{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nMiejscem zerowym funkcji liniowej 𝑔 jest liczba (-3).\nDla argumentu 0 funkcja 𝑔 przyjmuje wartość (-3\n2).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nFunkcja 𝑔 jest określona wzorem\nA. 𝑔(𝑥) = -1\n2 𝑥-3\n2\nB. 𝑔(𝑥) = -1\n2 𝑥+ 3\n2\nC. 𝑔(𝑥) = 1\n2 𝑥-3\n2\nD. 𝑔(𝑥) = 1\n2 𝑥+ 3\n2\n\nMMAP-P0_100\nMiejscem zerowym funkcji liniowej g jest liczba (-3). Dla argumentu 0 funkcja g przyjmuje wartość (-3/2). Funkcja g jest określona wzorem A. g(x)=-1/2x-3/2 B. g(x)=-1/2x+3/2 C. g(x)=1/2x-3/2 D. g(x)=1/2x+3/2","answer":"A","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nV.6) wyznacza wzór funkcji liniowej na\npodstawie informacji o jej wykresie lub o jej\nwłasnościach.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(-8\\)\n\n## Sposób 1 - ze wzoru na wyraz ogólny\n\nWzór ogólny ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]\n\n**Dane:** różnica \\(r = -4\\), \\(a_{10} = -24\\).\n\n**Krok 1.** Wyznaczamy \\(a_1\\) z warunku \\(a_{10} = -24\\):\n\\[a_{10} = a_1 + (10-1) \\cdot (-4) = a_1 - 36\\]\n\\[-24 = a_1 - 36\\]\n\\[a_1 = 12\\]\n\n**Krok 2.** Liczymy \\(a_6\\):\n\\[a_6 = a_1 + (6-1) \\cdot r = 12 + 5 \\cdot (-4) = 12 - 20 = \\mathbf{-8}\\]\n\n## Sposób 2 - bezpośrednio z \\(a_{10}\\)\n\nZamiast wyznaczać \\(a_1\\), cofamy się z \\(a_{10}\\) do \\(a_6\\) - są oddalone o \\(4\\) wyrazy.\n\nKażdy wyraz jest o \\(r = -4\\) mniejszy od następnego, więc przechodząc **wstecz** o jeden wyraz, **dodajemy 4**. Z \\(a_{10}\\) do \\(a_6\\) cofamy się o 4 wyrazy:\n\n\\[a_6 = a_{10} - 4 \\cdot r = -24 - 4 \\cdot (-4) = -24 + 16 = \\mathbf{-8}\\]\n\nAlternatywnie - korzystamy z własności ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_m + (n - m) \\cdot r\\]\n\\[a_6 = a_{10} + (6 - 10) \\cdot (-4) = -24 + (-4)(-4) = -24 + 16 = -8\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(a_1\\), a następnie \\(a_6\\).\n\nWynika z niego też ogólniejsza forma:\n\\[a_n = a_m + (n-m) \\cdot r\\]\nktórą wykorzystaliśmy w Sposobie 2, aby ominąć szukanie \\(a_1\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A. \\(-12\\) | Policzono \\(a_7\\) zamiast \\(a_6\\): \\(-24 + 3\\cdot4 = -12\\) - pomylono liczbę kroków wstecz |\n| C. \\(-4\\) | Policzono \\(a_5\\): \\(-24 + 5\\cdot4 = -4\\) - cofnięto się o 5 zamiast 4 |\n| D. \\(0\\) | Policzono \\(a_4\\): \\(-24 + 6\\cdot4 = 0\\) - pomylono indeks lub mylnie uznano, że cofając się o \\(n\\) kroków, dodaje się \\(n \\cdot |r|\\) dla \\(n = 6 - 10\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Różnica jest **ujemna** (\\(r = -4\\)), więc ciąg **maleje** - wyrazy z większym indeksem są mniejsze. Przy cofaniu wstecz (z \\(a_{10}\\) do \\(a_6\\)) wartości **rosną**, więc dodajemy \\(|r|\\), nie odejmujemy!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Różnica kroków między wyrazami \\(a_6\\) i \\(a_{10}\\) to \\(10 - 6 = 4\\), **nie** 6 ani 5. Łatwo się pomylić rachując \"do tyłu\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 1 wzór \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\) zawiera \\((n-1)\\), nie \\(n\\) - przy \\(a_{10}\\) podstawiamy \\(9\\), a przy \\(a_6\\) podstawiamy \\(5\\). To częsty błąd o \"jeden za dużo\".\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Cofnięcie się o 4 wyrazy (karta wzorów, dział 5)\nW ciągu arytmetycznym: \\(a_{n+k} = a_{n} + k \\cdot r\\). Cofamy od \\(a_{10}\\) do \\(a_{6}\\) o \\(4\\) kroki z różnicą \\(r = -4\\):\n\\[a_{6} = a_{10} - 4 \\cdot r = -24 - 4 \\cdot (-4) = -24 + 16 = -8.\\]\n\n### Sposób 2 - Z wyrazu ogólnego\n\\(a_{10} = a_{1} + 9r = a_{1} - 36 = -24 \\Rightarrow a_{1} = 12\\).\n\\(a_{6} = a_{1} + 5r = 12 + 5 \\cdot (-4) = 12 - 20 = -8\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-12\\)** - błąd o jeden krok.\n- **C. \\(-4\\)** - zły kierunek cofania.\n- **D. \\(0\\)** - pomylone z \\(a_{3}\\).\n\n**Trik:** \\(a_{m} - a_{n} = (m-n) \\cdot r\\); uważaj na znak.","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-13.svg","topics":"Funkcja liniowa","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 13. (0-1)<br>Miejscem zerowym funkcji liniowej 𝑔 jest liczba (-3).<br>Dla argumentu 0 funkcja 𝑔 przyjmuje wartość (-3<br>2).<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Funkcja 𝑔 jest określona wzorem<br>A. 𝑔(𝑥) = -1<br>2 𝑥-3<br>2<br>B. 𝑔(𝑥) = -1<br>2 𝑥+ 3<br>2<br>C. 𝑔(𝑥) = 1<br>2 𝑥-3<br>2<br>D. 𝑔(𝑥) = 1<br>2 𝑥+ 3<br>2</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Miejscem zerowym funkcji liniowej g jest liczba (-3). Dla argumentu 0 funkcja g przyjmuje wartość (-3/2). Funkcja g jest określona wzorem A. g(x)=-1/2x-3/2 B. g(x)=-1/2x+3/2 C. g(x)=1/2x-3/2 D. g(x)=1/2x+3/2</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 13. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>V.6) wyznacza wzór funkcji liniowej na<br>podstawie informacji o jej wykresie lub o jej<br>własnościach.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>A<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-13.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(-8\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - ze wzoru na wyraz ogólny</h4>\n<p>Wzór ogólny ciągu arytmetycznego:<br>\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]</p>\n<p><strong>Dane:</strong> różnica \\(r = -4\\), \\(a_{10} = -24\\).</p>\n<p><strong>Krok 1.</strong> Wyznaczamy \\(a_1\\) z warunku \\(a_{10} = -24\\):<br>\\[a_{10} = a_1 + (10-1) \\cdot (-4) = a_1 - 36\\]<br>\\[-24 = a_1 - 36\\]<br>\\[a_1 = 12\\]</p>\n<p><strong>Krok 2.</strong> Liczymy \\(a_6\\):<br>\\[a_6 = a_1 + (6-1) \\cdot r = 12 + 5 \\cdot (-4) = 12 - 20 = \\mathbf{-8}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - bezpośrednio z \\(a_{10}\\)</h4>\n<p>Zamiast wyznaczać \\(a_1\\), cofamy się z \\(a_{10}\\) do \\(a_6\\) - są oddalone o \\(4\\) wyrazy.</p>\n<p>Każdy wyraz jest o \\(r = -4\\) mniejszy od następnego, więc przechodząc <strong>wstecz</strong> o jeden wyraz, <strong>dodajemy 4</strong>. Z \\(a_{10}\\) do \\(a_6\\) cofamy się o 4 wyrazy:</p>\n<p>\\[a_6 = a_{10} - 4 \\cdot r = -24 - 4 \\cdot (-4) = -24 + 16 = \\mathbf{-8}\\]</p>\n<p>Alternatywnie - korzystamy z własności ciągu arytmetycznego:<br>\\[a_n = a_m + (n - m) \\cdot r\\]<br>\\[a_6 = a_{10} + (6 - 10) \\cdot (-4) = -24 + (-4)(-4) = -24 + 16 = -8\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)</strong> - wzór na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego:<br>\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]<br>Użyliśmy go w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(a_1\\), a następnie \\(a_6\\).</p>\n<p>Wynika z niego też ogólniejsza forma:<br>\\[a_n = a_m + (n-m) \\cdot r\\]<br>którą wykorzystaliśmy w Sposobie 2, aby ominąć szukanie \\(a_1\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A. \\(-12\\) | Policzono \\(a_7\\) zamiast \\(a_6\\): \\(-24 + 3\\cdot4 = -12\\) - pomylono liczbę kroków wstecz |<br>| C. \\(-4\\) | Policzono \\(a_5\\): \\(-24 + 5\\cdot4 = -4\\) - cofnięto się o 5 zamiast 4 |<br>| D. \\(0\\) | Policzono \\(a_4\\): \\(-24 + 6\\cdot4 = 0\\) - pomylono indeks lub mylnie uznano, że cofając się o \\(n\\) kroków, dodaje się \\(n \\cdot |r|\\) dla \\(n = 6 - 10\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Różnica jest <strong>ujemna</strong> (\\(r = -4\\)), więc ciąg <strong>maleje</strong> - wyrazy z większym indeksem są mniejsze. Przy cofaniu wstecz (z \\(a_{10}\\) do \\(a_6\\)) wartości <strong>rosną</strong>, więc dodajemy \\(|r|\\), nie odejmujemy!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Różnica kroków między wyrazami \\(a_6\\) i \\(a_{10}\\) to \\(10 - 6 = 4\\), <strong>nie</strong> 6 ani 5. Łatwo się pomylić rachując &quot;do tyłu&quot;.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W Sposobie 1 wzór \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\) zawiera \\((n-1)\\), nie \\(n\\) - przy \\(a_{10}\\) podstawiamy \\(9\\), a przy \\(a_6\\) podstawiamy \\(5\\). To częsty błąd o &quot;jeden za dużo&quot;.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Cofnięcie się o 4 wyrazy (karta wzorów, dział 5)</h5>\n<p>W ciągu arytmetycznym: \\(a_{n+k} = a_{n} + k \\cdot r\\). Cofamy od \\(a_{10}\\) do \\(a_{6}\\) o \\(4\\) kroki z różnicą \\(r = -4\\):<br>\\[a_{6} = a_{10} - 4 \\cdot r = -24 - 4 \\cdot (-4) = -24 + 16 = -8.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Z wyrazu ogólnego</h5>\n<p>\\(a_{10} = a_{1} + 9r = a_{1} - 36 = -24 \\Rightarrow a_{1} = 12\\).<br>\\(a_{6} = a_{1} + 5r = 12 + 5 \\cdot (-4) = 12 - 20 = -8\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(-12\\)</strong> - błąd o jeden krok.</li><li><strong>C. \\(-4\\)</strong> - zły kierunek cofania.</li><li><strong>D. \\(0\\)</strong> - pomylone z \\(a_{3}\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> \\(a_{m} - a_{n} = (m-n) \\cdot r\\); uważaj na znak.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, ponieważ funkcja liniowa $g(x)$ ma miejsce zerowe w $x = -3$, co oznacza, że $g(-3) = 0$. Podstawiając $x = 0$, otrzymujemy wartość $g(0) = -\\displaystyle\\small\\frac{3}{2}$.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Miejscem zerowym jest -3 , więc wykres przechodzi przez punkt (-3,0) . Dla argumentu 0 wartość wynosi -(3)/(2) , więc wykres przechodzi przez punkt (0,-(3)/(2)) . Współczynnik kierunkowy to a=(-frac32-0)/(0-(-3))=-(1)/(2) , a wyraz wolny to -(3)/(2) .</p>"}]}