Zadanie 14.
Funkcja kwadratowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 1
2 𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐, gdzie 𝑏 oraz 𝑐 są
liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji 𝑓 jest liczba 6.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 𝑥= 1 jest osią symetrii
wykresu funkcji 𝑓.
Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)= 1/2x² + bx + c, gdzie b oraz c są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji f jest liczba 6. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) prosta o równaniu x=1 jest osią symetrii wykresu funkcji f.
Wypisujemy wyrazy ciągu wzorem ogólnym. Dla ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie \\(a_1\\) i ilorazie \\(q\\):
\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]
Zatem:
\\[a_3 = a_1 \\cdot q^2, \\qquad a_6 = a_1 \\cdot q^5\\]
Podstawiamy do warunku \\(a_3 = -8 \\cdot a_6\\):
\\[a_1 \\cdot q^2 = -8 \\cdot a_1 \\cdot q^5\\]
Ponieważ wszystkie wyrazy są różne od zera, \\(a_1 \\neq 0\\) i \\(q \\neq 0\\) - dzielimy obie strony przez \\(a_1 \\cdot q^2\\):
\\[1 = -8 \\cdot q^3\\]
\\[q^3 = -\\frac{1}{8}\\]
Pierwiastkujemy obie strony (sześciennie):
\\[q = \\sqrt[3]{-\\frac{1}{8}} = -\\sqrt[3]{\\frac{1}{8}} = \\mathbf{-\\frac{1}{2}}\\]
Klucz: wyrazy ciągu geometrycznego są od siebie odległe o 3 pozycje, więc:
\\[a_6 = a_3 \\cdot q^3\\]
Podstawiamy do warunku \\(a_3 = -8 \\cdot a_6\\):
\\[a_3 = -8 \\cdot a_3 \\cdot q^3\\]
Dzielimy obie strony przez \\(a_3 \\neq 0\\):
\\[1 = -8q^3\\]
\\[q^3 = -\\frac{1}{8}\\]
\\[q = -\\frac{1}{2}\\]
Weryfikacja: sprawdzamy, czy warunek jest spełniony dla \\(q = -\\frac{1}{2}\\):
\\[a_6 = a_3 \\cdot \\left(-\\frac{1}{2}\\right)^3 = a_3 \\cdot \\left(-\\frac{1}{8}\\right)\\]
\\[-8 \\cdot a_6 = -8 \\cdot a_3 \\cdot \\left(-\\frac{1}{8}\\right) = a_3 \\checkmark\\]
Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzór ogólny ciągu geometrycznego:
\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]
Użyliśmy tego wzoru do wypisania \\(a_3\\) i \\(a_6\\) w Sposobie 1.
Alternatywnie korzystamy z własności: \\(a_6 = a_3 \\cdot q^3\\) (każde dwa wyrazy odległe o \\(k\\) pozycji spełniają \\(a_{n+k} = a_n \\cdot q^k\\)) - to bezpośredni wniosek z wzoru ogólnego.
\n| Odp. | Błąd, który do niej prowadzi |
| A: \\(-2\\) | Uczeń odwraca warunek - zakłada \\(a_6 = -8 \\cdot a_3\\) zamiast \\(a_3 = -8 \\cdot a_6\\). Wtedy \\(q^3 = -8\\), skąd \\(q = -2\\). |
| C: \\(\\dfrac{1}{2}\\) | Uczeń pomija minus przy \\(-8\\) i rozwiązuje \\(q^3 = \\frac{1}{8}\\), dostając \\(q = \\frac{1}{2}\\). Sprawdzenie: \\(a_3 = -8 \\cdot a_3 \\cdot \\frac{1}{8} = -a_3\\), co daje \\(a_3 = 0\\) - sprzeczność! |
| D: \\(2\\) | Uczeń odwraca warunek i pomija minus: dostaje \\(q^3 = 8\\), skąd \\(q = 2\\). Sprawdzenie: prowadzi do \\(a_3 = 0\\) - sprzeczność! |
⚠️ Uwaga: Łatwo odwrócić warunek i napisać \\(a_6 = -8 \\cdot a_3\\) zamiast \\(a_3 = -8 \\cdot a_6\\). To prosta zamiana liter, a prowadzi do odpowiedzi A zamiast B - czytaj uważnie!\n
⚠️ Uwaga: \\(q^3 = -\\frac{1}{8}\\) ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste: \\(q = -\\frac{1}{2}\\). Nie ma tu pokusy, że "pierwiastek parzysty - dwa rozwiązania" - bo to pierwiastek sześcienny (nieparzysty stopień).\n
⚠️ Uwaga: Warunek "wszystkie wyrazy różne od 0" gwarantuje, że \\(a_1 \\neq 0\\) i \\(q \\neq 0\\) - bez tego nie możemy bezpiecznie dzielić stronami. Warto o tym wspomnieć na kartkówce!\n
Poprawna odpowiedź: B
\nW ciągu geometrycznym \\(a_{n} = a_{1} \\cdot q^{n-1}\\), więc:
\\(a_{3} = a_{1} q^{2}\\), \\(a_{6} = a_{1} q^{5}\\).
Z warunku: \\(a_{1}q^{2} = -8 \\cdot a_{1}q^{5}\\).
Dzieląc przez \\(a_{1}q^{2} \\ne 0\\): \\(1 = -8q^{3} \\Rightarrow q^{3} = -\\tfrac{1}{8} \\Rightarrow q = -\\tfrac{1}{2}\\).
\\(q = -\\tfrac{1}{2}\\): \\(a_{6}/a_{3} = q^{3} = -\\tfrac{1}{8}\\), więc \\(a_{3} = -8 a_{6}\\) ✓.
\nTrik: \\(\\tfrac{a_{6}}{a_{3}} = q^{6-3} = q^{3}\\).
"}]}