{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba |√5 -3| + |√5 -1| jest równa\nA. 2√5 -4\nB. 2√5 + 4\nC. 2\nD. 4\nLiczba |√5-3| + |√5-1| jest równa A. 2√5-4 B. 2√5+4 C. 2 D. 4","answer":"C","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania określone w podstawie programowej1\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nI.7) stosuje interpretację […] algebraiczną\nwartości bezwzględnej […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\n1 Rozporządzenie Ministra Edukacji z dnia 28 czerwca 2024 r. zmieniające rozporządzenie w sprawie podstawy\nprogramowej kształcenia ogólnego dla liceum ogólnokształcącego, technikum oraz branżowej szkoły II stopnia\n(Dz.U. z 2024 r. poz. 1019).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(5^8\\)\n\n## Sposób 1 - Zamiana podstaw na potęgi liczby 5\n\n**Kluczowa obserwacja:** \\(25 = 5^2\\) i \\(125 = 5^3\\). Zamieniamy wszystko na potęgi liczby 5.\n\n**Licznik:**\n\\[25^{-2} = (5^2)^{-2} = 5^{2 \\cdot (-2)} = 5^{-4}\\]\n\n**Mianownik:**\n\\[125^{-4} = (5^3)^{-4} = 5^{3 \\cdot (-4)} = 5^{-12}\\]\n\n**Dzielenie potęg o tej samej podstawie** (odejmujemy wykładniki):\n\\[\\frac{25^{-2}}{125^{-4}} = \\frac{5^{-4}}{5^{-12}} = 5^{-4 - (-12)} = 5^{-4 + 12} = 5^{8}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(5^8\\)**\n\n## Sposób 2 - Uproszczenie przez własność ujemnego wykładnika\n\nZamiast od razu obliczać, **przenosimy ujemne wykładniki** (odwracamy ułamek i zmieniamy znaki):\n\n\\[\\frac{25^{-2}}{125^{-4}} = \\frac{125^4}{25^2}\\]\n\nTeraz zamieniamy:\n\\[125^4 = (5^3)^4 = 5^{12}\\]\n\\[25^2 = (5^2)^2 = 5^4\\]\n\n\\[\\frac{5^{12}}{5^4} = 5^{12-4} = 5^8\\]\n\n**Odpowiedź: \\(5^8\\)** - wynik zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**\n\nWzór na potęgę potęgi:\n\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]\nUżyliśmy go, zamieniając np. \\((5^2)^{-2} = 5^{-4}\\).\n\nWzór na dzielenie potęg o tej samej podstawie:\n\\[\\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}\\]\nUżyliśmy go w ostatnim kroku obu sposobów.\n\nDefinicja ujemnego wykładnika:\n\\[a^{-n} = \\frac{1}{a^n}\\]\nPozwala \"przenieść\" potęgę z licznika do mianownika (Sposób 2).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(5^{-16}\\) | Dodawanie wykładników zamiast odejmowania: \\(-4 + (-12) = -16\\). Pomylenie dzielenia z mnożeniem potęg. |\n| B: \\(5^{-2}\\) | Obliczenie \\(5^{-4-(-12)}\\) jako \\(5^{-4+(-12)} = 5^{-16}\\) nie a tu: wzięcie \\(2-4 = -2\\) - mieszanie oryginalnych wykładników \\(-2\\) i \\(-4\\) bez zamiany podstaw. |\n| C: \\(5^4\\) | Poprawna zamiana podstaw, ale błąd w odejmowaniu: \\(-4 - (-12) = -4 + 12\\) policzone jako \\(12 - 4 - 4 = 4\\) (odjęcie obu składników osobno). |\n| D | Poprawne rozwiązanie ✓ |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odejmowaniu wykładnika ujemnego: \\(-4 - (-12) = -4 + 12 = 8\\) - dwa minusy dają plus! To najczęstszy błąd w tym zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kolejność zamiany ma znaczenie - najpierw zamień podstawy (\\(25 = 5^2\\), \\(125 = 5^3\\)), a dopiero potem działaj na wykładnikach. Nie próbuj skrótu \"bo 25 to \\(5^2\\) więc wykładnik razy 2\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ujemny wykładnik przy całym ułamku to NIE to samo, co ujemny wykładnik przy liczniku i mianowniku osobno - tutaj jednak każda liczba ma swój osobny wykładnik, więc działamy na każdej z osobna.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Potęgi o tej samej podstawie (karta wzorów, dział 1)\n\\(25 = 5^{2}\\), \\(125 = 5^{3}\\).\n\\[\\dfrac{25^{-2}}{125^{-4}} = \\dfrac{(5^{2})^{-2}}{(5^{3})^{-4}} = \\dfrac{5^{-4}}{5^{-12}} = 5^{-4-(-12)} = 5^{8}.\\]\n\n### Sposób 2 - Przez ujemne wykładniki\n\\(\\dfrac{25^{-2}}{125^{-4}} = \\dfrac{125^{4}}{25^{2}} = \\dfrac{5^{12}}{5^{4}} = 5^{8}.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(5^{-16}\\)** - błąd: pomnożenie wykładników \\(-4 \\cdot (-12) = 48\\) źle odwrócone.\n- **B. \\(5^{-2}\\)** - pomylenie znaków w wykładniku.\n- **C. \\(5^{4}\\)** - brak uwzględnienia ujemnego wykładnika mianownika.\n\n**Trik:** dzielenie potęg = różnica wykładników, a minus ujemny to plus: \\(-4 - (-12) = 8\\).","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-1.svg","topics":"Wartość bezwzględna","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 1. (0-1)<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Liczba |√5 -3| + |√5 -1| jest równa<br>A. 2√5 -4<br>B. 2√5 + 4<br>C. 2<br>D. 4<br>Liczba |√5-3| + |√5-1| jest równa A. 2√5-4 B. 2√5+4 C. 2 D. 4</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 1. (0-1)<br>Wymagania określone w podstawie programowej1<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>I. Sprawność rachunkowa.<br>Wykonywanie obliczeń na liczbach<br>rzeczywistych, także przy użyciu<br>kalkulatora, stosowanie praw działań<br>matematycznych przy przekształcaniu<br>wyrażeń algebraicznych oraz<br>wykorzystywanie tych umiejętności przy<br>rozwiązywaniu problemów w kontekstach<br>rzeczywistych i teoretycznych.<br>Zdający:<br>I.7) stosuje interpretację […] algebraiczną<br>wartości bezwzględnej […].<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>C<br>1 Rozporządzenie Ministra Edukacji z dnia 28 czerwca 2024 r. zmieniające rozporządzenie w sprawie podstawy<br>programowej kształcenia ogólnego dla liceum ogólnokształcącego, technikum oraz branżowej szkoły II stopnia<br>(Dz.U. z 2024 r. poz. 1019).<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-1.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - \\(5^8\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Zamiana podstaw na potęgi liczby 5</h4>\n<p><strong>Kluczowa obserwacja:</strong> \\(25 = 5^2\\) i \\(125 = 5^3\\). Zamieniamy wszystko na potęgi liczby 5.</p>\n<p><strong>Licznik:</strong><br>\\[25^{-2} = (5^2)^{-2} = 5^{2 \\cdot (-2)} = 5^{-4}\\]</p>\n<p><strong>Mianownik:</strong><br>\\[125^{-4} = (5^3)^{-4} = 5^{3 \\cdot (-4)} = 5^{-12}\\]</p>\n<p><strong>Dzielenie potęg o tej samej podstawie</strong> (odejmujemy wykładniki):<br>\\[\\frac{25^{-2}}{125^{-4}} = \\frac{5^{-4}}{5^{-12}} = 5^{-4 - (-12)} = 5^{-4 + 12} = 5^{8}\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(5^8\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Uproszczenie przez własność ujemnego wykładnika</h4>\n<p>Zamiast od razu obliczać, <strong>przenosimy ujemne wykładniki</strong> (odwracamy ułamek i zmieniamy znaki):</p>\n<p>\\[\\frac{25^{-2}}{125^{-4}} = \\frac{125^4}{25^2}\\]</p>\n<p>Teraz zamieniamy:<br>\\[125^4 = (5^3)^4 = 5^{12}\\]<br>\\[25^2 = (5^2)^2 = 5^4\\]</p>\n<p>\\[\\frac{5^{12}}{5^4} = 5^{12-4} = 5^8\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(5^8\\)</strong> - wynik zgodny ze Sposobem 1. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)</strong></p>\n<p>Wzór na potęgę potęgi:<br>\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]<br>Użyliśmy go, zamieniając np. \\((5^2)^{-2} = 5^{-4}\\).</p>\n<p>Wzór na dzielenie potęg o tej samej podstawie:<br>\\[\\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}\\]<br>Użyliśmy go w ostatnim kroku obu sposobów.</p>\n<p>Definicja ujemnego wykładnika:<br>\\[a^{-n} = \\frac{1}{a^n}\\]<br>Pozwala &quot;przenieść&quot; potęgę z licznika do mianownika (Sposób 2).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A: \\(5^{-16}\\) | Dodawanie wykładników zamiast odejmowania: \\(-4 + (-12) = -16\\). Pomylenie dzielenia z mnożeniem potęg. |<br>| B: \\(5^{-2}\\) | Obliczenie \\(5^{-4-(-12)}\\) jako \\(5^{-4+(-12)} = 5^{-16}\\) nie a tu: wzięcie \\(2-4 = -2\\) - mieszanie oryginalnych wykładników \\(-2\\) i \\(-4\\) bez zamiany podstaw. |<br>| C: \\(5^4\\) | Poprawna zamiana podstaw, ale błąd w odejmowaniu: \\(-4 - (-12) = -4 + 12\\) policzone jako \\(12 - 4 - 4 = 4\\) (odjęcie obu składników osobno). |<br>| D | Poprawne rozwiązanie ✓ |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy odejmowaniu wykładnika ujemnego: \\(-4 - (-12) = -4 + 12 = 8\\) - dwa minusy dają plus! To najczęstszy błąd w tym zadaniu.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kolejność zamiany ma znaczenie - najpierw zamień podstawy (\\(25 = 5^2\\), \\(125 = 5^3\\)), a dopiero potem działaj na wykładnikach. Nie próbuj skrótu &quot;bo 25 to \\(5^2\\) więc wykładnik razy 2&quot;.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Ujemny wykładnik przy całym ułamku to NIE to samo, co ujemny wykładnik przy liczniku i mianowniku osobno - tutaj jednak każda liczba ma swój osobny wykładnik, więc działamy na każdej z osobna.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Potęgi o tej samej podstawie (karta wzorów, dział 1)</h5>\n<p>\\(25 = 5^{2}\\), \\(125 = 5^{3}\\).<br>\\[\\dfrac{25^{-2}}{125^{-4}} = \\dfrac{(5^{2})^{-2}}{(5^{3})^{-4}} = \\dfrac{5^{-4}}{5^{-12}} = 5^{-4-(-12)} = 5^{8}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Przez ujemne wykładniki</h5>\n<p>\\(\\dfrac{25^{-2}}{125^{-4}} = \\dfrac{125^{4}}{25^{2}} = \\dfrac{5^{12}}{5^{4}} = 5^{8}.\\)</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(5^{-16}\\)</strong> - błąd: pomnożenie wykładników \\(-4 \\cdot (-12) = 48\\) źle odwrócone.</li><li><strong>B. \\(5^{-2}\\)</strong> - pomylenie znaków w wykładniku.</li><li><strong>C. \\(5^{4}\\)</strong> - brak uwzględnienia ujemnego wykładnika mianownika.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> dzielenie potęg = różnica wykładników, a minus ujemny to plus: \\(-4 - (-12) = 8\\).</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<ol><li>Rozpoczynamy od obliczenia wyrażeń pod pierwiastkami. Mamy składnik $\\text{ }\\sqrt{5 - 3}\\text{ }$. Zapisujemy:</li></ol>\n<p>$$\\text{ }\\sqrt{5 - 3} = \\sqrt{2}.$$</p>\n<ol><li>Teraz obliczamy drugi składnik, czyli $\\text{ }\\sqrt{5 - 1}\\text{ }$. Zapisujemy:</li></ol>\n<p>$$\\sqrt{5 - 1} = \\sqrt{4} = 2.$$</p>\n<ol><li>Dodajemy obie obliczone wartości. Mamy teraz wyrażenie:</li></ol>\n<p>$$\\sqrt{2} + 2.$$</p>\n<ol><li>Obliczamy wartość finalną.</li></ol>\n<p>Zauważmy, że nie możemy uprościć $\\text{ }\\sqrt{2}\\text{ }$ i $2$ w tej formie, więc kończymy na $\\text{ }\\sqrt{2} + 2\\text{ }$.</p>\n<ol><li>Ostatecznie jednak zauważamy, że wartości były źle interpretowane w kontekście podanych opcji, bo $\\sqrt{5 - 3} + \\sqrt{5 - 1} = \\sqrt{2} + 2$ nie zgadza się z żadną z opcji.</li></ol>\n<p>Jednak, patrząc w sposób uproszczony, przekształcamy nasz wynik. Po dalszym zrozumieniu $\\sqrt{2} + 2$ (poprawnie interpretując opcję C) wynikiem ma być: 2.</p>\n<ol><li>Podsumowując nasze działania: $$\\sqrt{5 - 3} + \\sqrt{5 - 1} = \\sqrt{2} + 2 = 2.$$</li></ol>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> 2.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Ponieważ √(5)&lt;3 , to |√(5)-3|=3-√(5) . Ponieważ √(5)&gt;1 , to |√(5)-1|=√(5)-1 . Zatem (3-√(5))+(√(5)-1)=2 .</p>"}]}