{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nSuma wszystkich rozwiązań równania (3𝑥-12)(10 + 5𝑥)(𝑥-3) = 0 jest równa\nA. (-5)\nB. (-1)\nC. 5\nD. 9\n\nMMAP-P0_100\nSuma wszystkich rozwiązań równania (3x-12)(10+5x)(x-3) = 0 jest równa A. (-5) B. (-1) C. 5 D. 9","answer":"C","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.5) rozwiązuje równania wielomianowe\npostaci 𝑊(𝑥) = 0 dla wielomianów\ndoprowadzonych do postaci iloczynowej.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\n-3\n1\n𝑥","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(b = -1\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na oś symetrii paraboli\n\nOś symetrii paraboli \\(f(x) = ax^2 + bx + c\\) dana jest wzorem:\n\\[x = -\\frac{b}{2a}\\]\n\nW naszym przypadku \\(a = \\frac{1}{2}\\), a oś symetrii to \\(x = 1\\), więc:\n\\[1 = -\\frac{b}{2 \\cdot \\frac{1}{2}} = -\\frac{b}{1} = -b\\]\n\nStąd od razu:\n\\[\\boxed{b = -1}\\]\n\n> Warunek \"jednym z miejsc zerowych jest 6\" posłuży do weryfikacji - nie potrzebowaliśmy go do wyznaczenia \\(b\\), ale sprawdzimy wynik w Sposobie 2.\n\n## Sposób 2 - Symetria miejsc zerowych względem osi\n\nOś symetrii paraboli leży dokładnie w połowie między dwoma miejscami zerowymi. Skoro jedno miejsce zerowe to \\(x_1 = 6\\), a oś symetrii to \\(x = 1\\), to:\n\n\\[\\text{oś} = \\frac{x_1 + x_2}{2} \\implies 1 = \\frac{6 + x_2}{2}\\]\n\\[6 + x_2 = 2 \\implies x_2 = -4\\]\n\n**Drugie miejsce zerowe to \\(x_2 = -4\\).**\n\nTeraz korzystamy ze wzorów Viète'a dla \\(f(x) = \\frac{1}{2}x^2 + bx + c\\) (gdzie \\(a = \\frac{1}{2}\\)):\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a} \\implies 6 + (-4) = -\\frac{b}{\\frac{1}{2}} = -2b\\]\n\\[2 = -2b \\implies \\boxed{b = -1}\\]\n\n**Weryfikacja:** Przy \\(b = -1\\) mamy \\(f(x) = \\frac{1}{2}x^2 - x + c\\). Sprawdzamy oś symetrii:\n\\[x = -\\frac{-1}{2 \\cdot \\frac{1}{2}} = \\frac{1}{1} = 1 \\checkmark\\]\n\nSprawdzamy \\(f(6) = 0\\) (wyznaczając \\(c\\)):\n\\[f(6) = \\frac{1}{2} \\cdot 36 + (-1) \\cdot 6 + c = 18 - 6 + c = 12 + c = 0 \\implies c = -12\\]\n\nKontrola drugiego zera: \\(f(-4) = \\frac{1}{2} \\cdot 16 + (-1)(-4) - 12 = 8 + 4 - 12 = 0 \\checkmark\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzór na oś symetrii i wierzchołek paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(b\\) wprost z warunku \\(p = 1\\).\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzory Viète'a:\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\nUżyliśmy sumy pierwiastków w Sposobie 2 po wyznaczeniu \\(x_2\\) z symetrii.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A - \\(b = -2\\) | Zapomnienie o \\(a = \\frac{1}{2}\\) w mianowniku: uczeń liczy \\(x = -\\frac{b}{2}\\) zamiast \\(x = -\\frac{b}{2a}\\), dostaje \\(-\\frac{b}{2} = 1\\), czyli \\(b = -2\\) |\n| C - \\(b = -\\frac{1}{2}\\) | Podstawienie miejsca zerowego \\(x = 6\\) bezpośrednio jako \\(b\\), podzielone przez \\(-a\\): \\(b = -\\frac{1}{2} \\cdot 1 = -\\frac{1}{2}\\) (błędna intuicja bez żadnej metody) |\n| D - \\(b = 2\\) | Policzenie \\(b = -b'\\) gdzie \\(b' = -2\\) z odpowiedzi A - błąd znaku przy wzorze Viète'a (\\(x_1 + x_2 = +\\frac{b}{a}\\) zamiast \\(-\\frac{b}{a}\\)) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współczynnik przy \\(x^2\\) to \\(a = \\frac{1}{2}\\), nie \\(1\\)! Wzór na oś symetrii to \\(-\\frac{b}{2a}\\) - jeśli zapomnisz podzielić przez \\(2a = 1\\), a nie przez \\(2\\), dostaniesz błędny wynik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie każde miejsce zerowe jest potrzebne do wyznaczenia \\(b\\) - samo położenie osi symetrii wystarczy. Informacja o zerze \\(x = 6\\) służy tu do wyznaczenia \\(c\\) lub jako weryfikacja.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W wzorach Viète'a pamiętaj o dzieleniu przez \\(a\\): \\(x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}\\), a nie \\(-b\\). Przy \\(a \\neq 1\\) to częste źródło błędu.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wzór na oś symetrii (karta wzorów, dział 4)\nOś symetrii paraboli: \\(x = -\\dfrac{b}{2a}\\). Tu \\(a = \\tfrac{1}{2}\\), a oś \\(x = 1\\):\n\\[1 = -\\dfrac{b}{2 \\cdot \\tfrac{1}{2}} = -b \\Rightarrow b = -1.\\]\n\n### Sposób 2 - Drugie miejsce zerowe\nOś symetrii jest równoodległa od obu miejsc zerowych. Jedno to \\(6\\), więc drugie: \\(x_{2} = 2 \\cdot 1 - 6 = -4\\).\nZ wzorów Viète'a: \\(x_{1} + x_{2} = -\\tfrac{b}{a} = -\\tfrac{b}{1/2} = -2b\\).\n\\(6 + (-4) = 2 = -2b \\Rightarrow b = -1\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-2\\)** - błąd: \\(b = -2a \\cdot 1\\) nie pomnożone poprawnie.\n- **C. \\(-\\tfrac{1}{2}\\)** - pomylony współczynnik \\(a\\).\n- **D. \\(2\\)** - zły znak.\n\n**Trik:** dla paraboli \\(ax^{2}+bx+c\\) oś symetrii to \\(x = -\\tfrac{b}{2a}\\).","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-10.svg","topics":"Wielomiany","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 10. (0-1)<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Suma wszystkich rozwiązań równania (3𝑥-12)(10 + 5𝑥)(𝑥-3) = 0 jest równa<br>A. (-5)<br>B. (-1)<br>C. 5<br>D. 9</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Suma wszystkich rozwiązań równania (3x-12)(10+5x)(x-3) = 0 jest równa A. (-5) B. (-1) C. 5 D. 9</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 10. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>III.5) rozwiązuje równania wielomianowe<br>postaci 𝑊(𝑥) = 0 dla wielomianów<br>doprowadzonych do postaci iloczynowej.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>C<br>-3<br>1<br>𝑥</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-10.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(b = -1\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wzór na oś symetrii paraboli</h4>\n<p>Oś symetrii paraboli \\(f(x) = ax^2 + bx + c\\) dana jest wzorem:<br>\\[x = -\\frac{b}{2a}\\]</p>\n<p>W naszym przypadku \\(a = \\frac{1}{2}\\), a oś symetrii to \\(x = 1\\), więc:<br>\\[1 = -\\frac{b}{2 \\cdot \\frac{1}{2}} = -\\frac{b}{1} = -b\\]</p>\n<p>Stąd od razu:<br>\\[\\boxed{b = -1}\\]</p>\n<blockquote>Warunek &quot;jednym z miejsc zerowych jest 6&quot; posłuży do weryfikacji - nie potrzebowaliśmy go do wyznaczenia \\(b\\), ale sprawdzimy wynik w Sposobie 2.</blockquote>\n<h4>Sposób 2 - Symetria miejsc zerowych względem osi</h4>\n<p>Oś symetrii paraboli leży dokładnie w połowie między dwoma miejscami zerowymi. Skoro jedno miejsce zerowe to \\(x_1 = 6\\), a oś symetrii to \\(x = 1\\), to:</p>\n<p>\\[\\text{oś} = \\frac{x_1 + x_2}{2} \\implies 1 = \\frac{6 + x_2}{2}\\]<br>\\[6 + x_2 = 2 \\implies x_2 = -4\\]</p>\n<p><strong>Drugie miejsce zerowe to \\(x_2 = -4\\).</strong></p>\n<p>Teraz korzystamy ze wzorów Viète&#x27;a dla \\(f(x) = \\frac{1}{2}x^2 + bx + c\\) (gdzie \\(a = \\frac{1}{2}\\)):<br>\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a} \\implies 6 + (-4) = -\\frac{b}{\\frac{1}{2}} = -2b\\]<br>\\[2 = -2b \\implies \\boxed{b = -1}\\]</p>\n<p><strong>Weryfikacja:</strong> Przy \\(b = -1\\) mamy \\(f(x) = \\frac{1}{2}x^2 - x + c\\). Sprawdzamy oś symetrii:<br>\\[x = -\\frac{-1}{2 \\cdot \\frac{1}{2}} = \\frac{1}{1} = 1 \\checkmark\\]</p>\n<p>Sprawdzamy \\(f(6) = 0\\) (wyznaczając \\(c\\)):<br>\\[f(6) = \\frac{1}{2} \\cdot 36 + (-1) \\cdot 6 + c = 18 - 6 + c = 12 + c = 0 \\implies c = -12\\]</p>\n<p>Kontrola drugiego zera: \\(f(-4) = \\frac{1}{2} \\cdot 16 + (-1)(-4) - 12 = 8 + 4 - 12 = 0 \\checkmark\\)</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong> - wzór na oś symetrii i wierzchołek paraboli:<br>\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]<br>Użyliśmy tego w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(b\\) wprost z warunku \\(p = 1\\).</p>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong> - wzory Viète&#x27;a:<br>\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]<br>Użyliśmy sumy pierwiastków w Sposobie 2 po wyznaczeniu \\(x_2\\) z symetrii.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| A - \\(b = -2\\) | Zapomnienie o \\(a = \\frac{1}{2}\\) w mianowniku: uczeń liczy \\(x = -\\frac{b}{2}\\) zamiast \\(x = -\\frac{b}{2a}\\), dostaje \\(-\\frac{b}{2} = 1\\), czyli \\(b = -2\\) |<br>| C - \\(b = -\\frac{1}{2}\\) | Podstawienie miejsca zerowego \\(x = 6\\) bezpośrednio jako \\(b\\), podzielone przez \\(-a\\): \\(b = -\\frac{1}{2} \\cdot 1 = -\\frac{1}{2}\\) (błędna intuicja bez żadnej metody) |<br>| D - \\(b = 2\\) | Policzenie \\(b = -b&#x27;\\) gdzie \\(b&#x27; = -2\\) z odpowiedzi A - błąd znaku przy wzorze Viète&#x27;a (\\(x_1 + x_2 = +\\frac{b}{a}\\) zamiast \\(-\\frac{b}{a}\\)) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Współczynnik przy \\(x^2\\) to \\(a = \\frac{1}{2}\\), nie \\(1\\)! Wzór na oś symetrii to \\(-\\frac{b}{2a}\\) - jeśli zapomnisz podzielić przez \\(2a = 1\\), a nie przez \\(2\\), dostaniesz błędny wynik.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie każde miejsce zerowe jest potrzebne do wyznaczenia \\(b\\) - samo położenie osi symetrii wystarczy. Informacja o zerze \\(x = 6\\) służy tu do wyznaczenia \\(c\\) lub jako weryfikacja.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W wzorach Viète&#x27;a pamiętaj o dzieleniu przez \\(a\\): \\(x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}\\), a nie \\(-b\\). Przy \\(a \\neq 1\\) to częste źródło błędu.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wzór na oś symetrii (karta wzorów, dział 4)</h5>\n<p>Oś symetrii paraboli: \\(x = -\\dfrac{b}{2a}\\). Tu \\(a = \\tfrac{1}{2}\\), a oś \\(x = 1\\):<br>\\[1 = -\\dfrac{b}{2 \\cdot \\tfrac{1}{2}} = -b \\Rightarrow b = -1.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Drugie miejsce zerowe</h5>\n<p>Oś symetrii jest równoodległa od obu miejsc zerowych. Jedno to \\(6\\), więc drugie: \\(x_{2} = 2 \\cdot 1 - 6 = -4\\).<br>Z wzorów Viète&#x27;a: \\(x_{1} + x_{2} = -\\tfrac{b}{a} = -\\tfrac{b}{1/2} = -2b\\).<br>\\(6 + (-4) = 2 = -2b \\Rightarrow b = -1\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(-2\\)</strong> - błąd: \\(b = -2a \\cdot 1\\) nie pomnożone poprawnie.</li><li><strong>C. \\(-\\tfrac{1}{2}\\)</strong> - pomylony współczynnik \\(a\\).</li><li><strong>D. \\(2\\)</strong> - zły znak.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> dla paraboli \\(ax^{2}+bx+c\\) oś symetrii to \\(x = -\\tfrac{b}{2a}\\).</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, rozwiązania równania to $x = 4$, $x = -2$ i $x = 3$. Ich suma wynosi $4 + (-2) + 3 = 5$.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Iloczyn jest równy zero, więc: 3x-12=0 lub 10+5x=0 lub x-3=0 . Stąd x=4 , x=-2 , x=3 . Suma rozwiązań: 4+(-2)+3=5 .</p>"}]}