoru na cosinus podwojonego kąta i zapisanie równania</li></ul>\n<p>3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0 (dla sposobu II),<br>ALBO</p>\n<ul><li>zastosowanie wzoru na sinus podwojonego kąta oraz wzorów skróconego mnożenia</li></ul>\n<p>i przekształcenie równania do postaci<br>(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥-2 sin 𝑥)(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥+ 2 sin 𝑥) = 0 (dla sposobu III),<br>ALBO<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>\n<ul><li>uzasadnienie, że liczby postaci 𝜋</li></ul>\n<p>2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ, nie spełniają równania<br>3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0 (dla sposobów I oraz III).<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Zasady oceniania (dla sposobów IV-V)<br>5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (-2𝜋<br>3 ), (-𝜋<br>6), 𝜋<br>3 , 5𝜋<br>6 .<br>4 pkt - rozwiązanie równania sin (𝜋<br>3 + 2𝑥) = 0 w zbiorze ℝ: 𝑥= -𝜋<br>6 + 𝜋𝑘<br>2 , gdzie 𝑘∈ℤ<br>(dla sposobu IV),<br>ALBO</p>\n<ul><li>rozwiązanie równania cos (𝜋</li></ul>\n<p>6 -2𝑥) = 0 w zbiorze ℝ: 𝑥= -𝜋<br>6 -𝜋𝑘<br>2 , gdzie 𝑘∈ℤ<br>(dla sposobu IV),<br>ALBO</p>\n<ul><li>rozwiązanie obydwu równań alternatywy cos (𝜋</li></ul>\n<p>6 + 𝑥) = 0 lub sin (𝜋<br>6 + 𝑥) = 0<br>w zbiorze ℝ:<br>𝑥= 𝜋<br>3 + 𝜋𝑘 oraz 𝑥= -𝜋<br>6 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ (dla sposobu V),<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie równania do postaci alternatywy równań cos (𝜋</li></ul>\n<p>6 + 𝑥) = 0 lub<br>√3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0 oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy<br>w przedziale [-𝜋, 𝜋], np.<br>(-2𝜋<br>3 ) i 𝜋<br>3 (rozwiązania równania cos (𝜋<br>6 + 𝑥) = 0 w przedziale [-𝜋, 𝜋]),<br>(-𝜋</p>\n<ol><li>oraz 5𝜋</li></ol>\n<p>6 (rozwiązania równania √3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0 w przedziale<br>[-𝜋, 𝜋]),<br>(dla sposobu V),<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie równania do postaci alternatywy równań √3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 lub</li></ul>\n<p>sin (𝜋<br>6 + 𝑥) = 0 oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w przedziale<br>[-𝜋, 𝜋], np.<br>(-2𝜋<br>3 ) i 𝜋<br>3 (rozwiązania równania √3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 w przedziale [-𝜋, 𝜋]),<br>(-𝜋</p>\n<ol><li>oraz 5𝜋</li></ol>\n<p>6 (rozwiązania równania sin (𝜋<br>6 + 𝑥) = 0 w przedziale [-𝜋, 𝜋]),<br>(dla sposobu V).<br>3 pkt - przekształcenie równania do postaci sin (𝜋<br>3 + 2𝑥) = 0 (dla sposobu IV)<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie równania do postaci cos (𝜋</li></ul>\n<p>6 -2𝑥) = 0 (dla sposobu IV),<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie równania do postaci alternatywy równań cos (𝜋</li></ul>\n<p>6 + 𝑥) = 0 lub<br>√3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0 oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy<br>w zbiorze ℝ, np.<br>𝑥= 𝜋<br>3 + 𝜋𝑘 (rozwiązania równania cos (𝜋<br>6 + 𝑥) = 0 w zbiorze ℝ),<br>𝑥= -𝜋<br>6 + 𝜋𝑘 (rozwiązania równania √3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0 w zbiorze ℝ),<br>gdzie 𝑘∈ℤ (dla sposobu V),</p>\n<ul><li>przekształcenie równania do postaci alternatywy równań √3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 lub</li></ul>\n<p>sin (𝜋<br>6 + 𝑥) = 0 oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w zbiorze ℝ,<br>np.<br>𝑥= 𝜋<br>3 + 𝜋𝑘 (rozwiązania równania √3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 w zbiorze ℝ),<br>𝑥= -𝜋<br>6 + 𝜋𝑘 (rozwiązania równania sin (𝜋<br>6 + 𝑥) = 0 w zbiorze ℝ), gdzie 𝑘∈ℤ<br>(dla sposobu V).<br>2 pkt - przekształcenie równania do postaci<br>√3<br>2 cos(2𝑥) + 1<br>2 sin(2𝑥) = 0 (dla sposobu IV)<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie równania do postaci alternatywy równań</li></ul>\n<p>cos (𝜋<br>6 + 𝑥) = 0 lub √3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0 (dla sposobu V),<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie równania do postaci alternatywy równań</li></ul>\n<p>√3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 lub sin (𝜋<br>6 + 𝑥) = 0 (dla sposobu V).<br>1 pkt - zastosowanie wzoru na cosinus podwojonego kąta i zapisanie równania<br>3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0 (dla sposobu IV)<br>ALBO</p>\n<ul><li>zastosowanie wzoru na sinus podwojonego kąta oraz wzorów skróconego mnożenia</li></ul>\n<p>i przekształcenie równania do postaci<br>(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥-2 sin 𝑥)(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥+ 2 sin 𝑥) = 0 (dla sposobu V),<br>ALBO</p>\n<ul><li>zastosowanie wzoru na sinus podwojonego kąta i obliczenie wyróżnika Δ trójmianu</li></ul>\n<p>kwadratowego 3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥 zmiennej np. cos 𝑥:<br>Δ = (4√3 sin 𝑥)<br>2.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:</li></ol>\n<p>a) niepoprawne zastosowanie wzoru na sumę/różnicę cosinusów/sinusów,<br>b) niepoprawne zastosowanie wzoru na iloczyn cosinusów/sinusów,<br>c) błędne zastosowanie nieparzystości/parzystości funkcji trygonometrycznej,<br>ale zdający otrzyma elementarne równania trygonometryczne postaci sin(𝑎𝑥+ 𝑏) = 𝑐,<br>cos(𝑎𝑥+ 𝑏) = 𝑐, gdzie 𝑎≠0, 𝑎2 ≠1, 𝑏≠0, 𝑐∈[-1, 1], i rozwiązanie doprowadzi<br>konsekwentnie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie,<br>o ile nie nabył prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający błędnie stosuje metodę analizy starożytnych, np. podnosi obie strony</li></ol>\n<p>równania 3 cos(2𝑥) = -√3 sin(2𝑥) do kwadratu i nie sprawdza rachunkiem, czy<br>wszystkie otrzymane liczby są rozwiązaniami, to za całe rozwiązanie może otrzymać co<br>najwyżej 3 punkty; natomiast jeżeli odrzuci co najmniej jedno rozwiązanie „obce” (ale nie<br>odrzuci wszystkich rozwiązań „obcych”), to może otrzymać co najwyżej 4 punkty za całe<br>rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający dzieli obie strony równania przez wyrażenie 𝑎(𝑥) zawierające niewiadomą</li></ol>\n<p>𝑥 i nie zapisze założenia 𝑎(𝑥) ≠0, ani też nie rozważa przypadku 𝑎(𝑥) = 0, to może<br>otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I (poprzez sinus podwojonego kąta i tangens)<br>Stosujemy wzory na sinus podwojonego kąta i przekształcamy równanie<br>3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 do postaci<br>3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0<br>Należy rozważyć dwa przypadki.<br>Przypadek 1. (gdy 𝑥≠𝜋<br>2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ).<br>Dzielimy obie strony równania 3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0 przez cos2 𝑥<br>i otrzymujemy<br>3 + 2√3 sin 𝑥<br>cos 𝑥<br>-3sin2𝑥<br>cos2 𝑥= 0<br>3 + 2√3 tg 𝑥-3 tg2 𝑥= 0<br>-3 tg2 𝑥+ 2√3 tg 𝑥+ 3 = 0<br>Δ = (2√3)<br>2 -4 ⋅(-3) ⋅3 = 48<br>tg 𝑥= √3 ∨ tg 𝑥= -√3<br>3<br>Rozwiązaniami równania tg 𝑥= √3 w zbiorze ℝ są wszystkie liczby postaci 𝜋<br>3 + 𝜋𝑘,<br>gdzie 𝑘∈ℤ. Zatem rozwiązaniami tego równania w przedziale [-𝜋 , 𝜋] są liczby<br>(-2𝜋<br>3 ) i 𝜋<br>3 .<br>Rozwiązaniami równania tg 𝑥= -<br>√3<br>3 w zbiorze ℝ są wszystkie liczby postaci -𝜋<br>6 + 𝜋𝑘,<br>gdzie 𝑘∈ℤ. Zatem rozwiązaniami tego równania w przedziale [-𝜋 , 𝜋] są liczby (-𝜋<br>6)<br>oraz 5𝜋<br>6 .<br>Przypadek 2. (gdy 𝑥= 𝜋<br>2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ).<br>Ponieważ cos (𝜋<br>2 + 𝜋𝑘) = 0 dla każdego 𝑘∈ℤ oraz sin2 (𝜋<br>2 + 𝜋𝑘) = 1 dla każdego<br>𝑘∈ℤ, więc równanie 3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0 przyjmuje postać<br>3 ⋅02 + 2√3 ⋅sin (𝜋<br>2 + 𝜋𝑘) ⋅0 -3 ⋅1 = 0<br>czyli -3 = 0. To oznacza, że wśród liczb postaci 𝜋<br>2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ, nie ma rozwiązań<br>równania 3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0.<br>Ostatecznie rozwiązaniami równania 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale<br>[-𝜋 , 𝜋] są liczby: (-2𝜋<br>3 ), (-𝜋<br>6), 𝜋<br>3 oraz 5𝜋<br>6 .<br>Sposób II (poprzez cosinus podwojonego kąta i tangens)<br>Stosujemy wzory na cosinus podwojonego kąta i przekształcamy równanie<br>3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 do postaci<br>3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0<br>Należy rozważyć dwa przypadki.<br>Przypadek 1. (gdy 2𝑥≠𝜋<br>2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ).<br>Dzielimy obie strony równania 3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0 przez cos(2𝑥) i otrzymujemy<br>3 + √3 ⋅sin(2𝑥)<br>cos(2𝑥) = 0<br>tg(2𝑥) = -√3<br>2𝑥= -𝜋<br>3 + 𝜋𝑘<br>𝑥= -𝜋<br>6 + 𝜋𝑘<br>2<br>gdzie 𝑘∈ℤ. Stąd otrzymujemy cztery rozwiązania w przedziale [-𝜋 , 𝜋]: (-2𝜋<br>3 ), (-𝜋<br>6), 𝜋<br>3<br>oraz 5𝜋<br>6 .<br>Przypadek 2. (gdy 2𝑥= 𝜋<br>2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ).<br>Ponieważ cos (𝜋<br>2 + 𝜋𝑘) = 0 dla każdego 𝑘∈ℤ, więc równanie<br>3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0 przyjmuje postać<br>3 ⋅0 + √3 ⋅sin (𝜋<br>2 + 𝜋𝑘) = 0<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>i stąd sin (𝜋<br>2 + 𝜋𝑘) = 0, gdzie 𝑘∈ℤ. Korzystając z jedynki trygonometrycznej,<br>otrzymujemy<br>sin2 (𝜋<br>2 + 𝜋𝑘) + cos2 (𝜋<br>2 + 𝜋𝑘) = 1<br>02 + 02 = 1<br>czyli 0 = 1. To oznacza, że wśród liczb postaci 𝜋<br>4 + 𝜋𝑘<br>2 , gdzie 𝑘∈ℤ, nie ma rozwiązań<br>równania 3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0.<br>Ostatecznie rozwiązaniami równania 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale<br>[-𝜋 , 𝜋] są liczby: (-2𝜋<br>3 ), (-𝜋<br>6), 𝜋<br>3 oraz 5𝜋<br>6 .<br>Sposób III<br>Przekształcamy równanie 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 równoważnie, stosując wzór<br>na sinus podwojonego kąta i wzory skróconego mnożenia:<br>3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0<br>3 cos2 𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2 𝑥= 0<br>(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥)<br>2 -4 sin2 𝑥= 0<br>(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥-2 sin 𝑥)(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥+ 2 sin 𝑥) = 0<br>√3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 ∨ √3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0<br>sin 𝑥= √3 cos 𝑥 ∨ sin 𝑥= -√3<br>3 cos 𝑥<br>Przypadek 1. (gdy 𝑥≠𝜋<br>2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ).<br>Dzielimy strony równań alternatywy przez cos 𝑥 i otrzymujemy<br>tg 𝑥= √3 ∨ tg 𝑥= -√3<br>3<br>Rozwiązaniami równania tg 𝑥= √3 w zbiorze ℝ są wszystkie liczby postaci 𝜋<br>3 + 𝜋𝑘,<br>gdzie 𝑘∈ℤ. Zatem rozwiązaniami tego równania w przedziale [-𝜋 , 𝜋] są liczby<br>(-2𝜋<br>3 ) i 𝜋<br>3 .<br>Rozwiązaniami równania tg 𝑥= -<br>√3<br>3 w zbiorze ℝ są wszystkie liczby postaci -𝜋<br>6 + 𝜋𝑘,<br>gdzie 𝑘∈ℤ. Zatem rozwiązaniami alternatywy równań tg 𝑥= √3 lub tg 𝑥= -<br>√3<br>3<br>w przedziale [-𝜋 , 𝜋] są liczby (-𝜋</p>\n<ol><li>oraz 5𝜋</li></ol>\n<p>6 .<br>Przypadek 2. (gdy 𝑥= 𝜋<br>2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ).<br>Ponieważ cos (𝜋<br>2 + 𝜋𝑘) = 0, więc równania alternatywy sin 𝑥= √3 cos 𝑥 lub<br>sin 𝑥= -<br>√3<br>3 cos 𝑥 przyjmują postać<br>sin (𝜋<br>2 + 𝜋𝑘) = √3 ⋅0 oraz sin (𝜋<br>2 + 𝜋𝑘) = -√3<br>3 ⋅0<br>i stąd sin (𝜋<br>2 + 𝜋𝑘) = 0, gdzie 𝑘∈ℤ. Korzystając z jedynki trygonometrycznej,<br>otrzymujemy<br>sin2 (𝜋<br>2 + 𝜋𝑘) + cos2 (𝜋<br>2 + 𝜋𝑘) = 1<br>02 + 02 = 1<br>czyli 0 = 1. To oznacza, że wśród liczb postaci 𝜋<br>2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ, nie ma rozwiązań<br>równania sin 𝑥= √3 cos 𝑥 i nie ma rozwiązań równania sin 𝑥= -<br>√3<br>3 cos 𝑥.<br>Ostatecznie rozwiązaniami równania 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale<br>[-𝜋 , 𝜋] są liczby: (-2𝜋<br>3 ), (-𝜋<br>6), 𝜋<br>3 oraz 5𝜋<br>6 .<br>Sposób IV (poprzez cosinus podwojonego kąta i sinus sumy)<br>Przekształcamy równanie 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 równoważnie, stosując wzór<br>na cosinus podwojonego kąta i sinus sumy kątów:<br>3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0<br>3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0 /: 2√3<br>√3<br>2 cos(2𝑥) + 1<br>2 sin(2𝑥) = 0<br>sin (𝜋<br>3 + 2𝑥) = 0<br>2𝑥+ 𝜋<br>3 = 𝜋𝑘<br>𝑥= -𝜋<br>6 + 𝜋𝑘<br>2<br>gdzie 𝑘∈ℤ.<br>Rozwiązaniami równania 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale [-𝜋 , 𝜋] są<br>liczby: (-2𝜋<br>3 ), (-𝜋<br>6), 𝜋<br>3 oraz 5𝜋<br>6 .<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Sposób V<br>Przekształcamy równanie 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 równoważnie, stosując wzór<br>na sinus podwojonego kąta i wzory skróconego mnożenia:<br>3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0<br>3 cos2 𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2 𝑥= 0<br>(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥)<br>2 -4 sin2 𝑥= 0<br>(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥-2 sin 𝑥)(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥+ 2 sin 𝑥) = 0<br>√3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 ∨ √3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0<br>Rozwiązujemy równanie √3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 w zbiorze ℝ:<br>√3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 /: 2<br>√3<br>2 cos 𝑥-1<br>2 sin 𝑥= 0<br>cos (𝜋<br>6 + 𝑥) = 0<br>𝑥+ 𝜋<br>6 = 𝜋<br>2 + 𝜋𝑘<br>𝑥= 𝜋<br>3 + 𝜋𝑘<br>gdzie 𝑘∈ℤ.<br>Stąd rozwiązaniami równania √3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 w przedziale [-𝜋 , 𝜋] są liczby:<br>(-2𝜋<br>3 ) oraz 𝜋<br>3 .<br>Rozwiązujemy równanie √3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0 w zbiorze ℝ:<br>√3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0 /: 2√3<br>1<br>2 cos 𝑥+ √3<br>2 sin 𝑥= 0<br>sin (𝜋<br>6 + 𝑥) = 0<br>𝑥+ 𝜋<br>6 = 𝜋𝑘<br>𝑥= -𝜋<br>6 + 𝜋𝑘<br>gdzie 𝑘∈ℤ.<br>Stąd rozwiązaniami równania √3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0 w przedziale [-𝜋 , 𝜋] są liczby:<br>(-𝜋</p>\n<ol><li>oraz 5𝜋</li></ol>\n<p>6 .<br>Ostatecznie rozwiązaniami równania 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale<br>[-𝜋 , 𝜋] są liczby: (-2𝜋<br>3 ), (-𝜋<br>6), 𝜋<br>3 oraz 5𝜋<br>6 .<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[]}