{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"9","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-4)\nRozwiąż nierówność\n|𝑥-2| -2 ⋅|𝑥+ 3| < -2\n\nEMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n9.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n3.9R) rozwiązuje równania i nierówności\nz wartością bezwzględną [ ].\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥∈(-∞, -10) ∪(-2\n3 , +∞).\n3 pkt - zapisanie trzech przedziałów: (-∞, -3) i [-3, 2) i [2, +∞) (z dokładnością do\ndomknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej\nw każdym z tych przedziałów oraz rozwiązanie nierówności w dwóch spośród tych\nprzedziałów - tj. wyznaczenie części wspólnych zbiorów rozwiązań zapisanych\nnierówności z rozpatrywanymi przedziałami,\nALBO\n- zapisanie czterech przypadków: 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 ≥0,\n𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 ≥0 (z dokładnością do domknięcia)\noraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym\nz tych przypadków oraz rozwiązanie nierówności w dwóch spośród trzech\nnastępujących przypadków: 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 < 0,\n𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 ≥0 - tj. wyznaczenie części wspólnych zbiorów rozwiązań\nzapisanych nierówności,\nALBO\n- zapisanie, że przypadek 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 ≥0 jest sprzeczny oraz zapisanie\ntrzech przypadków: 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 < 0,\n𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 ≥0 (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności\nbez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków oraz\nrozwiązanie nierówności w dwóch spośród tych trzech przypadków - tj. wyznaczenie\nczęści wspólnych zbiorów rozwiązań zapisanych nierówności,\nALBO\n- zapisanie nierówności w postaci równoważnej koniunkcji dwóch nierówności:\n𝑥-2 < -2 + 2 ⋅|𝑥+ 3| i 𝑥-2 > -(-2 + 2 ⋅|𝑥+ 3|), a następnie w postaci\nrównoważnej koniunkcji alternatyw nierówności bez użycia symbolu wartości\nbezwzględnej:\n(𝑥+ 3 > 1\n2 𝑥 lub 𝑥+ 3 < -1\n2 𝑥) i (𝑥+ 3 > 4-𝑥\n2 lub 𝑥+ 3 < -4-𝑥\n2 ),\nALBO\n- odczytanie z wykresów funkcji 𝑓 oraz 𝑔 pierwszych współrzędnych punktów ich\nprzecięcia: 𝑥= -2\n3 oraz 𝑥= -10 i sprawdzenie rachunkiem poprawności\nodczytanych współrzędnych.\n2 pkt - zapisanie trzech przedziałów: (-∞, -3) i [-3, 2) i [2, +∞) (z dokładnością do\ndomknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej\nw każdym z tych przedziałów\nALBO\n- zapisanie czterech przypadków: 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 ≥0,\n𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 ≥0 (z dokładnością do domknięcia)\noraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym\nz tych przypadków,\nALBO\n- zapisanie trzech przypadków: 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 < 0,\n𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 ≥0 (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności\nbez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków oraz\nzapisanie, że przypadek 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 ≥0 jest sprzeczny,\nALBO\n- zapisanie nierówności w postaci równoważnej koniunkcji dwóch nierówności:\n𝑥-2 < -2 + 2 ⋅|𝑥+ 3| i 𝑥-2 > -(-2 + 2 ⋅|𝑥+ 3|),\nALBO\n- narysowanie wykresów funkcji 𝑓(𝑥) = |𝑥-2| oraz 𝑔(𝑥) = 2 ⋅|𝑥+ 3| -2.\n1 pkt - zapisanie trzech przedziałów: (-∞, -3) i [-3, 2) i [2, +∞) (z dokładnością do\ndomknięcia) oraz zapisanie danej nierówności w jednym z tych przedziałów bez\nużycia symbolu wartości bezwzględnej\nALBO\n- zapisanie jednego z przedziałów: (-∞, -3), [-3, 2), [2, +∞) (z dokładnością do\ndomknięcia) oraz rozwiązanie danej nierówności w tym przedziale - tj. wyznaczenie\nczęści wspólnej zbioru rozwiązań zapisanej nierówności z rozpatrywanym\nprzedziałem,\nALBO\n- zapisanie czterech przypadków: 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 ≥0,\n𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 ≥0 (z dokładnością do domknięcia)\noraz zapisanie danej nierówności w jednym z tych przypadków bez użycia wartości\nbezwzględnej,\nALBO\n- zapisanie jednego z trzech przypadków: 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 < 0,\n𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 ≥0 (z dokładnością do domknięcia)\noraz rozwiązanie danej nierówności w tym przypadku - tj. wyznaczenie części\nwspólnej zbiorów rozwiązań zapisanych nierówności.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający, zapisując nierówność bez użycia wartości bezwzględnej, popełni błąd,\nktóry nie jest rachunkowy, tylko w jednym z rozpatrywanych przypadków/przedziałów\ni rozwiąże zadanie do końca, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie,\no ile nie nabył prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania.\n2. Jeżeli zdający nie rozpatruje przedziałów, które wyczerpują zbiór wszystkich liczb\nrzeczywistych i w których nierówność ma różne postaci (lub rozpatruje przypadki\nwyznaczone jedynie przez nierówności ostre, które nie wyczerpują zbioru ℝ), to może\notrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający przy rozwiązaniu graficznym poda zbiór rozwiązań\n(-∞, -10) ∪(-2\n3 , +∞), ale nie sprawdzi rachunkiem pierwszych współrzędnych\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npunktów przecięcia wykresów funkcji 𝑓 i 𝑔, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za\ncałe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nWyznaczamy przedziały, które wyczerpują zbiór wszystkich liczb rzeczywistych i w których\nnierówność ma różne postaci: (-∞, -3) i [-3, 2) i [2, +∞).\nRozważamy trzy przypadki.\nPrzypadek 1. (gdy 𝑥∈(-∞, -3))\nW tym przypadku nierówność ma postać -𝑥+ 2 + 2(𝑥+ 3) < -2, czyli 𝑥< -10.\nStąd otrzymujemy 𝑥∈(-∞, -10).\nPrzypadek 2. (gdy 𝑥∈[-3, 2))\nW tym przypadku nierówność ma postać -𝑥+ 2 -2(𝑥+ 3) < -2, czyli 𝑥> -2\n3 .\nStąd otrzymujemy 𝑥∈(-2\n3 , 2).\nPrzypadek 3. (gdy 𝑥∈[2, +∞))\nW tym przypadku nierówność ma postać 𝑥-2 -2(𝑥+ 3) < -2, czyli 𝑥> -6.\nStąd otrzymujemy 𝑥∈[2, +∞).\nOstatecznie rozwiązaniami nierówności |𝑥-2| -2 ⋅|𝑥+ 3| < -2 są wszystkie liczby ze\nzbioru (-∞, -10) ∪(-2\n3 , +∞).\nSposób II (poprzez koniunkcję nierówności)\nDla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 prawdziwe są\nrównoważności:\n(1) |𝑥| < 𝑎 wtedy i tylko wtedy, gdy 𝑥< 𝑎 i 𝑥> -𝑎\noraz\n(2) |𝑥| > 𝑎 wtedy i tylko wtedy, gdy 𝑥> 𝑎 lub 𝑥< -𝑎.\nPrzekształcamy nierówność |𝑥-2| -2 ⋅|𝑥+ 3| < -2 , korzystając z równoważności (1):\n𝑥-2 < -2 + 2 ⋅|𝑥+ 3| i 𝑥-2 > -(-2 + 2 ⋅|𝑥+ 3|)\n|𝑥+ 3| > 1\n2 𝑥 i |𝑥+ 3| > 4 -𝑥\n2\nRozwiązujemy każdą z otrzymanych nierówności, korzystając z równoważności (2):\n(𝑥+ 3 > 1\n2 𝑥 lub 𝑥+ 3 < -1\n2 𝑥) i (𝑥+ 3 > 4 -𝑥\n2\nlub 𝑥+ 3 < -4 -𝑥\n2\n)\n(𝑥> -6 lub 𝑥< -2) i (𝑥> -2\n3 lub 𝑥< -10)\n𝑥∈ℝ i (𝑥> -2\n3 lub 𝑥< -10)\n𝑥> -2\n3 lub 𝑥< -10\nRozwiązaniami nierówności |𝑥-2| -2 ⋅|𝑥+ 3| < -2 są wszystkie liczby ze zbioru\n(-∞, -10) ∪(-2\n3 , +∞).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 9. (0-4)
Rozwiąż nierówność
|𝑥-2| -2 ⋅|𝑥+ 3| < -2

\n

EMAP-R0_100
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
9.
Maks. liczba pkt
4
Uzyskana liczba pkt

\n

EMAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 9. (0-4)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
II. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
Zdający:
3.9R) rozwiązuje równania i nierówności
z wartością bezwzględną [ ].
Zasady oceniania
4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥∈(-∞, -10) ∪(-2
3 , +∞).
3 pkt - zapisanie trzech przedziałów: (-∞, -3) i [-3, 2) i [2, +∞) (z dokładnością do
domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej
w każdym z tych przedziałów oraz rozwiązanie nierówności w dwóch spośród tych
przedziałów - tj. wyznaczenie części wspólnych zbiorów rozwiązań zapisanych
nierówności z rozpatrywanymi przedziałami,
ALBO

\n\n

𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 ≥0 (z dokładnością do domknięcia)
oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym
z tych przypadków oraz rozwiązanie nierówności w dwóch spośród trzech
następujących przypadków: 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 < 0,
𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 ≥0 - tj. wyznaczenie części wspólnych zbiorów rozwiązań
zapisanych nierówności,
ALBO

\n\n

trzech przypadków: 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 < 0,
𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 ≥0 (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności
bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków oraz
rozwiązanie nierówności w dwóch spośród tych trzech przypadków - tj. wyznaczenie
części wspólnych zbiorów rozwiązań zapisanych nierówności,
ALBO

\n\n

𝑥-2 < -2 + 2 ⋅|𝑥+ 3| i 𝑥-2 > -(-2 + 2 ⋅|𝑥+ 3|), a następnie w postaci
równoważnej koniunkcji alternatyw nierówności bez użycia symbolu wartości
bezwzględnej:
(𝑥+ 3 > 1
2 𝑥 lub 𝑥+ 3 < -1
2 𝑥) i (𝑥+ 3 > 4-𝑥
2 lub 𝑥+ 3 < -4-𝑥
2 ),
ALBO

\n\n

przecięcia: 𝑥= -2
3 oraz 𝑥= -10 i sprawdzenie rachunkiem poprawności
odczytanych współrzędnych.
2 pkt - zapisanie trzech przedziałów: (-∞, -3) i [-3, 2) i [2, +∞) (z dokładnością do
domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej
w każdym z tych przedziałów
ALBO

\n\n

𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 ≥0 (z dokładnością do domknięcia)
oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym
z tych przypadków,
ALBO

\n\n

𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 ≥0 (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności
bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków oraz
zapisanie, że przypadek 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 ≥0 jest sprzeczny,
ALBO

\n\n

𝑥-2 < -2 + 2 ⋅|𝑥+ 3| i 𝑥-2 > -(-2 + 2 ⋅|𝑥+ 3|),
ALBO

\n\n

1 pkt - zapisanie trzech przedziałów: (-∞, -3) i [-3, 2) i [2, +∞) (z dokładnością do
domknięcia) oraz zapisanie danej nierówności w jednym z tych przedziałów bez
użycia symbolu wartości bezwzględnej
ALBO

\n\n

domknięcia) oraz rozwiązanie danej nierówności w tym przedziale - tj. wyznaczenie
części wspólnej zbioru rozwiązań zapisanej nierówności z rozpatrywanym
przedziałem,
ALBO

\n\n

𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 ≥0 (z dokładnością do domknięcia)
oraz zapisanie danej nierówności w jednym z tych przypadków bez użycia wartości
bezwzględnej,
ALBO

\n\n

𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 ≥0 (z dokładnością do domknięcia)
oraz rozwiązanie danej nierówności w tym przypadku - tj. wyznaczenie części
wspólnej zbiorów rozwiązań zapisanych nierówności.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający, zapisując nierówność bez użycia wartości bezwzględnej, popełni błąd,
\n

który nie jest rachunkowy, tylko w jednym z rozpatrywanych przypadków/przedziałów
i rozwiąże zadanie do końca, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie,
o ile nie nabył prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania.

\n
  1. Jeżeli zdający nie rozpatruje przedziałów, które wyczerpują zbiór wszystkich liczb
\n

rzeczywistych i w których nierówność ma różne postaci (lub rozpatruje przypadki
wyznaczone jedynie przez nierówności ostre, które nie wyczerpują zbioru ℝ), to może
otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający przy rozwiązaniu graficznym poda zbiór rozwiązań
\n

(-∞, -10) ∪(-2
3 , +∞), ale nie sprawdzi rachunkiem pierwszych współrzędnych
Zasady oceniania rozwiązań zadań
punktów przecięcia wykresów funkcji 𝑓 i 𝑔, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za
całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Wyznaczamy przedziały, które wyczerpują zbiór wszystkich liczb rzeczywistych i w których
nierówność ma różne postaci: (-∞, -3) i [-3, 2) i [2, +∞).
Rozważamy trzy przypadki.
Przypadek 1. (gdy 𝑥∈(-∞, -3))
W tym przypadku nierówność ma postać -𝑥+ 2 + 2(𝑥+ 3) < -2, czyli 𝑥< -10.
Stąd otrzymujemy 𝑥∈(-∞, -10).
Przypadek 2. (gdy 𝑥∈[-3, 2))
W tym przypadku nierówność ma postać -𝑥+ 2 -2(𝑥+ 3) < -2, czyli 𝑥> -2
3 .
Stąd otrzymujemy 𝑥∈(-2
3 , 2).
Przypadek 3. (gdy 𝑥∈[2, +∞))
W tym przypadku nierówność ma postać 𝑥-2 -2(𝑥+ 3) < -2, czyli 𝑥> -6.
Stąd otrzymujemy 𝑥∈[2, +∞).
Ostatecznie rozwiązaniami nierówności |𝑥-2| -2 ⋅|𝑥+ 3| < -2 są wszystkie liczby ze
zbioru (-∞, -10) ∪(-2
3 , +∞).
Sposób II (poprzez koniunkcję nierówności)
Dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 prawdziwe są
równoważności:
(1) |𝑥| < 𝑎 wtedy i tylko wtedy, gdy 𝑥< 𝑎 i 𝑥> -𝑎
oraz
(2) |𝑥| > 𝑎 wtedy i tylko wtedy, gdy 𝑥> 𝑎 lub 𝑥< -𝑎.
Przekształcamy nierówność |𝑥-2| -2 ⋅|𝑥+ 3| < -2 , korzystając z równoważności (1):
𝑥-2 < -2 + 2 ⋅|𝑥+ 3| i 𝑥-2 > -(-2 + 2 ⋅|𝑥+ 3|)
|𝑥+ 3| > 1
2 𝑥 i |𝑥+ 3| > 4 -𝑥
2
Rozwiązujemy każdą z otrzymanych nierówności, korzystając z równoważności (2):
(𝑥+ 3 > 1
2 𝑥 lub 𝑥+ 3 < -1
2 𝑥) i (𝑥+ 3 > 4 -𝑥
2
lub 𝑥+ 3 < -4 -𝑥
2
)
(𝑥> -6 lub 𝑥< -2) i (𝑥> -2
3 lub 𝑥< -10)
𝑥∈ℝ i (𝑥> -2
3 lub 𝑥< -10)
𝑥> -2
3 lub 𝑥< -10
Rozwiązaniami nierówności |𝑥-2| -2 ⋅|𝑥+ 3| < -2 są wszystkie liczby ze zbioru
(-∞, -10) ∪(-2
3 , +∞).
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[]}