{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"14","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14. (0-6)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem\n𝑓(𝑥) = (2 -𝑚)𝑥2 -2(2𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚+ 8\ndla każdej liczby rzeczywistej 𝑥, gdzie 𝑚 jest liczbą rzeczywistą różną od 2.\nWyznacz wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których funkcja 𝑓 ma dokładnie dwa miejsca\nzerowe 𝑥1 oraz 𝑥2 tego samego znaku, które spełniają warunek\n(𝑥1 -𝑥2)2 ≤180\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n14.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 14. (0-6)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n3.1R) stosuje wzory Viète’a;\n3.2R) rozwiązuje równania i nierówności\nliniowe i kwadratowe z parametrem.\nZasady oceniania\nRozwiązanie zadania składa się z czterech etapów.\nPierwszy etap polega na rozwiązaniu nierówności ∆ > 0. Za poprawne wykonanie tego\netapu zdający otrzymuje 1 punkt.\n1 pkt - poprawne rozwiązanie nierówności ∆ > 0: 𝑚∈(-∞, -3) ∪(1, +∞).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga.\nJeżeli zdający rozwiązuje warunek ∆ ≥0, to za tę część rozwiązania otrzymuje 0 punktów.\nDrugi etap polega na wyznaczeniu tych wartości parametru 𝑚, dla których miejsca zerowe\nfunkcji 𝑓 są tego samego znaku. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje\n1 punkt.\n1 pkt - zapisanie i poprawne rozwiązanie nierówności 𝑚 + 8\n2 - 𝑚> 0: 𝑚∈(-8, 2).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nTrzeci etap polega na wyznaczeniu tych wartości parametru 𝑚, dla których jest spełniony\nwarunek (𝑥1 -𝑥2)2 ≤180. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje\n3 punkty.\nPodział punktów za trzeci etap rozwiązania:\n3 pkt - rozwiązanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 równoważnej warunkowi\n(𝑥1 -𝑥2)2 ≤180: 𝑚∈(-∞, 3\n2] ∪[13\n4 , +∞).\n2 pkt - zapisanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 równoważnej warunkowi\n(𝑥1 -𝑥2)2 ≤180, np.\n[2(2𝑚 + 1)\n2 - 𝑚\n]\n2\n-4 ⋅𝑚 + 8\n2 - 𝑚≤180\n1 pkt - przekształcenie nierówności (𝑥1 -𝑥2)2 ≤180 do postaci pozwalającej na\nbezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, np. (𝑥1 + 𝑥2)2 -4𝑥1𝑥2 ≤180\nALBO\n- przekształcenie nierówności (𝑥1 -𝑥2)2 ≤180 do postaci Δ\n𝑎2 ≤180 (lub\n𝑏2- 4𝑎𝑐\n𝑎2\n≤180).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nCzwarty etap polega na wyznaczeniu wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają\njednocześnie warunki: 𝑚≠2 oraz 𝑚∈(-∞, -3) ∪(1, +∞) oraz 𝑚∈(-8, 2) oraz\n𝑚∈(-∞, 3\n2] ∪[13\n4 , +∞):\n𝑚∈(-8, -3) ∪(1, 3\n2].\nZa poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\n1 pkt - poprawne wyznaczenie wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają\njednocześnie warunki 𝑚≠2 oraz 𝑚∈(-∞, -3) ∪(1, +∞) oraz 𝑚∈(-8, 2)\noraz 𝑚∈(-∞, 3\n2] ∪[13\n4 , +∞): 𝑚∈(-8, -3) ∪(1, 3\n2].\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający w którymś z etapów I-III popełni błąd, który nie jest błędem rachunkowym,\nto za IV etap otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający w etapach I-III nie popełni błędów innych niż rachunkowe i otrzyma zbiory\nrozwiązań, które nie są rozłączne i żaden z nich nie jest zbiorem liczb rzeczywistych,\na następnie poprawnie wyznaczy część wspólną zbiorów rozwiązań z etapów I-III\ni warunku 𝑚≠2, to za IV etap otrzymuje 1 punkt; natomiast jeżeli otrzyma zbiory\nrozwiązań, które są rozłączne lub co najmniej jeden z nich jest zbiorem liczb\nrzeczywistych, to za IV etap otrzymuje 0 punktów.\n3. Jeżeli zdający w III etapie rozwiązania popełni błąd - przyjmie, że\n𝑥1 + 𝑥2 = ± 𝑚 + 8\n2 - 𝑚 lub 𝑥1 ⋅𝑥2 = ± 2(2𝑚 + 1)\n2 - 𝑚\n, lub 𝑥1 + 𝑥2 = ± 𝑏\n2𝑎 , to za III etap może\notrzymać co najwyżej 2 punkty (1 punkt za przekształcenie nierówności\n(𝑥1 -𝑥2)2 ≤180 do postaci pozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów\nViète’a oraz 1 punkt za konsekwentne rozwiązanie nierówności do końca), a za IV etap\notrzymuje 0 punktów.\n4. Jeżeli zdający wprowadza dodatkowe założenie, które nie wynika z warunków zadania\n(np. 𝑥1 + 𝑥2 > 0), to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 5 punktów (co\nnajwyżej 1 punkt za I etap, co najwyżej 1 punkt za II etap i co najwyżej 3 punkty za III\netap).\n5. Jeżeli zdający podczas przekształcania nierówności (𝑥1 -𝑥2)2 ≤180 do postaci\npozwalającej na zastosowanie wzorów Viète’a popełni błąd, który nie jest błędem\nrachunkowym, ale otrzyma nierówność postaci (𝑥1 + 𝑥2)2 + 𝑘⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ≤180, gdzie\n𝑘≠-4, to za III etap może otrzymać co najwyżej 2 punkty (1 punkt za poprawne\nzastosowanie wzorów Viète’a oraz 1 punkt za konsekwentne rozwiązanie nierówności do\nkońca), a za IV etap otrzymuje 0 punktów.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nFunkcja 𝑓 ma dokładnie dwa miejsca zerowe tylko wówczas, gdy 2 -𝑚≠0 i wyróżnik Δ\ntrójmianu (2 -𝑚)𝑥2 -2(2𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚+ 8 jest dodatni. Rozwiązujemy warunek Δ > 0:\n[-2(2𝑚+ 1)]2 -4 ⋅(2 -𝑚)(𝑚+ 8) > 0\n16𝑚2 + 16𝑚+ 4 + 4𝑚2 + 24𝑚-64 > 0\n20𝑚2 + 40𝑚-60 > 0\n20(𝑚-1)(𝑚+ 3) > 0\n𝑚∈(-∞, -3) ∪(1, +∞)\nMiejsca zerowe funkcji 𝑓 mają ten sam znak tylko wtedy, gdy 𝑥1 ⋅𝑥2 > 0. Rozwiązujemy tę\nnierówność, korzystając ze wzorów Viète’a:\n𝑚+ 8\n2 -𝑚> 0\n(𝑚+ 8)(2 -𝑚) > 0 ∧ 𝑚≠2\n𝑚∈(-8, 2)\nPrzekształcamy warunek (𝑥1 -𝑥2)2 ≤180 do postaci pozwalającej na bezpośrednie\nzastosowanie wzorów Viète’a i rozwiązujemy uzyskaną nierówność z niewiadomą 𝑚:\n(𝑥1 -𝑥2)2 ≤180\n(𝑥1 + 𝑥2)2 -4 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ≤180\n[-2(2𝑚+ 1)\n2 -𝑚\n]\n2\n-4 ⋅𝑚+ 8\n2 -𝑚≤180\n16𝑚2 + 16𝑚+ 4\n(𝑚-2)2\n+ 4 ⋅(𝑚+ 8)(𝑚-2)\n(𝑚-2)2\n-180(𝑚-2)2\n(𝑚-2)2\n≤0\n16𝑚2 + 16𝑚+ 4 + 4𝑚2 + 24𝑚-64 -180𝑚2 + 720𝑚-720\n(𝑚-2)2\n≤0\n-160𝑚2 + 760𝑚-780\n(𝑚-2)2\n≤0\n-160𝑚2 + 760𝑚-780 ≤0 ∧ 𝑚≠2\n8𝑚2 -38𝑚+ 39 ≥0 ∧ 𝑚≠2\nΔ𝑚= (-38)2 -4 ⋅8 ⋅39 = 196\n𝑚= 38 -14\n16\n= 3\n2 ∨ 𝑚= 38 + 14\n16\n= 13\n4\n8 (𝑚-3\n2) (𝑚-13\n4 ) ≥0 ∧ 𝑚≠2\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑚∈(-∞, 3\n2] ∪[13\n4 , +∞)\nWyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚, które jednocześnie spełniają warunki:\n𝑚≠2\n𝑚∈(-∞, -3) ∪(1, +∞)\n𝑚∈(-8, 2)\n𝑚∈(-∞, 3\n2] ∪[13\n4 , +∞):\n𝑚∈(-8, -3) ∪(1, 3\n2]\nFunkcja 𝑓 ma dokładnie dwa miejsca zerowe 𝑥1 oraz 𝑥2 tego samego znaku, które\nspełniają warunek (𝑥1 -𝑥2)2 ≤180, tylko wtedy, gdy 𝑚∈(-8, -3) ∪(1, 3\n2].","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 14. (0-6)
Funkcja 𝑓 jest określona wzorem
𝑓(𝑥) = (2 -𝑚)𝑥2 -2(2𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚+ 8
dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥, gdzie 𝑚 jest liczbą rzeczywistą różną od 2.
Wyznacz wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których funkcja 𝑓 ma dokładnie dwa miejsca
zerowe 𝑥1 oraz 𝑥2 tego samego znaku, które spełniają warunek
(𝑥1 -𝑥2)2 ≤180

\n

EMAP-R0_100

\n

EMAP-R0_100
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
14.
Maks. liczba pkt
6
Uzyskana liczba pkt

\n

EMAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 14. (0-6)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
III. Modelowanie matematyczne.
Zdający:
3.1R) stosuje wzory Viète’a;
3.2R) rozwiązuje równania i nierówności
liniowe i kwadratowe z parametrem.
Zasady oceniania
Rozwiązanie zadania składa się z czterech etapów.
Pierwszy etap polega na rozwiązaniu nierówności ∆ > 0. Za poprawne wykonanie tego
etapu zdający otrzymuje 1 punkt.
1 pkt - poprawne rozwiązanie nierówności ∆ > 0: 𝑚∈(-∞, -3) ∪(1, +∞).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga.
Jeżeli zdający rozwiązuje warunek ∆ ≥0, to za tę część rozwiązania otrzymuje 0 punktów.
Drugi etap polega na wyznaczeniu tych wartości parametru 𝑚, dla których miejsca zerowe
funkcji 𝑓 są tego samego znaku. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje
1 punkt.
1 pkt - zapisanie i poprawne rozwiązanie nierówności 𝑚 + 8
2 - 𝑚> 0: 𝑚∈(-8, 2).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Trzeci etap polega na wyznaczeniu tych wartości parametru 𝑚, dla których jest spełniony
warunek (𝑥1 -𝑥2)2 ≤180. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje
3 punkty.
Podział punktów za trzeci etap rozwiązania:
3 pkt - rozwiązanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 równoważnej warunkowi
(𝑥1 -𝑥2)2 ≤180: 𝑚∈(-∞, 3
2] ∪[13
4 , +∞).
2 pkt - zapisanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 równoważnej warunkowi
(𝑥1 -𝑥2)2 ≤180, np.
[2(2𝑚 + 1)
2 - 𝑚
]
2
-4 ⋅𝑚 + 8
2 - 𝑚≤180
1 pkt - przekształcenie nierówności (𝑥1 -𝑥2)2 ≤180 do postaci pozwalającej na
bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, np. (𝑥1 + 𝑥2)2 -4𝑥1𝑥2 ≤180
ALBO

\n\n

𝑎2 ≤180 (lub
𝑏2- 4𝑎𝑐
𝑎2
≤180).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Czwarty etap polega na wyznaczeniu wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają
jednocześnie warunki: 𝑚≠2 oraz 𝑚∈(-∞, -3) ∪(1, +∞) oraz 𝑚∈(-8, 2) oraz
𝑚∈(-∞, 3
2] ∪[13
4 , +∞):
𝑚∈(-8, -3) ∪(1, 3
2].
Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.
1 pkt - poprawne wyznaczenie wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają
jednocześnie warunki 𝑚≠2 oraz 𝑚∈(-∞, -3) ∪(1, +∞) oraz 𝑚∈(-8, 2)
oraz 𝑚∈(-∞, 3
2] ∪[13
4 , +∞): 𝑚∈(-8, -3) ∪(1, 3
2].
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający w którymś z etapów I-III popełni błąd, który nie jest błędem rachunkowym,
\n

to za IV etap otrzymuje 0 punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający w etapach I-III nie popełni błędów innych niż rachunkowe i otrzyma zbiory
\n

rozwiązań, które nie są rozłączne i żaden z nich nie jest zbiorem liczb rzeczywistych,
a następnie poprawnie wyznaczy część wspólną zbiorów rozwiązań z etapów I-III
i warunku 𝑚≠2, to za IV etap otrzymuje 1 punkt; natomiast jeżeli otrzyma zbiory
rozwiązań, które są rozłączne lub co najmniej jeden z nich jest zbiorem liczb
rzeczywistych, to za IV etap otrzymuje 0 punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający w III etapie rozwiązania popełni błąd - przyjmie, że
\n

𝑥1 + 𝑥2 = ± 𝑚 + 8
2 - 𝑚 lub 𝑥1 ⋅𝑥2 = ± 2(2𝑚 + 1)
2 - 𝑚
, lub 𝑥1 + 𝑥2 = ± 𝑏
2𝑎 , to za III etap może
otrzymać co najwyżej 2 punkty (1 punkt za przekształcenie nierówności
(𝑥1 -𝑥2)2 ≤180 do postaci pozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów
Viète’a oraz 1 punkt za konsekwentne rozwiązanie nierówności do końca), a za IV etap
otrzymuje 0 punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający wprowadza dodatkowe założenie, które nie wynika z warunków zadania
\n

(np. 𝑥1 + 𝑥2 > 0), to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 5 punktów (co
najwyżej 1 punkt za I etap, co najwyżej 1 punkt za II etap i co najwyżej 3 punkty za III
etap).

\n
  1. Jeżeli zdający podczas przekształcania nierówności (𝑥1 -𝑥2)2 ≤180 do postaci
\n

pozwalającej na zastosowanie wzorów Viète’a popełni błąd, który nie jest błędem
rachunkowym, ale otrzyma nierówność postaci (𝑥1 + 𝑥2)2 + 𝑘⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ≤180, gdzie
𝑘≠-4, to za III etap może otrzymać co najwyżej 2 punkty (1 punkt za poprawne
zastosowanie wzorów Viète’a oraz 1 punkt za konsekwentne rozwiązanie nierówności do
końca), a za IV etap otrzymuje 0 punktów.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Funkcja 𝑓 ma dokładnie dwa miejsca zerowe tylko wówczas, gdy 2 -𝑚≠0 i wyróżnik Δ
trójmianu (2 -𝑚)𝑥2 -2(2𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚+ 8 jest dodatni. Rozwiązujemy warunek Δ > 0:
[-2(2𝑚+ 1)]2 -4 ⋅(2 -𝑚)(𝑚+ 8) > 0
16𝑚2 + 16𝑚+ 4 + 4𝑚2 + 24𝑚-64 > 0
20𝑚2 + 40𝑚-60 > 0
20(𝑚-1)(𝑚+ 3) > 0
𝑚∈(-∞, -3) ∪(1, +∞)
Miejsca zerowe funkcji 𝑓 mają ten sam znak tylko wtedy, gdy 𝑥1 ⋅𝑥2 > 0. Rozwiązujemy tę
nierówność, korzystając ze wzorów Viète’a:
𝑚+ 8
2 -𝑚> 0
(𝑚+ 8)(2 -𝑚) > 0 ∧ 𝑚≠2
𝑚∈(-8, 2)
Przekształcamy warunek (𝑥1 -𝑥2)2 ≤180 do postaci pozwalającej na bezpośrednie
zastosowanie wzorów Viète’a i rozwiązujemy uzyskaną nierówność z niewiadomą 𝑚:
(𝑥1 -𝑥2)2 ≤180
(𝑥1 + 𝑥2)2 -4 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ≤180
[-2(2𝑚+ 1)
2 -𝑚
]
2
-4 ⋅𝑚+ 8
2 -𝑚≤180
16𝑚2 + 16𝑚+ 4
(𝑚-2)2

\n\n

(𝑚-2)2
-180(𝑚-2)2
(𝑚-2)2
≤0
16𝑚2 + 16𝑚+ 4 + 4𝑚2 + 24𝑚-64 -180𝑚2 + 720𝑚-720
(𝑚-2)2
≤0
-160𝑚2 + 760𝑚-780
(𝑚-2)2
≤0
-160𝑚2 + 760𝑚-780 ≤0 ∧ 𝑚≠2
8𝑚2 -38𝑚+ 39 ≥0 ∧ 𝑚≠2
Δ𝑚= (-38)2 -4 ⋅8 ⋅39 = 196
𝑚= 38 -14
16
= 3
2 ∨ 𝑚= 38 + 14
16
= 13
4
8 (𝑚-3

\n
  1. (𝑚-13
\n

4 ) ≥0 ∧ 𝑚≠2
Zasady oceniania rozwiązań zadań
𝑚∈(-∞, 3
2] ∪[13
4 , +∞)
Wyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚, które jednocześnie spełniają warunki:
𝑚≠2
𝑚∈(-∞, -3) ∪(1, +∞)
𝑚∈(-8, 2)
𝑚∈(-∞, 3
2] ∪[13
4 , +∞):
𝑚∈(-8, -3) ∪(1, 3
2]
Funkcja 𝑓 ma dokładnie dwa miejsca zerowe 𝑥1 oraz 𝑥2 tego samego znaku, które
spełniają warunek (𝑥1 -𝑥2)2 ≤180, tylko wtedy, gdy 𝑚∈(-8, -3) ∪(1, 3
2].

","solutions":[]}