{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nCiąg (𝑎𝑛) jest określony wzorem 𝑎𝑛= 32 ⋅ (-1)𝑛\n2𝑛-1\ndla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nSzósty wyraz ciągu (𝑎𝑛) jest równy\nA. (-2)\nB. (-1)\nC. 1\nD. 2\nCiąg (a_n) jest określony wzorem a_n = 32⋅(-1)^n / 2^{n-1} dla każdej liczby naturalnej n≥1. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Szósty wyraz ciągu (a_n) jest równy A. (-2) B. (-1) C. 1 D. 2","answer":"C","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVI.1) oblicza wyrazy ciągu określonego\nwzorem ogólnym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(\\dfrac{12}{5}\\)\n\n## Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna + definicja tangensa\n\nWiemy, że \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{5}{13}\\) i kąt \\(\\alpha\\) jest ostry.\n\n**Krok 1: Wyznaczamy \\(\\sin\\alpha\\) z jedynki trygonometrycznej.**\n\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\n\\[\\sin^2\\alpha = 1 - \\cos^2\\alpha = 1 - \\left(\\frac{5}{13}\\right)^2 = 1 - \\frac{25}{169} = \\frac{144}{169}\\]\n\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{12}{13}\\]\n\nPonieważ \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym, \\(\\sin\\alpha > 0\\), więc bierzemy wartość dodatnią.\n\n**Krok 2: Liczymy tangens ze wzoru.**\n\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{\\dfrac{12}{13}}{\\dfrac{5}{13}} = \\frac{12}{13} \\cdot \\frac{13}{5} = \\mathbf{\\frac{12}{5}}\\]\n\n## Sposób 2 - Trójkąt prostokątny\n\nSkoro \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{\\text{przyległa}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\dfrac{5}{13}\\), możemy narysować trójkąt prostokątny z bokami:\n\n- przyległa do \\(\\alpha\\): \\(b = 5\\)\n- przeciwprostokątna: \\(c = 13\\)\n\n**Krok 1: Szukamy boku naprzeciwległego z twierdzenia Pitagorasa.**\n\n\\[a^2 = c^2 - b^2 = 169 - 25 = 144 \\implies a = 12\\]\n\n**Krok 2: Odczytujemy tangens wprost z definicji.**\n\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{naprzeciwległa}}{\\text{przyległa}} = \\mathbf{\\frac{12}{5}}\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)**\n\nJedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyta w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(\\sin\\alpha\\).\n\nDefinicja tangensa:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]\nUżyta w obydwu sposobach do obliczenia końcowego wyniku.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A - \\(\\dfrac{5}{12}\\) | Odwrócono tangens - policzono \\(\\dfrac{\\cos\\alpha}{\\sin\\alpha} = \\dfrac{5}{12}\\), czyli **cotangens**, nie tangens |\n| B - \\(\\dfrac{12}{13}\\) | Podano \\(\\sin\\alpha\\), nie \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\) - zatrzymano się o krok za wcześnie |\n| C - \\(\\dfrac{13}{12}\\) | Pomylono wzór: odwrócono stosunek \\(\\dfrac{1}{\\sin\\alpha} = \\dfrac{13}{12}\\) lub użyto \\(\\dfrac{\\text{przeciwprostokątna}}{\\text{naprzeciwległa}}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\), **nie** \\(\\dfrac{\\cos\\alpha}{\\sin\\alpha}\\). Zamiana licznika z mianownikiem to najczęstszy błąd - daje odpowiedź A.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy wyliczyć \\(\\sin\\alpha\\) i podać go jako odpowiedź (pułapka B). Zawsze sprawdź, czy pytanie pyta o \\(\\sin\\), \\(\\cos\\), czy \\(\\operatorname{tg}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(\\sin\\alpha\\) z jedynki trygonometrycznej pamiętaj, że \\(\\sqrt{\\dfrac{144}{169}} = \\dfrac{12}{13}\\), **nie** \\(\\dfrac{12}{169}\\) ani inne błędne uproszczenie pierwiastka z ułamka.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna (karta wzorów, dział 6)\n\\(\\sin^{2}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha = 1 \\Rightarrow \\sin^{2}\\alpha = 1 - \\tfrac{25}{169} = \\tfrac{144}{169}\\).\nPonieważ \\(\\alpha\\) ostry: \\(\\sin\\alpha = \\tfrac{12}{13}\\).\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\dfrac{12/13}{5/13} = \\dfrac{12}{5}.\\]\n\n### Sposób 2 - Trójkąt prostokątny\nPrzyprostokątna przylegająca = \\(5\\), przeciwprostokątna = \\(13\\). Druga przyprostokątna: \\(\\sqrt{169-25} = 12\\).\n\\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\tfrac{\\text{przeciwległa}}{\\text{przyległa}} = \\tfrac{12}{5}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{5}{12}\\)** - pomylone strony trójkąta.\n- **B. \\(\\tfrac{12}{13}\\)** - to \\(\\sin\\alpha\\), nie \\(\\operatorname{tg}\\).\n- **C. \\(\\tfrac{13}{12}\\)** - odwrotność \\(\\sin\\).\n\n**Trik:** trójka pitagorejska \\(5\\text{--}12\\text{--}13\\).","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-15.svg","topics":"Ciągi","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 15. (0-1)
Ciąg (𝑎𝑛) jest określony wzorem 𝑎𝑛= 32 ⋅ (-1)𝑛
2𝑛-1
dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Szósty wyraz ciągu (𝑎𝑛) jest równy
A. (-2)
B. (-1)
C. 1
D. 2
Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n = 32⋅(-1)^n / 2^{n-1} dla każdej liczby naturalnej n≥1. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Szósty wyraz ciągu (a_n) jest równy A. (-2) B. (-1) C. 1 D. 2

","answer_text_html":"

Zadanie 15. (0-1)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Stosowanie obiektów matematycznych
\n

i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
VI.1) oblicza wyrazy ciągu określonego
wzorem ogólnym.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
C
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-15.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D - \\(\\dfrac{12}{5}\\)

\n

Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna + definicja tangensa

\n

Wiemy, że \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{5}{13}\\) i kąt \\(\\alpha\\) jest ostry.

\n

Krok 1: Wyznaczamy \\(\\sin\\alpha\\) z jedynki trygonometrycznej.

\n

\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]

\n

\\[\\sin^2\\alpha = 1 - \\cos^2\\alpha = 1 - \\left(\\frac{5}{13}\\right)^2 = 1 - \\frac{25}{169} = \\frac{144}{169}\\]

\n

\\[\\sin\\alpha = \\frac{12}{13}\\]

\n

Ponieważ \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym, \\(\\sin\\alpha > 0\\), więc bierzemy wartość dodatnią.

\n

Krok 2: Liczymy tangens ze wzoru.

\n

\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{\\dfrac{12}{13}}{\\dfrac{5}{13}} = \\frac{12}{13} \\cdot \\frac{13}{5} = \\mathbf{\\frac{12}{5}}\\]

\n

Sposób 2 - Trójkąt prostokątny

\n

Skoro \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{\\text{przyległa}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\dfrac{5}{13}\\), możemy narysować trójkąt prostokątny z bokami:

\n\n

Krok 1: Szukamy boku naprzeciwległego z twierdzenia Pitagorasa.

\n

\\[a^2 = c^2 - b^2 = 169 - 25 = 144 \\implies a = 12\\]

\n

Krok 2: Odczytujemy tangens wprost z definicji.

\n

\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{naprzeciwległa}}{\\text{przyległa}} = \\mathbf{\\frac{12}{5}}\\]

\n

Wynik zgodny z Metodą 1. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)

\n

Jedynka trygonometryczna:
\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]
Użyta w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(\\sin\\alpha\\).

\n

Definicja tangensa:
\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]
Użyta w obydwu sposobach do obliczenia końcowego wyniku.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A - \\(\\dfrac{5}{12}\\) | Odwrócono tangens - policzono \\(\\dfrac{\\cos\\alpha}{\\sin\\alpha} = \\dfrac{5}{12}\\), czyli cotangens, nie tangens |
| B - \\(\\dfrac{12}{13}\\) | Podano \\(\\sin\\alpha\\), nie \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\) - zatrzymano się o krok za wcześnie |
| C - \\(\\dfrac{13}{12}\\) | Pomylono wzór: odwrócono stosunek \\(\\dfrac{1}{\\sin\\alpha} = \\dfrac{13}{12}\\) lub użyto \\(\\dfrac{\\text{przeciwprostokątna}}{\\text{naprzeciwległa}}\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\), nie \\(\\dfrac{\\cos\\alpha}{\\sin\\alpha}\\). Zamiana licznika z mianownikiem to najczęstszy błąd - daje odpowiedź A.
\n
⚠️ Uwaga: Nie wystarczy wyliczyć \\(\\sin\\alpha\\) i podać go jako odpowiedź (pułapka B). Zawsze sprawdź, czy pytanie pyta o \\(\\sin\\), \\(\\cos\\), czy \\(\\operatorname{tg}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu \\(\\sin\\alpha\\) z jedynki trygonometrycznej pamiętaj, że \\(\\sqrt{\\dfrac{144}{169}} = \\dfrac{12}{13}\\), nie \\(\\dfrac{12}{169}\\) ani inne błędne uproszczenie pierwiastka z ułamka.
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna (karta wzorów, dział 6)
\n

\\(\\sin^{2}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha = 1 \\Rightarrow \\sin^{2}\\alpha = 1 - \\tfrac{25}{169} = \\tfrac{144}{169}\\).
Ponieważ \\(\\alpha\\) ostry: \\(\\sin\\alpha = \\tfrac{12}{13}\\).
\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\dfrac{12/13}{5/13} = \\dfrac{12}{5}.\\]

\n
Sposób 2 - Trójkąt prostokątny
\n

Przyprostokątna przylegająca = \\(5\\), przeciwprostokątna = \\(13\\). Druga przyprostokątna: \\(\\sqrt{169-25} = 12\\).
\\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\tfrac{\\text{przeciwległa}}{\\text{przyległa}} = \\tfrac{12}{5}\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: trójka pitagorejska \\(5\\text{--}12\\text{--}13\\).

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"
  1. Zaczynamy od zapisania wzoru ciągu, który mamy podany. Wzór ten to $$a_n = \\frac{32 \\cdot (-1)^n}{2^{n-1}}$$ dla każdej liczby naturalnej $n \\geq 1$.\\
\n
  1. Chcemy obliczyć szósty wyraz tego ciągu, czyli $a_6$. Podstawiamy $n = 6$ do wzoru: $$a_6 = \\frac{32 \\cdot (-1)^6}{2^{6-1}}$$.\\
\n
  1. Obliczamy wartość $(-1)^6$. Ponieważ 6 jest liczbą parzystą, to $$(-1)^6 = 1$$.\\
\n
  1. Zastępujemy $(-1)^6$ w równaniu: $$a_6 = \\frac{32 \\cdot 1}{2^{6-1}} = \\frac{32}{2^{5}}$$.\\
\n
  1. Obliczamy $2^5$. Ponieważ $2^5 = 32$, mamy teraz: $$a_6 = \\frac{32}{32}$$.\\
\n
  1. Dzielimy $32$ przez $32$: $$a_6 = 1$$.\\
\n
  1. Zatem szósty wyraz ciągu $(a_n)$ wynosi $1$.\\
\n

Odpowiedź: 1

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Ciąg jest określony wzorem:

\n

a_n=frac 32·(-1)^n 2^ n-1

\n

Szukamy szóstego wyrazu, więc podstawiamy n=6 :

\n

a_6=frac 32·(-1)^6 2^6-1

\n

a_6=(32·1)/(2^5)

\n

a_6=(32)/(32)=1

\n

Odpowiedź: C. 1 .

"}]}