{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"12","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12.\nFunkcja 𝑓 jest określona następująco:\n𝑓(𝑥) = {\n-2𝑥-10\ndla 𝑥∈(-5, -3]\n𝑥-1\ndla 𝑥∈(-3, 4]\nWykres funkcji 𝑦= 𝑓(𝑥) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦)\nna rysunku poniżej.\nFunkcja f jest określona następująco: f(x) = {-2x-10 dla x∈(-5,-3>; x-1 dla x∈(-3,4>. Wykres funkcji y=f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) na rysunku poniżej. [rysunek] Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Miejscem zerowym funkcji f jest liczba ......... . 2. Wartość wyrażenia f(-2)+3⋅f(2) jest równa ......... .","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(x = 4\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie osi symetrii przez przesunięcie wykresu\n\n**Krok 1: Znajdź oś symetrii funkcji \\(f\\)**\n\nOś symetrii paraboli \\(f(x) = \\frac{1}{2}x^2 + bx + c\\) jest podana - to prosta \\(x = 1\\).\n\n**Krok 2: Zrozum, czym jest \\(g(x) = f(x-3)\\)**\n\nZastąpienie \\(x\\) przez \\(x-3\\) w funkcji to **przesunięcie wykresu o 3 jednostki w prawo**.\n\nKażdy punkt \\((x_0, y_0)\\) wykresu \\(f\\) odpowiada punktowi \\((x_0 + 3, y_0)\\) wykresu \\(g\\).\n\n**Krok 3: Wyznacz nową oś symetrii**\n\nOś symetrii \\(f\\): \\(x = 1\\)\n\nPo przesunięciu o \\(+3\\) w prawo:\n\\[x = 1 + 3 = 4\\]\n\n**Oś symetrii wykresu \\(g\\) to \\(x = 4\\).**\n\n## Sposób 2 - Wyznaczenie \\(b\\), \\(c\\) i bezpośrednie obliczenie osi symetrii \\(g\\)\n\n**Krok 1: Wyznacz \\(b\\) z osi symetrii**\n\nWzór na oś symetrii:\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{b}{2 \\cdot \\frac{1}{2}} = -b\\]\n\nSkoro \\(p = 1\\), to:\n\\[-b = 1 \\implies b = -1\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz \\(c\\) z miejsca zerowego**\n\nDrugie miejsce zerowe jest symetryczne względem \\(x=1\\) do \\(x = 6\\):\n\\[x_2 = 1 - (6-1) = -4\\]\n\nZ wzorów Viète'a:\n\\[x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a} \\implies (-4) \\cdot 6 = \\frac{c}{\\frac{1}{2}} \\implies -24 = 2c \\implies c = -12\\]\n\nZatem \\(f(x) = \\frac{1}{2}x^2 - x - 12\\).\n\n**Krok 3: Wyznacz \\(g(x)\\)**\n\n\\[g(x) = f(x-3) = \\frac{1}{2}(x-3)^2 - (x-3) - 12\\]\n\\[= \\frac{1}{2}(x^2 - 6x + 9) - x + 3 - 12\\]\n\\[= \\frac{1}{2}x^2 - 3x + \\frac{9}{2} - x - 9\\]\n\\[= \\frac{1}{2}x^2 - 4x - \\frac{9}{2}\\]\n\n**Krok 4: Oś symetrii \\(g\\)**\n\n\\[p_g = -\\frac{b_g}{2a_g} = -\\frac{-4}{2 \\cdot \\frac{1}{2}} = \\frac{4}{1} = 4\\]\n\n\\[\\boxed{x = 4}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - oś symetrii paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]\nUżyte w Sposobie 1 (szybkie odczytanie osi f) i w Sposobie 2 (wyznaczenie b i osi g).\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzory Viète'a:\n\\[x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\nUżyte w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(c\\) z dwóch znanych miejsc zerowych.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A \\((x=-2)\\) | Uczeń odejmuje 3 zamiast dodawać: \\(1 - 3 = -2\\). Mylona kierunek przesunięcia - \\(f(x-3)\\) przesuwa **w prawo**, nie w lewo! |\n| B \\((x=1)\\) | Uczeń ignoruje przesunięcie i przepisuje oś symetrii \\(f\\) jako odpowiedź. |\n| C \\((x=3)\\) | Uczeń podaje samą wartość przesunięcia \\(3\\), zamiast dodać ją do osi symetrii: \\(1 + 3 = 4\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(g(x) = f(x-3)\\) to przesunięcie wykresu **w prawo** o 3, mimo że widzimy \"minus 3\". Intuicja mówi \"minus = w lewo\" - to klasyczna pułapka! Sprawdź: \\(g(4) = f(4-3) = f(1)\\) - wierzchołek \\(f\\) był przy \\(x=1\\), wierzchołek \\(g\\) jest przy \\(x=4\\). ✓\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie musisz wyznaczać \\(b\\) i \\(c\\), by rozwiązać to zadanie - wystarczy rozumieć, że przesunięcie argumentu o \\(-3\\) przesuwa wykres o \\(+3\\) w prawo.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Szukając drugiego miejsca zerowego, pamiętaj o symetrii względem osi: jeśli jedno zero jest w odległości 5 od osi (\\(6-1=5\\)), drugie jest po przeciwnej stronie też w odległości 5: \\(1-5=-4\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Przesunięcie wykresu (karta wzorów, dział 4)\nWzór \\(g(x) = f(x-3)\\) oznacza przesunięcie wykresu funkcji \\(f\\) o \\(3\\) jednostki w prawo. Nowa oś symetrii: \\(x = 1 + 3 = 4\\).\n\n### Sposób 2 - Podstawienie\nOś symetrii \\(f\\) jest w \\(x = 1\\). Dla \\(g(x) = f(x-3)\\) szukamy takiego \\(x\\), że \\(x - 3 = 1\\), czyli \\(x = 4\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(x = -2\\)** - przesunięcie w lewo zamiast w prawo.\n- **B. \\(x = 1\\)** - brak uwzględnienia przesunięcia.\n- **C. \\(x = 3\\)** - pomylono sam parametr z nową osią.\n\n**Trik:** \\(f(x-a)\\) to przesunięcie o \\(+a\\) w prawo; \\(f(x+a)\\) - o \\(a\\) w lewo.","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-12.svg","topics":null,"page_from":12,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 12.
Funkcja 𝑓 jest określona następująco:
𝑓(𝑥) = {
-2𝑥-10
dla 𝑥∈(-5, -3]
𝑥-1
dla 𝑥∈(-3, 4]
Wykres funkcji 𝑦= 𝑓(𝑥) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦)
na rysunku poniżej.
Funkcja f jest określona następująco: f(x) = {-2x-10 dla x∈(-5,-3>; x-1 dla x∈(-3,4>. Wykres funkcji y=f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) na rysunku poniżej. [rysunek] Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Miejscem zerowym funkcji f jest liczba ......... . 2. Wartość wyrażenia f(-2)+3⋅f(2) jest równa ......... .

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-12.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D - \\(x = 4\\)

\n

Sposób 1 - Wyznaczenie osi symetrii przez przesunięcie wykresu

\n

Krok 1: Znajdź oś symetrii funkcji \\(f\\)

\n

Oś symetrii paraboli \\(f(x) = \\frac{1}{2}x^2 + bx + c\\) jest podana - to prosta \\(x = 1\\).

\n

Krok 2: Zrozum, czym jest \\(g(x) = f(x-3)\\)

\n

Zastąpienie \\(x\\) przez \\(x-3\\) w funkcji to przesunięcie wykresu o 3 jednostki w prawo.

\n

Każdy punkt \\((x_0, y_0)\\) wykresu \\(f\\) odpowiada punktowi \\((x_0 + 3, y_0)\\) wykresu \\(g\\).

\n

Krok 3: Wyznacz nową oś symetrii

\n

Oś symetrii \\(f\\): \\(x = 1\\)

\n

Po przesunięciu o \\(+3\\) w prawo:
\\[x = 1 + 3 = 4\\]

\n

Oś symetrii wykresu \\(g\\) to \\(x = 4\\).

\n

Sposób 2 - Wyznaczenie \\(b\\), \\(c\\) i bezpośrednie obliczenie osi symetrii \\(g\\)

\n

Krok 1: Wyznacz \\(b\\) z osi symetrii

\n

Wzór na oś symetrii:
\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{b}{2 \\cdot \\frac{1}{2}} = -b\\]

\n

Skoro \\(p = 1\\), to:
\\[-b = 1 \\implies b = -1\\]

\n

Krok 2: Wyznacz \\(c\\) z miejsca zerowego

\n

Drugie miejsce zerowe jest symetryczne względem \\(x=1\\) do \\(x = 6\\):
\\[x_2 = 1 - (6-1) = -4\\]

\n

Z wzorów Viète'a:
\\[x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a} \\implies (-4) \\cdot 6 = \\frac{c}{\\frac{1}{2}} \\implies -24 = 2c \\implies c = -12\\]

\n

Zatem \\(f(x) = \\frac{1}{2}x^2 - x - 12\\).

\n

Krok 3: Wyznacz \\(g(x)\\)

\n

\\[g(x) = f(x-3) = \\frac{1}{2}(x-3)^2 - (x-3) - 12\\]
\\[= \\frac{1}{2}(x^2 - 6x + 9) - x + 3 - 12\\]
\\[= \\frac{1}{2}x^2 - 3x + \\frac{9}{2} - x - 9\\]
\\[= \\frac{1}{2}x^2 - 4x - \\frac{9}{2}\\]

\n

Krok 4: Oś symetrii \\(g\\)

\n

\\[p_g = -\\frac{b_g}{2a_g} = -\\frac{-4}{2 \\cdot \\frac{1}{2}} = \\frac{4}{1} = 4\\]

\n

\\[\\boxed{x = 4}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - oś symetrii paraboli:
\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]
Użyte w Sposobie 1 (szybkie odczytanie osi f) i w Sposobie 2 (wyznaczenie b i osi g).

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wzory Viète'a:
\\[x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]
Użyte w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(c\\) z dwóch znanych miejsc zerowych.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A \\((x=-2)\\) | Uczeń odejmuje 3 zamiast dodawać: \\(1 - 3 = -2\\). Mylona kierunek przesunięcia - \\(f(x-3)\\) przesuwa w prawo, nie w lewo! |
| B \\((x=1)\\) | Uczeń ignoruje przesunięcie i przepisuje oś symetrii \\(f\\) jako odpowiedź. |
| C \\((x=3)\\) | Uczeń podaje samą wartość przesunięcia \\(3\\), zamiast dodać ją do osi symetrii: \\(1 + 3 = 4\\). |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: \\(g(x) = f(x-3)\\) to przesunięcie wykresu w prawo o 3, mimo że widzimy "minus 3". Intuicja mówi "minus = w lewo" - to klasyczna pułapka! Sprawdź: \\(g(4) = f(4-3) = f(1)\\) - wierzchołek \\(f\\) był przy \\(x=1\\), wierzchołek \\(g\\) jest przy \\(x=4\\). ✓
\n
⚠️ Uwaga: Nie musisz wyznaczać \\(b\\) i \\(c\\), by rozwiązać to zadanie - wystarczy rozumieć, że przesunięcie argumentu o \\(-3\\) przesuwa wykres o \\(+3\\) w prawo.
\n
⚠️ Uwaga: Szukając drugiego miejsca zerowego, pamiętaj o symetrii względem osi: jeśli jedno zero jest w odległości 5 od osi (\\(6-1=5\\)), drugie jest po przeciwnej stronie też w odległości 5: \\(1-5=-4\\).
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Przesunięcie wykresu (karta wzorów, dział 4)
\n

Wzór \\(g(x) = f(x-3)\\) oznacza przesunięcie wykresu funkcji \\(f\\) o \\(3\\) jednostki w prawo. Nowa oś symetrii: \\(x = 1 + 3 = 4\\).

\n
Sposób 2 - Podstawienie
\n

Oś symetrii \\(f\\) jest w \\(x = 1\\). Dla \\(g(x) = f(x-3)\\) szukamy takiego \\(x\\), że \\(x - 3 = 1\\), czyli \\(x = 4\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: \\(f(x-a)\\) to przesunięcie o \\(+a\\) w prawo; \\(f(x+a)\\) - o \\(a\\) w lewo.

"}]}