{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"11","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-2)\nWłaściciel restauracji kupił 75 kilogramów pomidorów: 𝑥 kg pomidorów malinowych\nw cenie 11 złotych za kilogram oraz 𝑦 kg pomidorów cherry w cenie 7,98 złotych za\nkilogram. Za pomidory zapłacił łącznie 752,52 złotych.\nOblicz, ile kilogramów pomidorów malinowych kupił właściciel restauracji.\nZapisz obliczenia.\n\nMMAP-P0_100\nWłaściciel restauracji kupił 75 kilogramów pomidorów: x kg pomidorów malinowych w cenie 11 złotych za kilogram oraz y kg pomidorów cherry w cenie 7,98 złotych za kilogram. Za pomidory zapłacił łącznie 752,52 złotych. Oblicz, ile kilogramów pomidorów malinowych kupił właściciel restauracji.","answer":"51 kg","answer_text":"Zadanie 11. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nIV.2) stosuje układy równań do\nrozwiązywania zadań tekstowych.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 51 kg.\n1 pkt - zapisanie układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi pozwalającego obliczyć 𝑥\noraz 𝑦, np.\n𝑥+ 𝑦= 75 oraz 11𝑥+ 7,98𝑦= 752,52\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego obliczyć 𝑥, np.\n11𝑥+ 7,98 ⋅(75 -𝑥) = 752,52,\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego obliczyć 𝑦, np.\n11 ⋅(75 -𝑦) + 7,98𝑦= 752,52,\nALBO\n- zapisanie różnicy 752,52 -75 ⋅7,98 oraz zapisanie różnicy 11 -7,98,\nALBO\n- zapisanie różnicy 75 ⋅11 -752,52 oraz zapisanie różnicy 11 -7,98.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający sprawdza warunki zadania dla wybranych par liczb 𝑥 oraz 𝑦 i wskaże\nwłaściwą odpowiedź, ale nie uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie zadania, to otrzymuje\n1 punkt za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający w rozwiązaniu używa wartości przybliżonych i otrzymuje wynik różny od 51,\nto może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPo uwzględnieniu warunków zadania otrzymujemy:\n𝑥+ 𝑦= 75 oraz 11𝑥+ 7,98𝑦= 752,52\nZ pierwszego z tych równań wyznaczamy 𝑦= 75 -𝑥 i podstawiamy w miejsce 𝑦 do\ndrugiego z równań, w wyniku czego otrzymujemy:\n11𝑥+ 7,98 ⋅(75 -𝑥) = 752,52\n11𝑥+ 598,5 -7,98𝑥= 752,52\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n3,02𝑥= 154,02\n𝑥= 51\nWłaściciel restauracji kupił 51 kilogramów pomidorów malinowych.\nSposób II\nGdyby właściciel restauracji kupił tylko pomidory cherry, to zapłaciłby za nie\n75 ⋅7,98 = 598,50 złotych, a więc o 752,52 -598,50 = 154,02 złotych mniej niż zapłacił\nw rzeczywistości.\nJeden kilogram pomidorów malinowych kosztuje o 11 -7,98 = 3,02 złotych więcej niż\njeden kilogram pomidorów cherry.\nZatem właściciel restauracji kupił 154,02 ∶3,02 = 51 kilogramów pomidorów malinowych.","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\n\\[f(x) = \\frac{1}{2}(x+4)(x-6)\\]\n\n## Sposób 1 - Oś symetrii jako środek między miejscami zerowymi\n\nWiemy, że oś symetrii paraboli leży **dokładnie w połowie** między oboma miejscami zerowymi.\n\nJedno miejsce zerowe to \\(x_1 = 6\\), oś symetrii to \\(x = 1\\).\n\nSzukamy \\(x_2\\) takiego, że środek odcinka \\([x_2, 6]\\) wynosi \\(1\\):\n\n\\[\\frac{x_2 + x_1}{2} = 1\\]\n\n\\[\\frac{x_2 + 6}{2} = 1\\]\n\n\\[x_2 + 6 = 2\\]\n\n\\[\\boxed{x_2 = -4}\\]\n\nOba miejsca zerowe: \\(x_1 = -4\\) oraz \\(x_2 = 6\\).\n\nPostać iloczynowa (współczynnik \\(a = \\frac{1}{2}\\) odczytany z treści):\n\n\\[f(x) = \\frac{1}{2}(x - x_1)(x - x_2) = \\frac{1}{2}(x-(-4))(x-6)\\]\n\n\\[\\boxed{f(x) = \\frac{1}{2}(x+4)(x-6)}\\]\n\n## Sposób 2 - Wyznaczenie b i c z warunków zadania\n\n**Warunek 1:** \\(f(6) = 0\\)\n\n\\[\\frac{1}{2} \\cdot 36 + 6b + c = 0 \\implies 18 + 6b + c = 0 \\implies c = -18 - 6b\\]\n\n**Warunek 2:** Oś symetrii \\(x = -\\frac{b}{2a} = 1\\)\n\n\\[-\\frac{b}{2 \\cdot \\frac{1}{2}} = 1 \\implies -\\frac{b}{1} = 1 \\implies b = -1\\]\n\nPodstawiamy \\(b = -1\\) do warunku 1:\n\n\\[c = -18 - 6 \\cdot (-1) = -18 + 6 = -12\\]\n\nZatem \\(f(x) = \\frac{1}{2}x^2 - x - 12\\). Sprawdzamy rozkład:\n\n\\[\\frac{1}{2}x^2 - x - 12 = \\frac{1}{2}(x^2 - 2x - 24) = \\frac{1}{2}(x+4)(x-6) \\checkmark\\]\n\n(Sprawdzenie: \\((x+4)(x-6) = x^2 - 6x + 4x - 24 = x^2 - 2x - 24\\) ✓)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzór na oś symetrii:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(b\\).\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać iloczynowa:\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nBezpośrednio zastosowana w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| **A** | \\(f(x) = \\frac{1}{2}(x-4)(x-6)\\) - miejsca zerowe to \\(4\\) i \\(6\\), oś symetrii wynosiłaby \\(x = 5\\), a nie \\(x = 1\\) |\n| **B** | \\(f(x) = \\frac{1}{2}(x-4)(x+6)\\) - miejsca zerowe \\(4\\) i \\(-6\\), oś symetrii \\(x = -1\\). Uczeń mógł błędnie obliczyć środek jako \\(-1\\) zamiast \\(1\\) |\n| **D** | \\(f(x) = \\frac{1}{2}(x+4)(x+6)\\) - miejsca zerowe \\(-4\\) i \\(-6\\), oś symetrii \\(x = -5\\). Uczeń źle odczytał znak - wziął \\(-6\\) zamiast \\(+6\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Oś symetrii to **środek** między miejscami zerowymi - wzór \\(\\frac{x_1 + x_2}{2} = p\\). Uczniowie często mylą kierunek: szukają miejsca zerowego po prawej od osi, zamiast po lewej (tu \\(6\\) jest po prawej od \\(x=1\\), więc drugie zero musi być po lewej).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W postaci iloczynowej \\(a(x - x_1)(x - x_2)\\) znak jest **minus** przed miejscem zerowym. Miejsce zerowe \\(-4\\) daje czynnik \\((x - (-4)) = (x+4)\\), NIE \\((x-4)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współczynnik \\(a = \\frac{1}{2}\\) jest dany w treści zadania - nie można go zmienić ani pominąć przy przejściu do postaci iloczynowej.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Symetria i miejsca zerowe (karta wzorów, dział 4)\nOś symetrii \\(x = 1\\) leży w środku pomiędzy miejscami zerowymi. Skoro jedno to \\(6\\), drugie: \\(x_{2} = 2 \\cdot 1 - 6 = -4\\).\nPostać iloczynowa: \\(f(x) = a(x - x_{1})(x - x_{2}) = \\tfrac{1}{2}(x - 6)(x - (-4)) = \\tfrac{1}{2}(x-6)(x+4)\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\n\\(f(6) = \\tfrac{1}{2}(6+4)(6-6) = 0\\) ✓.\n\\(f(-4) = \\tfrac{1}{2}(-4+4)(-4-6) = 0\\) ✓.\nOś: średnia miejsc zerowych \\(\\tfrac{6+(-4)}{2} = 1\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Miejsca zerowe \\(4\\) i \\(6\\), oś w \\(5\\).\n- **B.** Miejsca \\(4\\) i \\(-6\\), oś w \\(-1\\).\n- **D.** Miejsca \\(-4\\) i \\(-6\\), oś w \\(-5\\).\n\n**Trik:** miejsca zerowe są symetryczne względem osi - jedno znamy, drugie to odbicie.","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-11.svg","topics":"Układy równań","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 11. (0-2)<br>Właściciel restauracji kupił 75 kilogramów pomidorów: 𝑥 kg pomidorów malinowych<br>w cenie 11 złotych za kilogram oraz 𝑦 kg pomidorów cherry w cenie 7,98 złotych za<br>kilogram. Za pomidory zapłacił łącznie 752,52 złotych.<br>Oblicz, ile kilogramów pomidorów malinowych kupił właściciel restauracji.<br>Zapisz obliczenia.</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Właściciel restauracji kupił 75 kilogramów pomidorów: x kg pomidorów malinowych w cenie 11 złotych za kilogram oraz y kg pomidorów cherry w cenie 7,98 złotych za kilogram. Za pomidory zapłacił łącznie 752,52 złotych. Oblicz, ile kilogramów pomidorów malinowych kupił właściciel restauracji.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 11. (0-2)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Dobieranie i tworzenie modeli</li></ol>\n<p>matematycznych przy rozwiązywaniu<br>problemów praktycznych i teoretycznych.<br>Zdający:<br>IV.2) stosuje układy równań do<br>rozwiązywania zadań tekstowych.<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 51 kg.<br>1 pkt - zapisanie układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi pozwalającego obliczyć 𝑥<br>oraz 𝑦, np.<br>𝑥+ 𝑦= 75 oraz 11𝑥+ 7,98𝑦= 752,52<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego obliczyć 𝑥, np.</li></ul>\n<p>11𝑥+ 7,98 ⋅(75 -𝑥) = 752,52,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego obliczyć 𝑦, np.</li></ul>\n<p>11 ⋅(75 -𝑦) + 7,98𝑦= 752,52,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie różnicy 752,52 -75 ⋅7,98 oraz zapisanie różnicy 11 -7,98,</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie różnicy 75 ⋅11 -752,52 oraz zapisanie różnicy 11 -7,98.</li></ul>\n<p>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający sprawdza warunki zadania dla wybranych par liczb 𝑥 oraz 𝑦 i wskaże</li></ol>\n<p>właściwą odpowiedź, ale nie uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie zadania, to otrzymuje<br>1 punkt za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający w rozwiązaniu używa wartości przybliżonych i otrzymuje wynik różny od 51,</li></ol>\n<p>to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Po uwzględnieniu warunków zadania otrzymujemy:<br>𝑥+ 𝑦= 75 oraz 11𝑥+ 7,98𝑦= 752,52<br>Z pierwszego z tych równań wyznaczamy 𝑦= 75 -𝑥 i podstawiamy w miejsce 𝑦 do<br>drugiego z równań, w wyniku czego otrzymujemy:<br>11𝑥+ 7,98 ⋅(75 -𝑥) = 752,52<br>11𝑥+ 598,5 -7,98𝑥= 752,52<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>3,02𝑥= 154,02<br>𝑥= 51<br>Właściciel restauracji kupił 51 kilogramów pomidorów malinowych.<br>Sposób II<br>Gdyby właściciel restauracji kupił tylko pomidory cherry, to zapłaciłby za nie<br>75 ⋅7,98 = 598,50 złotych, a więc o 752,52 -598,50 = 154,02 złotych mniej niż zapłacił<br>w rzeczywistości.<br>Jeden kilogram pomidorów malinowych kosztuje o 11 -7,98 = 3,02 złotych więcej niż<br>jeden kilogram pomidorów cherry.<br>Zatem właściciel restauracji kupił 154,02 ∶3,02 = 51 kilogramów pomidorów malinowych.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-11.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C</h4>\n<p>\\[f(x) = \\frac{1}{2}(x+4)(x-6)\\]</p>\n<h4>Sposób 1 - Oś symetrii jako środek między miejscami zerowymi</h4>\n<p>Wiemy, że oś symetrii paraboli leży <strong>dokładnie w połowie</strong> między oboma miejscami zerowymi.</p>\n<p>Jedno miejsce zerowe to \\(x_1 = 6\\), oś symetrii to \\(x = 1\\).</p>\n<p>Szukamy \\(x_2\\) takiego, że środek odcinka \\([x_2, 6]\\) wynosi \\(1\\):</p>\n<p>\\[\\frac{x_2 + x_1}{2} = 1\\]</p>\n<p>\\[\\frac{x_2 + 6}{2} = 1\\]</p>\n<p>\\[x_2 + 6 = 2\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{x_2 = -4}\\]</p>\n<p>Oba miejsca zerowe: \\(x_1 = -4\\) oraz \\(x_2 = 6\\).</p>\n<p>Postać iloczynowa (współczynnik \\(a = \\frac{1}{2}\\) odczytany z treści):</p>\n<p>\\[f(x) = \\frac{1}{2}(x - x_1)(x - x_2) = \\frac{1}{2}(x-(-4))(x-6)\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{f(x) = \\frac{1}{2}(x+4)(x-6)}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Wyznaczenie b i c z warunków zadania</h4>\n<p><strong>Warunek 1:</strong> \\(f(6) = 0\\)</p>\n<p>\\[\\frac{1}{2} \\cdot 36 + 6b + c = 0 \\implies 18 + 6b + c = 0 \\implies c = -18 - 6b\\]</p>\n<p><strong>Warunek 2:</strong> Oś symetrii \\(x = -\\frac{b}{2a} = 1\\)</p>\n<p>\\[-\\frac{b}{2 \\cdot \\frac{1}{2}} = 1 \\implies -\\frac{b}{1} = 1 \\implies b = -1\\]</p>\n<p>Podstawiamy \\(b = -1\\) do warunku 1:</p>\n<p>\\[c = -18 - 6 \\cdot (-1) = -18 + 6 = -12\\]</p>\n<p>Zatem \\(f(x) = \\frac{1}{2}x^2 - x - 12\\). Sprawdzamy rozkład:</p>\n<p>\\[\\frac{1}{2}x^2 - x - 12 = \\frac{1}{2}(x^2 - 2x - 24) = \\frac{1}{2}(x+4)(x-6) \\checkmark\\]</p>\n<p>(Sprawdzenie: \\((x+4)(x-6) = x^2 - 6x + 4x - 24 = x^2 - 2x - 24\\) ✓)</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong> - wzór na oś symetrii:<br>\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]<br>Użyliśmy go w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(b\\).</p>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong> - postać iloczynowa:<br>\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]<br>Bezpośrednio zastosowana w Sposobie 1.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| <strong>A</strong> | \\(f(x) = \\frac{1}{2}(x-4)(x-6)\\) - miejsca zerowe to \\(4\\) i \\(6\\), oś symetrii wynosiłaby \\(x = 5\\), a nie \\(x = 1\\) |<br>| <strong>B</strong> | \\(f(x) = \\frac{1}{2}(x-4)(x+6)\\) - miejsca zerowe \\(4\\) i \\(-6\\), oś symetrii \\(x = -1\\). Uczeń mógł błędnie obliczyć środek jako \\(-1\\) zamiast \\(1\\) |<br>| <strong>D</strong> | \\(f(x) = \\frac{1}{2}(x+4)(x+6)\\) - miejsca zerowe \\(-4\\) i \\(-6\\), oś symetrii \\(x = -5\\). Uczeń źle odczytał znak - wziął \\(-6\\) zamiast \\(+6\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Oś symetrii to <strong>środek</strong> między miejscami zerowymi - wzór \\(\\frac{x_1 + x_2}{2} = p\\). Uczniowie często mylą kierunek: szukają miejsca zerowego po prawej od osi, zamiast po lewej (tu \\(6\\) jest po prawej od \\(x=1\\), więc drugie zero musi być po lewej).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W postaci iloczynowej \\(a(x - x_1)(x - x_2)\\) znak jest <strong>minus</strong> przed miejscem zerowym. Miejsce zerowe \\(-4\\) daje czynnik \\((x - (-4)) = (x+4)\\), NIE \\((x-4)\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Współczynnik \\(a = \\frac{1}{2}\\) jest dany w treści zadania - nie można go zmienić ani pominąć przy przejściu do postaci iloczynowej.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Symetria i miejsca zerowe (karta wzorów, dział 4)</h5>\n<p>Oś symetrii \\(x = 1\\) leży w środku pomiędzy miejscami zerowymi. Skoro jedno to \\(6\\), drugie: \\(x_{2} = 2 \\cdot 1 - 6 = -4\\).<br>Postać iloczynowa: \\(f(x) = a(x - x_{1})(x - x_{2}) = \\tfrac{1}{2}(x - 6)(x - (-4)) = \\tfrac{1}{2}(x-6)(x+4)\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie</h5>\n<p>\\(f(6) = \\tfrac{1}{2}(6+4)(6-6) = 0\\) ✓.<br>\\(f(-4) = \\tfrac{1}{2}(-4+4)(-4-6) = 0\\) ✓.<br>Oś: średnia miejsc zerowych \\(\\tfrac{6+(-4)}{2} = 1\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A.</strong> Miejsca zerowe \\(4\\) i \\(6\\), oś w \\(5\\).</li><li><strong>B.</strong> Miejsca \\(4\\) i \\(-6\\), oś w \\(-1\\).</li><li><strong>D.</strong> Miejsca \\(-4\\) i \\(-6\\), oś w \\(-5\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> miejsca zerowe są symetryczne względem osi - jedno znamy, drugie to odbicie.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Niech x oznacza liczbę kilogramów pomidorów malinowych, a y cherry. Mamy x+y=75 oraz 11x+7 , 98y=752 , 52 . Po podstawieniu y=75-x : 11x+7 , 98(75-x)=752 , 52 . Stąd 3 , 02x=154 , 02 , więc x=51 .</p>"}]}