Zadanie 6. (0-3)
Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej 𝑎 i dla każdej dodatniej liczby
rzeczywistej 𝑏 takich, że 𝑏≠1
2 𝑎, prawdziwa jest nierówność
(𝑎+ 2𝑏)3 > 8𝑎2𝑏+ 16𝑎𝑏2
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
5.
6.
Maks. liczba pkt
2
3
Uzyskana liczba pkt
EMAP-R0_100
","answer_text_html":"Zadanie 6. (0-3)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
V. Rozumowanie i argumentacja.
Zdający:
2.1R) używa wzorów skróconego mnożenia
na (𝑎± 𝑏)3 oraz 𝑎3 ± 𝑏3.
Zasady oceniania
3 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania (tj. spełnienie
kryterium za 2 punkty oraz zapisanie, że 𝑎+ 2𝑏> 0 oraz uzasadnienie, że dla liczb
spełniających warunek 𝑏≠1
2 𝑎 zachodzi (𝑎-2𝑏)2 > 0).
2 pkt - przekształcenie nierówności do postaci (𝑎-2𝑏)2(𝑎+ 2𝑏) > 0
ALBO
ALBO
\n1 pkt - zastosowanie wzoru na sześcian sumy i przekształcenie nierówności do postaci
𝑎2(𝑎-2𝑏) -4𝑏2(𝑎-2𝑏) > 0
ALBO
ALBO
\nALBO
\nobliczenie pochodnej tej funkcji i miejsca zerowego tej pochodnej:
𝑓′(𝑎) = 3𝑎2 -4𝑏𝑎-4𝑏2 oraz 𝑎= 2𝑏.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga.
Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości 𝑎 i 𝑏, to
otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Przekształcamy równoważnie nierówność, korzystając ze wzoru na sześcian sumy:
(𝑎+ 2𝑏)3 > 8𝑎2𝑏+ 16𝑎𝑏2
𝑎3 + 6𝑎2𝑏+ 12𝑎𝑏2 + 8𝑏3 -8𝑎2𝑏-16𝑎𝑏2 > 0
𝑎3 -2𝑎2𝑏-4𝑎𝑏2 + 8𝑏3 > 0
𝑎2(𝑎-2𝑏) -4𝑏2(𝑎-2𝑏) > 0
(𝑎-2𝑏)(𝑎2 -4𝑏2) > 0
(𝑎-2𝑏)2(𝑎+ 2𝑏) > 0
Z założenia 𝑎> 0 i 𝑏> 0, więc 𝑎+ 2𝑏> 0.
Ponieważ 𝑏≠1
2 𝑎, więc 𝑎-2𝑏≠0 i wtedy (𝑎-2𝑏)2 > 0 jako kwadrat liczby
rzeczywistej różnej od zera.
Zatem (𝑎-2𝑏)2(𝑎+ 2𝑏) jest dodatnie jako iloczyn liczb dodatnich, więc nierówność
(𝑎-2𝑏)2(𝑎+ 2𝑏) > 0 jest prawdziwa dla każdej liczby dodatniej 𝑎 i każdej liczby
dodatniej 𝑏 takich, że 𝑏≠1
2 𝑎. To oznacza, że również nierówność
(𝑎+ 2𝑏)3 > 8𝑎2𝑏+ 16𝑎𝑏2 jest prawdziwa dla każdej dla każdej liczby dodatniej 𝑎
i każdej liczby dodatniej 𝑏 takich, że 𝑏≠1
2 𝑎. To należało wykazać.
Sposób II
Przekształcamy równoważnie nierówność, korzystając ze wzorów na kwadrat sumy i różnicy:
(𝑎+ 2𝑏)3 > 8𝑎2𝑏+ 16𝑎𝑏2
(𝑎+ 2𝑏)3 > 8𝑎𝑏(𝑎+ 2𝑏)
(𝑎+ 2𝑏)3 -8𝑎𝑏(𝑎+ 2𝑏) > 0
(𝑎+ 2𝑏)[(𝑎+ 2𝑏)2 -8𝑎𝑏] > 0
(𝑎+ 2𝑏)(𝑎2 -4𝑎𝑏+ 4𝑏2) > 0
(𝑎-2𝑏)2(𝑎+ 2𝑏) > 0
Z założenia 𝑎> 0 i 𝑏> 0, więc 𝑎+ 2𝑏> 0.
Ponieważ 𝑏≠1
2 𝑎, więc 𝑎-2𝑏≠0 i wtedy (𝑎-2𝑏)2 > 0 jako kwadrat liczby
rzeczywistej różnej od zera.
Zatem (𝑎-2𝑏)2(𝑎+ 2𝑏) jest dodatnie jako iloczyn liczb dodatnich, więc nierówność
(𝑎-2𝑏)2(𝑎+ 2𝑏) > 0 jest prawdziwa dla każdej liczby dodatniej 𝑎 i każdej liczby
dodatniej 𝑏 takich, że 𝑏≠1
2 𝑎. To oznacza, że również nierówność
(𝑎+ 2𝑏)3 > 8𝑎2𝑏+ 16𝑎𝑏2 jest prawdziwa dla każdej dla każdej liczby dodatniej 𝑎
i każdej liczby dodatniej 𝑏 takich, że 𝑏≠1
2 𝑎. To należało wykazać.
Sposób III
Niech 𝑓 będzie funkcją określoną wzorem 𝑓(𝑎) = (𝑎+ 2𝑏)3 -8𝑎2𝑏-16𝑎𝑏2 dla
każdego 𝑎∈(0, +∞).
Obliczamy pochodną funkcji 𝑓 oraz jej miejsca zerowe:
𝑓′(𝑎) = 3(𝑎+ 2𝑏)2 -16𝑏𝑎-16𝑏2
3𝑎2 + 12𝑎𝑏+ 12𝑏2 -16𝑏𝑎-16𝑏2 = 0 ∧ 𝑎> 0
3𝑎2 -4𝑏𝑎-4𝑏2 = 0 ∧ 𝑎> 0
Zasady oceniania rozwiązań zadań
(𝑎= -2
3 𝑏 ∨ 𝑎= 2𝑏) ∧ 𝑎> 0
Gdy 𝑏> 0, to 𝑓′(𝑎) > 0 dla 𝑎∈(2𝑏, +∞) oraz 𝑓′(𝑎) < 0 dla 𝑎∈(0, 2𝑏). Zatem przy
𝑏 dodatnim funkcja 𝑓 jest malejąca w przedziale (0, 2𝑏] oraz rosnąca w przedziale
[2𝑏, +∞), czyli funkcja 𝑓 osiąga wartość najmniejszą dla argumentu dodatniego 𝑎= 2𝑏.
Ta najmniejsza wartość jest równa 𝑓(2𝑏) = (2𝑏+ 2𝑏)3 -8 ⋅(2𝑏)2 ⋅𝑏-16 ⋅2𝑏⋅𝑏2 = 0.
Zatem dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej 𝑎 i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej 𝑏
takich, że 𝑎≠2𝑏, prawdziwa jest nierówność
(𝑎+ 2𝑏)3 -8𝑎2𝑏-16𝑎𝑏2 > 0
To należało wykazać.